Le groupe de tresses à $n$ brins sur une surface $S$ est une généralisation naturelle à la fois du groupe de tresses classique à $n$ brins et du groupe fondamental de $S$. Dans la première partie de cette thèse nous donnons des nouvelles présentations pour les groupes de tresses sur les surfaces, qui améliorent les présentations obtenues auparavant par Scott et González-Meneses. Nous montrons ensuite comment associer à tout graphe à $n$ sommets sur la sphère une présentation pour le groupe de tresses à $n$ brins sur la sphère, ce qui étend le résultat de Sergiescu dans le cas des graphes planaires. Nous calculons aussi le $Out$ des groupes de tresses sur la sphère. Ensuite, nous généralisons au cas des tresses sur les surfaces les résultats de Fenn, Rolfsen et Zhu sur les centralisateurs des tresses. Comme application de ce résultat nous obtenons la résolubilité du problème du mot pour les monoïdes de tresses singulières sur les surfaces. Dans la dernière partie, nous étudions les algèbres de Hecke cubiques et nous démontrons qu'il existe une trace de Markov sur des quotients convenables de ces algèbres, en généralisant l'approche de V. Jones. Nous construisons ainsi deux nouveaux invariants d'entrelacs, différents des invariants HOMFLY et de Kauffman, récursivement calculables et définis d'une manière unique par deux relations d'écheveau explicites, dont une cubique.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

En 2004, motivés par des constructions de quasimorphismes sur des groupes d'homéomorphismes et de difféomorphismes, Gambaudo et Ghys démontrèrent une formule liant les ω-signatures d'un entrelacs et les propriétés symplectiques d'une représentation du groupe de tresses.Le but de la thèse est d'étendre le résultat de Gambaudo et Ghys en termes d'un invariant algébrique associé à une tresse : la classe de Witt de sa forme de Blanchfield. Il est en effet possible de définir des invariants d'entrelacs en étudiant l'homologie des revêtements cycliques. Les groupes d'homologie et de cohomologie mis en jeu sont munis de structures de modules sur l'anneau du groupe Λ = Z[π].La forme de Blanchfield d'un entrelacs est ainsi la généralisation de la forme d'enlacement définie sur la partie de torsion du premier groupe d'homologie d'une variété fermée de dimension 3. Elle définit alors pour chaque tresse β une classe L(β) dans un groupe de Witt WT(Λ) .Théorème. Soit α et β deux tresses. On a l'égalité suivante, dans WT(Λ) : L(αβ) － L(α) － L(β) = －∂ Meyer(Burau(α), Burau(β)), où le cocycle de Meyer est maintenant défini sur le sous-groupe des éléments de GLn(Λ) préservant la forme de Squier, à valeurs dans le groupe de Witt W(Q(t)). On retrouve essentiellement le résultat original en spécifiant t = ω dans la formule précédente.

L'objet de ce travail est l'étude générale des représentations linéaires dugroupe de tresses $B_n$ qui proviennent de l'intégration de systèmes de Knizhnik-Zamolodchikov (KZ), vus comme représentations de l'algèbre des tressesinfinitésimales. Nous utilisons la technique des bases de Gelfand-Tsetlin pour étudier certaines représentations de cette algèbre, et montrons comment construire explicitement les représentations du groupe d'Artin correspondantes. Nous classifions complètement les systèmes KZ qui sont irréductibles pour l'action du groupesymétrique et construisons les nouvelles représentations de $B_n$ qui apparaissent àcette occasion. Nous obtenons d'autre part des critères d'irréductibilité sur les représentations de $B_n$ obtenues par construction tensorielle. Nous obtenons enfin d'autres résultats utiles dans ce cadre, notamment une décomposition partielle de l'algèbre de Lie engendrée par les transpositions dansl'algèbre de groupe du groupe symétrique. Cette décomposition partielle est en rapport avec les composantes irréductibles de la représentation de Jones.

La thèse porte sur la catégorification de généralisations de groupes de tresses. Nous étendons une représentation des groupes de tresses par complexes de bimodules de Soergel due à Rouquier. Nous généralisons d'abord ce résultat en type A aux monoïdes de tresses singulières, puis aux groupes de tresses virtuelles. Enfin nous définissons, puis catégorifions des groupes de tresses virtuelles de type B en nous fondant sur une description des groupes de tresses de type B donnée par tom Dieck utilisant des tresses symétriques.

En 2004, motivés par des constructions de quasimorphismes sur des groupes d'homéomorphismes et de difféomorphismes, Gambaudo et Ghys démontrèrent une formule liant les ω-signatures d'un entrelacs et les propriétés symplectiques d'une représentation du groupe de tresses.Le but de la thèse est d’étendre le résultat de Gambaudo et Ghys en termes d’un invariant algébrique associé à une tresse : la classe de Witt de sa forme de Blanchfield. Il est en effet possible de définir des invariants d'entrelacs en étudiant l'homologie des revêtements cycliques. Les groupes d’homologie et de cohomologie mis en jeu sont munis de structures de modules sur l’anneau du groupe Λ = Z[π].La forme de Blanchfield d’un entrelacs est ainsi la généralisation de la forme d’enlacement définie sur la partie de torsion du premier groupe d’homologie d’une variété fermée de dimension 3. Elle définit alors pour chaque tresse β une classe L(β) dans un groupe de Witt WT(Λ) .Théorème. Soit α et β deux tresses. On a l’égalité suivante, dans WT(Λ) : L(αβ) － L(α) － L(β) = －∂ Meyer(Burau(α), Burau(β)), où le cocycle de Meyer est maintenant défini sur le sous-groupe des éléments de GLn(Λ) préservant la forme de Squier, à valeurs dans le groupe de Witt W(Q(t)). On retrouve essentiellement le résultat original en spécifiant t = ω dans la formule précédente. / In 2004, Gambaudo and Ghys proved a formula establishing a connection between the ω-signatures of a link and the symplectic features of a representation of the braid group. Their main motivation was the construction on quasimorphisms on homeomorphism and diffeomorphism groups.The main goal of this thesis is to extend this result in terms of an algebraic invariant of a braids: the Witt class of the Blanchfield form. Some link invariants are defined through the cyclic covering spaces of their exterior. (Co)homology groups are then equipped with module structures over the ring Λ = Z[π]. For example, the Blanchfield form of a link is a generalisation of the linking form of a 3-manifold, which is a bilinear form on the torsionpart of its first homology group. In particular, every braid β defines a class L(β) in a Witt group WT(Λ) .Theorem. Let α and β be two braids. Then, in WT(Λ):L(αβ) － L(α) － L(β) = －∂ Meyer(Burau(α), Burau(β)),where the Meyer cocycle is defined on the sub group of GLn(Λ) whose elements preserve the Squier form.The result by Gambaudo and Ghys can essentially be recovered from this equality.

Cette thèse a pour objet de développer de nouveaux algorithmes pour les groupes de tresses. Un problème important en théorie mathématique des tresses est d'améliorer les algorithmes existants pour résoudre le problème de conjugaison. Nous résolvons complètement ce problème dans le cas du groupe des tresses à quatre brins, en exhibant un algorithme de complexité cubique en terme de la longueur des entrées. La démonstration s'appuie sur deux aspects fondamentaux des groupes de tresses : la structure de groupe de Garside et la structure de groupe de difféotopie. Comme résultat préliminaire, nous développons un algorithme de complexité quadratique capable de classifier les tresses à quatre brins selon leur type de Nielsen-Thurston. Plus généralement, nous étudions ce problème de classification pour un nombre arbitraire de brins. Nous donnons une adaptation des résultats connus de Benardete-Gutiérrez-Nitecki au cadre de la structure de Garside duale. Enfin, à l'aide d'un résultat profond (et non constructif) de Masur-Minsky, nous prouvons l'existence d'un algorithme de complexité polynômiale pour décider le type de Nielsen-Thurston d'une tresse avec un nombre de brins arbitraire.

Une approche inductive est développée pour la théorie des représentations de la chaîne des algèbres de Hecke cyclotomiques de type G(m,1,n). Cette approche repose sur l'étude du spectre d'une famille commutative maximale, formée par les analogues des éléments de Jucys--Murphy.Les représentations irréductibles, paramétrées par les multi-partitions, sont construites avec l'aide d'une nouvelle algèbre associative, dont l'espace vectoriel sous-jacent est le produit tensoriel de l'algèbre de Hecke cyclotomique avec l'algèbre associative libre engendrée par les multi-tableaux standards.L'analogue de cette approche est présentée pour la limite classique, c'est-à-dire la chaîne des groupes de réflexions complexes de type G(m,1,n).Dans une seconde partie, une base des algèbres de Hecke cyclotomiques est donnée et la platitude de la déformation est montrée sans utiliser la théorie des représentations. Ces résultats sont généralisés aux algèbres de Hecke affines de type A.Ensuite, une procédure de fusion est présentée pour les groupes de réflexions complexes et les algèbres de Hecke cyclotomiques de type G(m,1,n). Dans les deux cas, un ensemble complet d'idempotents primitifs orthogonaux est obtenu par évaluation consécutive d'une fonction rationnelle.Dans une troisième partie, une nouvelle présentation est obtenue pour les sous-groupes alternés de tous les groupes de Coxeter. Les générateurs sont reliés aux arêtes orientées du graphe de Coxeter. Cette présentation est ensuite étendue, pour tous les types, aux extensions spinorielles des groupes alternés, aux algèbres de Hecke alternées et aux sous-groupes alternés des groupes de tresses. / An inductive approach to the representation theory of the chain of the cyclotomic Hecke algebras of type G(m,1,n) is developed. This approach relies on the study of the spectrum of a maximal commutative family formed by the analogues of the Jucys--Murphy elements.The irreducible representations, labelled by the multi-partitions, are constructed with the help of a new associative algebra, whose underlying vector space is the tensor product of the cyclotomic Hecke algebra with the free associative algebra generated by the standard multi-tableaux.The analogue of this approach is presented for the classical limit, that is for the chain of complex reflection groups of type G(m,1,n).In a second part, a basis of the cyclotomic Hecke algebras is given and the flatness of the deformation is proved without using the representation theory. These results are extended to the affine Hecke algebras of type A.Then a fusion procedure is presented for the complex reflection groups and the cyclotomic Hecke algebras of type G(m,1,n). In both cases, a complete set of primitive orthogonal idempotents is obtained by successive evaluations of a rational fonction.In a third part, a new presentation is obtained for the alternating subgroups of all Coxeter groups. The generators are related to oriented edges of the Coxeter graph. This presentation is then extended, for all types, to the spinor extensions of the alternating groups, the alternating Hecke algebras and the alternating subgroups of braid groups.

Une approche inductive est développée pour la théorie des représentations de la chaîne des algèbres de Hecke cyclotomiques de type G(m,1,n). Cette approche repose sur l'étude du spectre d'une famille commutative maximale, formée par les analogues des éléments de Jucys-Murphy. Les représentations irréductibles, paramétrées par les multi-partitions, sont construites avec l'aide d'une nouvelle algèbre associative, dont l'espace vectoriel sous-jacent est le produit tensoriel de l'algèbre de Hecke cyclotomique avec l'algèbre associative libre engendrée par les multi-tableaux standards. L'analogue de cette approche est présentée pour la limite classique, c'est-à-dire la chaîne des groupes de réflexions complexes de type G(m,1,n). Dans une seconde partie, une base des algèbres de Hecke cyclotomiques est donnée et la platitude de la déformation est montrée sans utiliser la théorie des représentations. Ces résultats sont généralisés aux algèbres de Hecke affines de type A. Ensuite, une procédure de fusion est présentée pour les groupes de réflexions complexes et les algèbres de Hecke cyclotomiques de type G(m,1,n). Dans les deux cas, un ensemble complet d'idempotents primitifs orthogonaux est obtenu par évaluation consécutive d'une fonction rationnelle. Dans une troisième partie, une nouvelle présentation est obtenue pour les sous-groupes alternés de tous les groupes de Coxeter. Les générateurs sont reliés aux arêtes orientées du graphe de Coxeter. Cette présentation est ensuite étendue, pour tous les types, aux extensions spinorielles des groupes alternés, aux algèbres de Hecke alternées et aux sous-groupes alternés des groupes de tresses.

Nous définissons des formes normales géodésiques pour les séries générales des groupes de réflexions complexes G(de,e,n). Ceci nécessite l'élaboration d'une technique combinatoire afin de déterminer des décompositions réduites et de calculer la longueur des éléments de G(de,e,n) sur un ensemble générateur donné. En utilisant ces formes normales géodésiques, nous construisons des intervalles dans G(e,e,n) qui permettent d'obtenir des groupes de Garside. Certains de ces groupes correspondent au groupe de tresses complexe B(e,e,n). Pour les autres groupes de Garside, nous étudions certaines de leurs propriétés et nous calculons leurs groupes d'homologie sur Z d'ordre 2. Inspirés par les formes normales géodésiques, nous définissons aussi de nouvelles présentations et de nouvelles bases pour les algèbres de Hecke associées aux groupes de réflexions complexes G(e,e,n) et G(d,1,n) ce qui permet d'obtenir une nouvelle preuve de la conjecture de liberté de BMR (Broué-Malle-Rouquier) pour ces deux cas. Ensuite, nous définissons des algèbres de BMW (Birman-Murakami-Wenzl) et de Brauer pour le type (e,e,n). Ceci nous permet de construire des représentations de Krammer explicites pour des cas particuliers des groupes de tresses complexes B(e,e,n). Nous conjecturons que ces représentations sont fidèles. Enfin, en se basant sur nos calculs heuristiques, nous proposons une conjecture sur la structure de l'algèbre de BMW. / We define geodesic normal forms for the general series of complex reflection groups G(de,e,n). This requires the elaboration of a combinatorial technique in order to determine minimal word representatives and to compute the length of the elements of G(de,e,n) over some generating set. Using these geodesic normal forms, we construct intervals in G(e,e,n) that give rise to Garside groups. Some of these groups correspond to the complex braid group B(e,e,n). For the other Garside groups that appear, we study some of their properties and compute their second integral homology groups. Inspired by the geodesic normal forms, we also define new presentations and new bases for the Hecke algebras associated to the complex reflection groups G(e,e,n) and G(d,1,n) which lead to a new proof of the BMR (Broué-Malle-Rouquier) freeness conjecture for these two cases. Next, we define a BMW (Birman-Murakami-Wenzl) and Brauer algebras for type (e,e,n). This enables us to construct explicit Krammer's representations for some cases of the complex braid groups B(e,e,n). We conjecture that these representations are faithful. Finally, based on our heuristic computations, we propose a conjecture about the structure of the BMW algebra.