Reproduction de : Thèse de doctorat : Sciences Mathématiques : Faculté des sciences de Paris : 1880. / Titre provenant de la page de titre du document numérisé.

Le cadre de cette thèse est la théorie des surfaces minimales dans deux variétés homogènes, R3 et PSL2(R). Dans R3, étant donné un pavage T du plan par des polygones, qui soit invariant par deux translations indépendantes, on construit une famille de surfaces minimales plongées et triplement périodiques qui désingularise T × R. Dans cette perspective, et inspiré par le travail de Martin Traizet, nous ouvrons les nodes d’une surface de Riemann singulière dans le but de coller ensemble des Karcher saddle towers, chacune placée sur un sommet avec ses bouts au long des arrêtes qui se terminent sur ce sommet même. Dans une seconde partie, nous étudions les graphes minimaux dans PSL2(R) et nous fournissons des exemples de surfaces invariantes. Nous obtenons des estimées du gradient pour les solutions de l’équation des surfaces minimales dans l’espace en considération et on étudie le comportement des suites monotones de solutions. Nous concluons par prolonger à PSL2(R) un théorème de Jenkins et Serrin, qui donnent une condition nécessaire et suffisante pour la solvabilité du problème du Dirichlet de l’équation des surfaces minimales dans R3, avec des données infinies sur le bord d’un domaine convexe et borné. / This doctoral thesis deals with minimal surface theory in two homogeneous manifolds, namely, R3 and PSL2(R). In R3, given a tiling T of the plane by straight edge polygons, which is invariant by two independent translations, we construct a family of embedded triply periodic minimal surfaces which desingularizes T ×R. For this purpose, inspired by the work of Martin Traizet, we open the nodes of singular Riemann surfaces to glue together simply periodic Karcher saddle towers, each placed at a vertex of the tiling in such a way that its wings go along the corresponding edges of the tiling ending at that vertex. On the other hand, in PSL2(R) we study minimal graphs and we furnish many invariant examples. We derive gradient estimates for solutions of the minimal surface equation in the underlying space and we study convergence of monotone sequences of solutions. Finally, we extend to PSL2(R) a result of Jenkins and Serrin who provide a necessary and sufficient condition for the solvability of the Dirichlet problem of the minimal surface equation in R3, with infinite data over boundary arcs of a convex bounded region.

Mes travaux ont porté sur la classification et la rigidité des points critiques de la fonctionnelle d'aire -- variétés minimales et apparentées -- pour des surfaces dans l'espace euclidien ou plus généralement dans certains espaces homogènes. Le cadre est riemannien ou hermitien, et je me suis attaché à comprendre et décrire la structure de l'équation aux dérivées partielles associée au problème géométrique, et celle de ses solutions. En utilisant des paramétrisations conformes, j'ai caractérisé notamment les solutions satisfaisant des conditions géométriques ou topologiques telles que le plongement, la fermeture des périodes en genre un (pour des tores lagrangiens) ou l'isopérimétrie.<br /><br />Dans une première partie, j'aborde essentiellement les surfaces minimales « classiques » dans l'espace euclidien de dimension 3, dont la structure analytique est donnée par la représentation de Weierstrass. Celle-ci peut-être utilisée pour ramener un problème sous contrainte topologico-géométrique (nombre de bouts, courbure totale finie, simple périodicité) à un problème d'analyse complexe sur une surfaces de Riemann, et j'en déduis un théorème de rigidité concernant l'escalier de Riemann. Mais les résultats les plus importants concernent le comportement des bouts minimaux plongés, de courbure totale infinie mais de type fini. On montre en effet que l'hypothèse de plongement contraint considérablement les données de de l'immersion, ce qui a pour conséquence géométrique que la surface est 0-asymptotique à l'hélicoïde. Ce résultat joue un rôle dans la preuve récente par Meeks et Rosenberg de l'unicité de l'hélicoïde comme surface proprement plongée simplement connexe.<br /><br />Dans la seconde partie, j'expose mes travaux sur le problème isopérimétrique dans les espaces plats périodiques de dimension trois. C'est un problème encore ouvert aujourd'hui, qui concerne les surfaces à courbure moyenne constante. J'ai notamment travaillé sur la conjecture sphère-cylindre-plan dans les tores de dimension 3, et démontré des inégalités pointues classifiant les cas (variétés, volumes) où la conjecture est vérifiée. Dans un autre registre, j'ai montré que les surfaces CMC possédant trop de symétries (les retournements diagonaux) ne peuvent être isopérimétriques, à l'exception des sphères bien sûr. Enfin, une étude numérique justifie que ce problème reste si difficile à résoudre.<br /><br />En troisième partie se trouvent mes travaux sur les surfaces lagrangiennes stationnaires hamiltoniennes, dans l'espace euclidien de dimension quatre, et aussi dans les espaces symétriques hermitiens. Après une introduction à ce domaine de la géométrie, on montrera que l'équation aux dérivées partielles de ce problème variationnel est associée à un système intégrable (comme dans le cas des surfaces CMC), avec différentes applications, telles la construction de tores de type fini, ou par potentiel suivant la méthode DPW (via les groupe de lacets). Cette approche est raffinée dans le cas euclidien où une représentation spinorielle permet de décrire explicitement les tores stationnaires hamiltoniens, résolvant même les problèmes de périodes. Enfin une généralisation aux dimensions supérieures est esquissée.

Cette thèse porte sur la construction de nouveaux exemples de surfaces minimales dérivées de la famille de surfaces de Costa-Hoffman-Meeks. Il s'agit d'une famille de surfaces minimales complètes plongées avec trois bouts et genre k > 0. Soit M_k la surface de Costa_Hoffman_Meeks de genre k. Dans le chapitre 1, j'ai démontré que M_k est non dégénérée pour k > 37. J'ai donc étendu les résultats de S. Nayatani qui assuraient que la surface M_k est non dégénérée seulement pour k=1,...,37. Ce résultat permet de montrer dans les chapitres 2 et 3 l'existence de nouveaux exemples de surfaces minimales de genre g arbitraire à l'aide d'une procédure de collage d'autres surfaces déjà connues (parmi lesquelles y figure la surface M_k). Sans ceci, ces résultats ne seraient valables que pour k < 38. En particulier dans le chapitre 2, j'ai démontré l'existence, dans H^2 x R, (H^2 étant le plan hyperbolique) d'une famille de surfaces minimales plongées inspirées de M_k, pour tout k > 0. Ce résultat peut être censé un cas particulier d'un théorème générale de désingularisation de l'intersection de deux surfaces minimales annoncé par N. Kapouleas et jamais publié. Le chapitre 3 est consacré à la construction de trois familles de surfaces minimales simplement périodiques plongées dans R^3 dont le quotient a genre arbitraire. Les résultats présentés dans ce chapitre (obtenus en collaborations avec L. Hauswirth et M. Rodríguez) généralisent plusieurs anciennes constructions

Reproduction de : Thèse de doctorat : Mécanique des solides, des matériaux, des structures et des surfaces : Poitiers : 2008. / Titre provenant de l'écran-titre. Bibliogr. 125 réf.

Ce mémoire est consacré à la résolution du problème de Plateau à bord polygonal dans l'espace euclidien et dans l'espace de Minkowski de dimension trois. Il s'appuie sur la méthode de résolution proposée par René Garnier dans le cas euclidien dans un article publié en 1928 et qui a été oublié depuis, voire ignoré à l'époque. Plus géométrique et constructive que la méthode variationnelle, l'approche de Garnier est cependant parfois très compliquée, voire obscure et incomplète. On retranscrit sa démonstration dans un formalisme moderne, tout en proposant de nouvelles preuves plus simples, et en en complétant certaines lacunes. Ce travail repose principalement sur l'utilisation plus systématique des systèmes fuchsiens et la mise en évidence du lien entre la réalité de ces systèmes et leur monodromie. Ceci nous permet d'étendre le résultat de Garnier dans l'espace de Minkowski. La méthode de Garnier repose sur le fait que, par la représentation de Weierstrass spinorielle des surfaces minimales, on peut associer une équation fuchsienne réelle du second ordre définie sur la sphère de Riemann à tout disque minimal à bord polygonal. La monodromie de cette équation est déterminée par les directions orientées des côtés du bord. Pour résoudre le problème de Plateau, on est donc amené à résoudre un problème de Riemann-Hilbert. On procède ensuite en deux étapes : on construit d'abord, par déformations isomonodromiques, la famille de tous les disques minimaux dont le bord est un polygone de directions orientées données. Puis on montre, en étudiant les longueurs des côtés des bords polygonaux, qu'on obtient ainsi tout polygone comme bord d'un disque minimal.

Le fil conducteur est celui des conditions de compatibilité des systèmes aux dérivées partielles de la Mécanique des Solides Déformables. L'idée initiale, présentée dans l'ouvrage de Gaston Darboux sur la théorie générale des surfaces, est reprise. Elle consiste à remplacer les symboles de Christoffel par des vecteurs appelés vecteurs de Darboux. Ces vecteurs sont associés à des rotations de la même manière qu'un vecteur rotation instantanée est mis en évidence lors de l'étude du mouvement d'un solide rigide. <br />Les conditions de compatibilité en grandes déformations sont ainsi revisitées à la Darboux. Deux systèmes aux dérivées partielles découplés permettent d'obtenir le déplacement du milieu déformé en deux intégrations successives. L'étude de la nature tensorielle des objets exhibés montre la validité de nos concepts. Une étude inédite des variétés riemanniennes de dimension 3 de même courbure que la sphère est développée. De même, la théorie des surfaces est revue en introduisant les vecteurs de Darboux. La reconstruction d'une surface connaissant ses deux formes fondamentales est proposée conformément au théorème de Bonnet. L'étude particulière d'une surface minimale conduit à un processus de construction effectif à partir de la connaissance du bord. La notion de surface minimale sœur est dégagée, deux exemples sont présentés. Enfin l'équivalence entre l'annulation du tenseur de courbure de Riemann-Christoffel dans une coque et les conditions de Gauss-Codazzi-Mainardi sur sa surface moyenne est établie. Des perspectives, regardant le solide rigide comme une variété riemannienne de dimension 6, sont évoquées.

Dans cette thèse, nous étudions la structure d’un morphisme harmonique F d’une variété riemannienne M4 dans une surface N2 au voisinage d’un point critique mO. Si mO est un point I critique isolé ou si M4 est compact sans bord, nous montrons que F est pseudo-Holomorphe par rapport à une structure presque hermitienne definie dans un voisinage de mO. Si M4 est compact sans bord, les fibres singuliers de F sont des surfaces minimales avec points de branchement. Ensuite, nous étudions des exemples de morphismes harmoniques due a Burel de (S4, gk,l) dans S2 où (gk,I) est une famille de métriques conforme à la métrique canonique. Nous construisons tout d’abord une application semi-Conforme Φk,l de S4 dans S2 en composant deux applications semi-Conformes régulières, F de S4 dans S3 et Φk,i, de S3 dans S2. II résulte de Baird-Eells que le fibres régulier de øk,l pour tout k, I sont minimales. Si [k] = [l] = 1, l’ensemble des points critiques est donnée par l’image réciproque du pâle nord: il consiste en deux 2-Sphères ayant deux points d’intersection. Si k, I 6= 1 l’ensemble des points critiques sont les images réciproques du pôle nord (de la même façon que pour k = t = 1 deux sphères, mais avec une multiplicité I) ainsi que la pré-Image du pôle sud (un tore) avec multiplicité k. Enfin, nous étudions une construction due à Baird-Ou de morphismes harmoniques d’une ensembles ouverts de (S2×S2, can) dans S2. Nous vérifions qu’ils sont holomorphe par rapport à une des quatre structures complexes canoniques hermitiennes. / In this thesis, we are interested in harmonic morphisms between Riemannian manifolds (Mm, g) and (Nn, h) for m > n. Such a smooth map is a harmonic morphism if it pulls back local harmonic functions to local harmonic functions: if ƒ : V → ℝ is a harmonic function on an open subset V on N and Φ-1(V) is non-Empty, then the composition ƒ ∘ Φ : Φ-1(V) → ℝ is harmonic. The conformal transformations of the complex plane are harmonic morphisms. In the late 1970's Fuglede and Ishihara published two papers ([Fu]) and ([Is]), where they discuss their results on harmonic morphisms or mappings preserving harmonic functions. They characterize non-Constant harmonic morphisms F : (M,g) → (N,h) between Riemannian manifolds as those harmonic maps, which are horizontally conformal, where F horizontally conformal means : for any x ∈ M with dF(x) ≠ 0, the restriction of dF(x) to the orthogonal complement of kerdF(x) in TxM is conformal and surjective. This means that we are dealing with a special class of harmonic maps.

Cette thèse porte sur la construction de nouveaux exemples de surfaces minimales dérivées de la famille de surfaces de Costa-Hoffman-Meeks. Il s'agit d'une famille de surfaces minimales complètes plongées avec trois bouts et genre k > 0. Soit M_k la surface de Costa_Hoffman_Meeks de genre k. Dans le chapitre 1, j'ai démontré que M_k est non dégénérée pour k > 37. J'ai donc étendu les résultats de S. Nayatani qui assuraient que la surface M_k est non dégénérée seulement pour k=1,...,37. Ce résultat permet de montrer dans les chapitres 2 et 3 l'existence de nouveaux exemples de surfaces minimales de genre g arbitraire à l'aide d'une procédure de collage d'autres surfaces déjà connues (parmi lesquelles y figure la surface M_k). Sans ceci, ces résultats ne seraient valables que pour k < 38. En particulier dans le chapitre 2, j'ai démontré l'existence, dans H^2 x R, (H^2 étant le plan hyperbolique) d'une famille de surfaces minimales plongées inspirées de M_k, pour tout k > 0. Ce résultat peut être censé un cas particulier d'un théorème générale de désingularisation de l'intersection de deux surfaces minimales annoncé par N. Kapouleas et jamais publié. Le chapitre 3 est consacré à la construction de trois familles de surfaces minimales simplement périodiques plongées dans R^3 dont le quotient a genre arbitraire. Les résultats présentés dans ce chapitre (obtenus en collaborations avec L. Hauswirth et M. Rodríguez) généralisent plusieurs anciennes constructions / This thesis is devoted to the construction of new examples of minimal surfaces derived from the family of surfaces if Costa-Hoffman-Meeks. Surfaces in this family are complete embedded with 3 ends and genus k > 0. Let M_k denote the surface of Costa-Hoffman-Meeks of genus k. In chapter 1 I showed M_k is non degenerate for k > 37. So I extended the results of S. Nayatani which insured M_k is non degenerate only for k=1,...,37. That allows to prove in chapters 2 and 3 the existence of new examples of minimal surfaces by a gluing procedure involving already known surfaces (among which figures M_k). Without it theses results would hold only for k < 38. In particular in chapter 2 I showed the existence in H^2 x R (where H^2 denotes the hyperbolic plane) of a family of surfaces inspired to M_k, for all k > 0, which are complete and embedded. This result can be considered as a particular case of a general theorem of desingularization of the intersection of two minimal surfaces announced by N. Kapouleas and never published. Chapter 3 is devoted to the construction of 3 families of singly periodic minimal surfaces, embedded in R^3, whose quotient has an arbitrary value of the genus. The results showed in this chapter (obtained in collaboration with L. Hauswirth and M. Rodríguez) generalize many previous constructions

Cette thèse est consacrée à l'étude des valeurs propres de l'opérateur de Laplace et de l'opérateur de Steklov sur des variétés riemanniennes. On cherche à donner des bornes optimales parmi l'ensemble des métriques, dans une classe conforme donnée ou non, et à caractériser, si elles existent, les métriques qui atteignent ces bornes. Ces métriques extrémales ont des propriétés qui s'inscrivent dans la théorie des surfaces minimales. On s'intéresse d'abord à la borne supérieure des valeurs propres de Laplace parmi des métriques conformes entre elles, appelées valeurs propres conformes. Dans le chapitre 1, on estime la deuxième valeur propre conforme de la sphère standard. Dans les chapitres 2 et 3, on montre que la première valeur propre conforme d'une variété riemannienne est plus grande que celle de la sphère standard de même dimension avec égalité seulement pour la sphère standard. Ensuite, on cherche à démontrer l'existence et la régularité de métriques qui maximisent les valeurs propres sur des surfaces, dans une classe conforme donnée ou non. Dans les chapitres 3 et 4, on démontre un résultat d'existence pour les valeurs propres de Laplace. Dans le chapitre 6, le travail est fait pour les valeurs propres de Steklov. Enfin, dans le chapitre 5, fruit d'un travail réalisé en collaboration avec Paul Laurain, on démontre un résultat de régularité et de quantification des applications harmoniques à bord libre sur une surface Riemannienne. C'est un élément clé pour le chapitre 6 / This thesis is devoted to the study of the Laplace eigenvalues and the Steklov eigenvalues on Riemannian manifolds. We look for optimal bounds among the set of metrics, lying in a conformal class or not. We also characterize, if they exist the metrics which reach these bounds. These extremal metrics have properties from the theory of minimal surfaces. First, we are interested in the upper bound of Laplace eigenvalues in a class of conformal metrics, called the conformal eigenvalues. In Chapter 1, we estimate the second conformal eigenvalue of the standard sphere. In Chapters 2 and 3, we prove that the first conformal eigenvalue of a Riemannian manifold is greater than the one of the standard sphere of same dimension, with equality only for the standard sphere. Then, we look for existence and regularity results for metrics which maximize eigenvalues on surfaces, in a given conformal class or not. In Chapters 3 and 4, we prove an existence result for Laplace eigenvalues. In Chapter 6, the work is done for Steklov eigenvalues. Finally, in Chapter 5, obtained in collaboration with Paul Laurain, we prove a regularity and quantification result for harmonic maps with free boundary on a Riemannian surface. It is a key component for Chapter 6