Neste trabalho apresentamos o Teorema de Goldie no contexto associativo e alternativo. Sabemos que o socle de um anel semiprimo de Goldie é gerado por um idempotente central e que um anel primo de Goldie com socle não-nulo é um anel artiniano simples. Nesse trabalho exibimos a prova da extensão desses resultados para álgebras alternativas, além de um análogo do teorema de Goldie para álgebras alternativas. / In this work we study Goldie’s theorem in the context of alternative and associative algebras. It is well known that the socle of a semiprime Goldie ring is generated by a central idempotent and a prime Goldie ring with nonzero socle is a simple artinian ring. In this work we show the extension of these results to alternative algebras. Moreover, we show an analogue of Goldie’s theorem for alternative algebra.

Apresentamos neste trabalho uma demonstração do teorema de singularidade de Hawking. Este é o mais simples de uma série de resultados em Relatividade Geral, os teoremas de Hawking-Penrose, que fornecem condições suficientes para a existência de singularidades geradas por colapsos gravitacionais. De fato, os teoremas nada falam da natureza destas singularidades, eles garantem apenas a incompletude geodésica, propriedade comumente aceita como o primeiro indício da existência de singularidades. No primeiro capítulo deste trabalho, começamos uma breve apresentação sobre variedades semi-riemannianas, dando atenção especial às variedades lorentzianas. No capítulo seguinte, obtemos alguns resultados do cálculo das variações que se mostrarão úteis para a demonstração do teorema. No último capítulo passamos ao estudo da teoria de causalidade em variedades lorentzianas e, finalmente, à prova do teorema de Hawking. / We present in this work a proof of Hawking's singularity theorem. This is the most simple of a series of results in General Relativity, the Hawking-Penrose theorems, which provides sufficient conditions for the existence af singularities generated by gravitational collapse. ln fact, the theorems say nothing about the nature of such singularities, they provide anly geodesic incampleteness, property commonly accepted as the first evidence af such singularities. ln the first chapter of this work, we began a brief presentatian on semi-riemannian manifolds, paying special attention to lorentzian manifolds. ln the following chapter, we obtain some results on calculus of variatians which turn out to be useful in the proof of the theorem. ln the last chapter we start studying causality theory lorentzian manifolds and, finally, the praaf of Hawking's theorem.

Neste trabalho, apresentamos alguns resultados sobre homeomorfismos e difeomorfismos sem pontos periódicos em S¹, ou seja, no círculo unitário. Inicialmente consideramos algumas definições como conjunto minimal e conjunto a e w limite de xº E S¹. / In this work, we show some results about homeomorphisms and difeomorphims without periodic points in S¹, the unitary circle. Initially we consider some definitions as minimal set and a and w limit set of xº E S¹.

Neste trabalho estudamos três generalizações para o último Teorema de Fermat. A primeira generalização trata de expoentes negativos e de expoentes racionais. Além de mostrar em que casos estas equações possuem soluções, damos uma caracterização completa para todas as soluções inteiras não-nulas existentes. A segunda generalização também trata de expoentes racionais, porém num contexto mais amplo. Aqui permitimos que as raízes n-ésimas sejam complexas, não necessariamente reais. Na terceira generalização vemos que o último Teorema de Fermat também vale para expoentes inteiros gaussianos. / In this work we study three extensions of Fermat's Last Theorem. The first extension deals with negative and rational exponents. Here we show when these equations have nonzero integral solutions and we characterize these solutions when they exist. The second extension also deals with rational exponents, but in a wider context. Here we allow the use of complex roots, not necessarily the real ones. In the third extension we show that Fermat's Last Theorem also holds for Gaussian integer exponents.

Apresentamos neste trabalho uma demonstração do teorema de singularidade de Hawking. Este é o mais simples de uma série de resultados em Relatividade Geral, os teoremas de Hawking-Penrose, que fornecem condições suficientes para a existência de singularidades geradas por colapsos gravitacionais. De fato, os teoremas nada falam da natureza destas singularidades, eles garantem apenas a incompletude geodésica, propriedade comumente aceita como o primeiro indício da existência de singularidades. No primeiro capítulo deste trabalho, começamos uma breve apresentação sobre variedades semi-riemannianas, dando atenção especial às variedades lorentzianas. No capítulo seguinte, obtemos alguns resultados do cálculo das variações que se mostrarão úteis para a demonstração do teorema. No último capítulo passamos ao estudo da teoria de causalidade em variedades lorentzianas e, finalmente, à prova do teorema de Hawking. / We present in this work a proof of Hawking's singularity theorem. This is the most simple of a series of results in General Relativity, the Hawking-Penrose theorems, which provides sufficient conditions for the existence af singularities generated by gravitational collapse. ln fact, the theorems say nothing about the nature of such singularities, they provide anly geodesic incampleteness, property commonly accepted as the first evidence af such singularities. ln the first chapter of this work, we began a brief presentatian on semi-riemannian manifolds, paying special attention to lorentzian manifolds. ln the following chapter, we obtain some results on calculus of variatians which turn out to be useful in the proof of the theorem. ln the last chapter we start studying causality theory lorentzian manifolds and, finally, the praaf of Hawking's theorem.

Neste trabalho apresentamos o Teorema de Goldie no contexto associativo e alternativo. Sabemos que o socle de um anel semiprimo de Goldie é gerado por um idempotente central e que um anel primo de Goldie com socle não-nulo é um anel artiniano simples. Nesse trabalho exibimos a prova da extensão desses resultados para álgebras alternativas, além de um análogo do teorema de Goldie para álgebras alternativas. / In this work we study Goldie’s theorem in the context of alternative and associative algebras. It is well known that the socle of a semiprime Goldie ring is generated by a central idempotent and a prime Goldie ring with nonzero socle is a simple artinian ring. In this work we show the extension of these results to alternative algebras. Moreover, we show an analogue of Goldie’s theorem for alternative algebra.

Neste trabalho estudamos três generalizações para o último Teorema de Fermat. A primeira generalização trata de expoentes negativos e de expoentes racionais. Além de mostrar em que casos estas equações possuem soluções, damos uma caracterização completa para todas as soluções inteiras não-nulas existentes. A segunda generalização também trata de expoentes racionais, porém num contexto mais amplo. Aqui permitimos que as raízes n-ésimas sejam complexas, não necessariamente reais. Na terceira generalização vemos que o último Teorema de Fermat também vale para expoentes inteiros gaussianos. / In this work we study three extensions of Fermat's Last Theorem. The first extension deals with negative and rational exponents. Here we show when these equations have nonzero integral solutions and we characterize these solutions when they exist. The second extension also deals with rational exponents, but in a wider context. Here we allow the use of complex roots, not necessarily the real ones. In the third extension we show that Fermat's Last Theorem also holds for Gaussian integer exponents.

Neste trabalho, apresentamos alguns resultados sobre homeomorfismos e difeomorfismos sem pontos periódicos em S¹, ou seja, no círculo unitário. Inicialmente consideramos algumas definições como conjunto minimal e conjunto a e w limite de xº E S¹. / In this work, we show some results about homeomorphisms and difeomorphims without periodic points in S¹, the unitary circle. Initially we consider some definitions as minimal set and a and w limit set of xº E S¹.

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Neste trabalho apresentamos o Teorema de Goldie no contexto associativo e alternativo. Sabemos que o socle de um anel semiprimo de Goldie é gerado por um idempotente central e que um anel primo de Goldie com socle não-nulo é um anel artiniano simples. Nesse trabalho exibimos a prova da extensão desses resultados para álgebras alternativas, além de um análogo do teorema de Goldie para álgebras alternativas. / In this work we study Goldie’s theorem in the context of alternative and associative algebras. It is well known that the socle of a semiprime Goldie ring is generated by a central idempotent and a prime Goldie ring with nonzero socle is a simple artinian ring. In this work we show the extension of these results to alternative algebras. Moreover, we show an analogue of Goldie’s theorem for alternative algebra.