Orientador: Edson Denis Leonel / Resumo: Este estudo objetiva provar que sistemas dinâmicos de dimensão N, de codimensão um e satisfazendo as condições do teorema da bifurcação de Hopf, podem ser expressos em uma forma analítica simplificada que preserva a topologia do espaço de fases da configuração original, na vizinhança do ponto de equilíbrio. A esta forma simplificada é atribuído o nome de forma normal. Para tanto, foi utilizado a teoria da variedade central, necessária para reduzir a dimensão de sistemas à sua variedade bidimensional, e o teorema das formas normais, utilizando-se como método para determinar a forma simplificada da variedade central associada aos sistemas dinâmicos, atendendo as condições do teorema da bifurcação de Hopf. A partir da análise dos resultados aqui encontrados foi possível construir a prova matemática de que sistemas de dimensão N, atendendo as condições do teorema de Hopf, podem ser reescritos em uma expressão analítica geral e simplificada. Enfim, através deste estudo foi possível resumir todos os resultados aqui obtidos em um teorema geral que, além de reduzir a custosa tarefa de obtenção de formas normais, abrange sistemas N-dimensionais com ocorrência da bifurcação de Hopf. / Abstract: In this work we prove the following: consider a N-dimensional system that is reduced to its center manifold. If it is proved the system satisfies the conditions of Hopf bifurcation theorem, then the original system of differential equations is rewritten in a simpler analytical expression that preserves the phase space topology. This last is also known as the normal form. The center manifold is used to derive a reduced order expression, and the normal form theory is applied to simplify the form of the dynamics on the center manifold. The key results here allow constructing a general mathematical proof for the normal form of N-dimensional systems reduced to its center manifold. In the class of dynamical systems under Hopf bifurcations, the present work reduces the work done to obtain normal forms. / Mestre

Neste trabalho, são estudados os problemas de sincronismo de fase nas redes mestre-escravo de via única (OWMS), nas topologias Estrela Simples, Cadeia Simples e mista, através da Teoria Qualitativa de Equações Diferenciais, com ênfase no Teorema da Variedade Central. Através da Teoria das Bifurcações, analisa-se o comportamento dinâmico das malhas de sincronismo de fase (PLL) de segunda ordem que compõem cada rede, frente às variações nos seus parâmetros constitutivos. São utilizadas duas funções de excitação muito comuns na prática: o degrau e a rampa de fase, aplicadas pelo nó mestre. Em cada caso, discute-se a existência e a estabilidade do estado síncrono. A existência de pontos de equilíbrio não-hiperbólicos, não permite uma aproximação linear, e nesses casos é aplicado o Teorema da Variedade Central. Através dessa rigorosa técnica de simplificação de sistemas dinâmicos é possível fazer uma aproximação homeomórfica em torno desses pontos, preservando a orientação no espaço de fases. Desse modo, é possível determinar, localmente, suas estabilidades. / This work presents stability analysis of the syncronous state for three types of one-way master-slave time distribution network topologies: single star, single chain and both of them, mixed. Using bifurcation theory, the dynamical behavior of second-order phase-locked loops employed to extract the syncronous state in each node is analyzed in function of the constitutive parameters. Two usual inputs, the step and the ramp phase pertubations, are supposed to appear in the master node and, in each case, the existence and stability of the syncronous state are studied. For parameter combinations resulting in non hyperbolic synchronous states, the linear approximation does not provide any information, even about the local behaviour of the system. In this case, the center manifold theorem permits the construction of an equivalent vector field representing the asymptotic behaviour of the original system in the neighborhood of these points. Thus, the local stability can be determined.

Neste trabalho, são estudados os problemas de sincronismo de fase nas redes mestre-escravo de via única (OWMS), nas topologias Estrela Simples, Cadeia Simples e mista, através da Teoria Qualitativa de Equações Diferenciais, com ênfase no Teorema da Variedade Central. Através da Teoria das Bifurcações, analisa-se o comportamento dinâmico das malhas de sincronismo de fase (PLL) de segunda ordem que compõem cada rede, frente às variações nos seus parâmetros constitutivos. São utilizadas duas funções de excitação muito comuns na prática: o degrau e a rampa de fase, aplicadas pelo nó mestre. Em cada caso, discute-se a existência e a estabilidade do estado síncrono. A existência de pontos de equilíbrio não-hiperbólicos, não permite uma aproximação linear, e nesses casos é aplicado o Teorema da Variedade Central. Através dessa rigorosa técnica de simplificação de sistemas dinâmicos é possível fazer uma aproximação homeomórfica em torno desses pontos, preservando a orientação no espaço de fases. Desse modo, é possível determinar, localmente, suas estabilidades. / This work presents stability analysis of the syncronous state for three types of one-way master-slave time distribution network topologies: single star, single chain and both of them, mixed. Using bifurcation theory, the dynamical behavior of second-order phase-locked loops employed to extract the syncronous state in each node is analyzed in function of the constitutive parameters. Two usual inputs, the step and the ramp phase pertubations, are supposed to appear in the master node and, in each case, the existence and stability of the syncronous state are studied. For parameter combinations resulting in non hyperbolic synchronous states, the linear approximation does not provide any information, even about the local behaviour of the system. In this case, the center manifold theorem permits the construction of an equivalent vector field representing the asymptotic behaviour of the original system in the neighborhood of these points. Thus, the local stability can be determined.