Le cône diamant a été introduit par N. J. Wildberger pour l'algèbre de Lie sl(n;R). C'est une présentation combinatoire d'une base de l'espace C[N] des fonctions polynomiales sur le facteur nilpotent N de la décompositon d'Iwasawa de SL(n;R), qui respecte la stratification naturelle de ce N-module indécomposable. Cette approche combinatoire peut se réaliser à l'aide de tableaux de Young, qui indexent une telle base. On réalise l'algèbre C[N] comme un quotient, appelé algèbre de forme réduite, de l'algèbre de forme S_ de SL(n;R), on en déduit une base indexée par des tableaux de Young semi standards particuliers, dits tableaux quasi standards. Dans cette thèse cette construction est étendue aux cas des algèbres semi simples de rang 2, puis des algèbres sp(2n), enfin aux super algèbres de Lie sl(m; 1). Dans chaque cas, on définit les tableaux quasi standards, et on montre qu'ils forment une bonne base de l'algèbre de forme réduite, soit directement, soit en utilisant une variante du jeu de taquin de Schützenberger. / The diamond cone was introduced by N. J. Wildberger for the Lie algebra sl(n;R). It is a combinatoric presentation for the space C[N] of polynomials functions on the nilpotent factor N in the Iwasawa decomposition of SL(n;R). This presentation describes the natural layering of this indecomposable N-module. This basis can be indexeded by using some semi standard Young tableaux. We realize the algebra C[N] as a quotient of the shape algebra S_ for SL(n;R). Let us call reduced shape algebra this quotient. It is possible to select a family of semi standard Young tableaux, the quasi standard tableaux, in such a manner to get a basis for the reduced shape algebra. In the present thesis, this construction is extended to the case of rank 2 semi simple Lie algebras, then to the cas of the Lie algebras sp(2n), finally, to the case of the super simple Lie algebra sl(m; 1). In each case, we define the quasi standard Young tableaux, and show they define a good basis for the reduced shape algebra, either directly, or using an adapted version of the jeu de taquin defined by Schützenberger.

Le cône diamant a été introduit par N. J. Wildberger pour l'algèbre de Lie sl(n;R). C'est une présentation combinatoire d'une base de l'espace C[N] des fonctions polynomiales sur le facteur nilpotent N de la décompositon d'Iwasawa de SL(n;R), qui respecte la stratification naturelle de ce N-module indécomposable. Cette approche combinatoire peut se réaliser à l'aide de tableaux de Young, qui indexent une telle base. On réalise l'algèbre C[N] comme un quotient, appelé algèbre de forme réduite, de l'algèbre de forme S_ de SL(n;R), on en déduit une base indexée par des tableaux de Young semi standards particuliers, dits tableaux quasi standards. Dans cette thèse cette construction est étendue aux cas des algèbres semi simples de rang 2, puis des algèbres sp(2n), enfin aux super algèbres de Lie sl(m; 1). Dans chaque cas, on définit les tableaux quasi standards, et on montre qu'ils forment une bonne base de l'algèbre de forme réduite, soit directement, soit en utilisant une variante du jeu de taquin de Schützenberger.

Le modèle de dimères, également connu sous le nom de modèle de couplage parfait, est un modèle probabiliste introduit à l'origine dans la mécanique statistique. Une configuration de dimères d'un graphe est un sous-ensemble des arêtes tel que chaque sommet est incident à exactement une arête. Un poids est attribué à chaque arête et la probabilité d'une configuration est proportionnelle au produit des poids des arêtes présentes. Dans cette thèse, nous étudions principalement deux modèles qui sont liés au modèle de dimères, et plus particulièrement leur comportements limites. Le premier est le modèle des forêts couvrantes enracinées sur des cycles (CRSF) sur le tore, qui sont en bijection avec les configurations de dimères via la bijection de Temperley. Dans la limite quand la taille du tore tend vers l'infini, la mesure sur les CRSF converge vers une mesure de Gibbs ergodique sur le plan tout entier. Nous étudions la connectivité de l'objet limite, prouvons qu'elle est déterminée par le changement de hauteur moyen de la mesure de Gibbs ergodique et donnons un diagramme de phase. Le second est le modèle de perles, un processus ponctuel sur $\mathbb{Z}\times\mathbb{R}$ qui peut être considéré comme une limite à l'échelle du modèle de dimères sur un réseau hexagonal. Nous formulons et prouvons un principe variationnel similaire à celui du modèle dimère \cite{CKP01}, qui indique qu'à la limite de l'échelle, la fonction de hauteur normalisée d'une configuration de perles converge en probabilité vers une surface $h_0$ qui maximise une certaine fonctionnelle qui s'appelle "entropie". Nous prouvons également que la forme limite $h_0$ est une limite de l'échelle des formes limites de modèles de dimères. Il existe une correspondance entre configurations de perles et (skew) tableaux de Young standard, qui préserve la mesure uniforme sur les deux ensembles. Le principe variationnel du modèle de perles implique une forme limite d'un tableau de Young standard aléatoire. Ce résultat généralise celui de \cite{PR}. Nous dérivons également l'existence d'une courbe arctique d'un processus ponctuel discret qui encode les tableaux standard, defini dans \cite{Rom}. / The dimer model, also known as the perfect matching model, is a probabilistic model originally introduced in statistical mechanics. A dimer configuration of a graph is a subset of the edges such that every vertex is incident to exactly one edge of the subset. A weight is assigned to every edge, and the probability of a configuration is proportional to the product of the weights of the edges present. In this thesis we mainly study two related models and in particular their limiting behavior. The first one is the model of cycle-rooted-spanning-forests (CRSF) on tori, which is in bijection with toroidal dimer configurations via Temperley's bijection. This gives rise to a measure on CRSF. In the limit that the size of torus tends to infinity, the CRSF measure tends to an ergodic Gibbs measure on the whole plane. We study the connectivity property of the limiting object, prove that it is determined by the average height change of the limiting ergodic Gibbs measure and give a phase diagram. The second one is the bead model, a random point field on $\mathbb{Z}\times\mathbb{R}$ which can be viewed as a scaling limit of dimer model on a hexagon lattice. We formulate and prove a variational principle similar to that of the dimer model \cite{CKP01}, which states that in the scaling limit, the normalized height function of a uniformly chosen random bead configuration lies in an arbitrarily small neighborhood of a surface $h_0$ that maximizes some functional which we call as entropy. We also prove that the limit shape $h_0$ is a scaling limit of the limit shapes of a properly chosen sequence of dimer models. There is a map form bead configurations to standard tableaux of a (skew) Young diagram, and the map is measure preserving if both sides take uniform measures. The variational principle of the bead model yields the existence of the limit shape of a random standard Young tableau, which generalizes the result of \cite{PR}. We derive also the existence of an arctic curve of a discrete point process that encodes the standard tableaux, raised in \cite{Rom}.

Une approche inductive est développée pour la théorie des représentations de la chaîne des algèbres de Hecke cyclotomiques de type G(m,1,n). Cette approche repose sur l'étude du spectre d'une famille commutative maximale, formée par les analogues des éléments de Jucys--Murphy.Les représentations irréductibles, paramétrées par les multi-partitions, sont construites avec l'aide d'une nouvelle algèbre associative, dont l'espace vectoriel sous-jacent est le produit tensoriel de l'algèbre de Hecke cyclotomique avec l'algèbre associative libre engendrée par les multi-tableaux standards.L'analogue de cette approche est présentée pour la limite classique, c'est-à-dire la chaîne des groupes de réflexions complexes de type G(m,1,n).Dans une seconde partie, une base des algèbres de Hecke cyclotomiques est donnée et la platitude de la déformation est montrée sans utiliser la théorie des représentations. Ces résultats sont généralisés aux algèbres de Hecke affines de type A.Ensuite, une procédure de fusion est présentée pour les groupes de réflexions complexes et les algèbres de Hecke cyclotomiques de type G(m,1,n). Dans les deux cas, un ensemble complet d'idempotents primitifs orthogonaux est obtenu par évaluation consécutive d'une fonction rationnelle.Dans une troisième partie, une nouvelle présentation est obtenue pour les sous-groupes alternés de tous les groupes de Coxeter. Les générateurs sont reliés aux arêtes orientées du graphe de Coxeter. Cette présentation est ensuite étendue, pour tous les types, aux extensions spinorielles des groupes alternés, aux algèbres de Hecke alternées et aux sous-groupes alternés des groupes de tresses. / An inductive approach to the representation theory of the chain of the cyclotomic Hecke algebras of type G(m,1,n) is developed. This approach relies on the study of the spectrum of a maximal commutative family formed by the analogues of the Jucys--Murphy elements.The irreducible representations, labelled by the multi-partitions, are constructed with the help of a new associative algebra, whose underlying vector space is the tensor product of the cyclotomic Hecke algebra with the free associative algebra generated by the standard multi-tableaux.The analogue of this approach is presented for the classical limit, that is for the chain of complex reflection groups of type G(m,1,n).In a second part, a basis of the cyclotomic Hecke algebras is given and the flatness of the deformation is proved without using the representation theory. These results are extended to the affine Hecke algebras of type A.Then a fusion procedure is presented for the complex reflection groups and the cyclotomic Hecke algebras of type G(m,1,n). In both cases, a complete set of primitive orthogonal idempotents is obtained by successive evaluations of a rational fonction.In a third part, a new presentation is obtained for the alternating subgroups of all Coxeter groups. The generators are related to oriented edges of the Coxeter graph. This presentation is then extended, for all types, to the spinor extensions of the alternating groups, the alternating Hecke algebras and the alternating subgroups of braid groups.

Cette thèse est consacrée à l’étude des monoïdes plaxiques par une nouvelle approche utilisant des méthodes issues de la réécriture. Ces méthodes sont appliquées à des présentations de monoïdes plaxiques décrites en termes de tableaux de Young, de bases cristallines de Kashiwara et de modèle des chemins de Littelmann. On étudie le problème des syzygies pour la présentation de Knuth des monoïdes plaxiques. En utilisant la procédure de complétion homotopique basée sur les procédures de complétion de Squier et de Knuth–Bendix, on construit des présentations cohérentes de monoïdes plaxiques de type A. Une telle présentation cohérente étend la notion de présentation convergente d’un monoïde par une famille génératrice de syzygies, décrivant toutes les relations entre les relations. On explicite une présentation cohérente finie des monoïdes plaxiques de type A avec les générateurs colonnes. Cependant, cette présentation n’est pas minimale dans le sens que plusieurs de ses générateurs sont superflus. En appliquant la procédure de réduction homotopique, on réduit cette présentation en une présentation cohérente finie qui étend la présentation de Knuth, donnantainsi toutes les syzygies des relations de Knuth. D’une manière plus générale, on étudie des présentations de monoïdes plaxiques généralisés du point de vue de la réécriture. On construit des présentations convergentes finies de ces monoïdes en utilisant les chemins de Littelmann. De plus, on étudie ces présentations pour le type C en termes de bases cristallines de Kashiwara. En introduisant les générateurs colonnes admissibles, on construit une présentation convergente finie du monoïde plaxique de type C avec des relations explicites. Cette approche nous permettrait d’étudier le problème des syzygies des présentations de monoïdes plaxiques en tout type / This thesis focuses on the study of plactic monoids by a new approach using methods issued from rewriting theory. These methods are applied on presentations of plactic monoids given in terms of Young tableaux, Kashiwara’s crystal bases and Littelmann path model. We study the syzygy problem for the Knuth presentation of the plactic monoids. Using the homotopical completion procedure that extends Squier’s and Knuth–Bendix’s completions procedure, we construct coherent presentations of plactic monoids of type A. Such a coherent presentation extends the notion of a presentation of a monoid by a family of generating syzygies, taking into account all the relations among the relations. We make explicit a finite coherent presentation of plactic monoids of type A with the column generators. However, this presentation is not minimal in the sense that many of its generators are superfluous. After applying the homotopical reduction procedure on this presentation, we reduce it to a finite coherent one that extends the Knuth presentation, giving then all the syzygies of the Knuth relations. More generally, we deal with presentations of plactic monoids of any type from the rewriting theory perspective. We construct finite convergent presentations for these monoids in a general way using Littelmann paths. Moreover, we study the latter presentations in terms of Kashiwara’s crystal graphs for type C. By introducing the admissible column generators, we obtain a finite convergent presentation of the plactic monoid of type C with explicit relations. This approach should allow us to study the syzygy problem for the presentations of plactic monoids for any type

Une approche inductive est développée pour la théorie des représentations de la chaîne des algèbres de Hecke cyclotomiques de type G(m,1,n). Cette approche repose sur l'étude du spectre d'une famille commutative maximale, formée par les analogues des éléments de Jucys-Murphy. Les représentations irréductibles, paramétrées par les multi-partitions, sont construites avec l'aide d'une nouvelle algèbre associative, dont l'espace vectoriel sous-jacent est le produit tensoriel de l'algèbre de Hecke cyclotomique avec l'algèbre associative libre engendrée par les multi-tableaux standards. L'analogue de cette approche est présentée pour la limite classique, c'est-à-dire la chaîne des groupes de réflexions complexes de type G(m,1,n). Dans une seconde partie, une base des algèbres de Hecke cyclotomiques est donnée et la platitude de la déformation est montrée sans utiliser la théorie des représentations. Ces résultats sont généralisés aux algèbres de Hecke affines de type A. Ensuite, une procédure de fusion est présentée pour les groupes de réflexions complexes et les algèbres de Hecke cyclotomiques de type G(m,1,n). Dans les deux cas, un ensemble complet d'idempotents primitifs orthogonaux est obtenu par évaluation consécutive d'une fonction rationnelle. Dans une troisième partie, une nouvelle présentation est obtenue pour les sous-groupes alternés de tous les groupes de Coxeter. Les générateurs sont reliés aux arêtes orientées du graphe de Coxeter. Cette présentation est ensuite étendue, pour tous les types, aux extensions spinorielles des groupes alternés, aux algèbres de Hecke alternées et aux sous-groupes alternés des groupes de tresses.