As possíveis soluções da equação integro-diferencial de Boltzmann constituem uma importante ferramenta para o estudo de gases e plasmas. No entanto, suas soluções analíticas são difíceis de serem encontradas. Uma abordagem bastante utilizada na literatura para obter soluções aproximadas da equação de Boltzmann é através de hipóteses que simplificam a forma da integral de colisão. Nesta dissertação, discutimos dois modelos colisionais alternativos que generalizam o método originalmente proposto por Bhatnagar, Gross e Krook, usualmente referido na literatura como aproximação BGK. O primeiro deles é um modelo de relaxação de segunda ordem, no qual introduzimos um segundo tempo de relaxação, 2 , relacionado com efeitos não lineares. O segundo modelo é baseado em outra generalização do modelo BGK obtida através de uma lei de potência parametrizada por um índice . No limite 1 o modelo BGK padrão é recuperado. As duas aproximações são fisicamente interpretadas. Além disso, para ilustrar nossos resultados com algumas aplicações mais quantitativas, obtemos as expressões analíticas para diversos coeficientes de transporte, a saber: a condutividade térmica (), a viscosidade de cisalhamento () e a condutividade elétrica (). Em particular, no modelo de relaxação de segunda ordem, as correções dependem da razão 1/2, onde 1 é a escala de tempo característica do modelo BGK padrão e 2 a nova escala de tempo associada aos efeitos não lineares. Finalmente, como um resultado geral, mostramos também que todas as correções nos coeficientes de transporte dependem numa certa potência do chamado número de Knudsen. / The possible solutions of the integro-diferential Boltzmann equation constitute an important tool for studying gases and plasmas. |However, its analytical solutions are hardly derived. An approach often adopted in the literature for obtaining approximate solutions of the Boltzmann equation is to consider some simplifying hypothesis on the collisional term. In this Dissertation, we discuss two diferent alternative collisional models which generalize the method originally proposed by Bhatnagar, Gross e Krook, and usually referred to as BGK approximation. The first one is a second order relaxation model in which a second relaxation time, 2, related with the nonlinear efects, is introduced. The second one is based on a diferent generalization of the BGK model which is obtained through a power law parameterized by a index . In the limit 1, the BGK model is recovered. Both approximations are physically interpreted. Further, in order to illustrate our results with some more quantitative applications, we derive the analytical expressions for several transport coefficients, among them the thermal conductivity (), the shear viscosity () and the electric conductivity (). In particular, for the second order relaxation model, we find that the corrections depend on the ratio 1/2 where 1 is the characteristic time scale of the BGK model and 2 describe the nonlinear efects. Finally, as a general result, it is also shown that all the corrections on the transport coefficients depend on a given power of the so-called Knudsen number.

Apresentamos neste trabalho uma série de estudos sobre os efeitos de perturbações geométricas em alguns modelos da física estatística com transições de fase contínuas, Essas perturbações são causadas por distribuições aleatórias ou aperiódicas (e determinísticas) de campos ou de acoplamentos microscópicos ao longo das redes em que os modelos são definidos. No caso de sistemas aperiódicos sem desordem, mostramos uma grande quantidade de exemplos das possíveis alterações induzidas no comportamento crítico de modelos de Ising, Potts e um modelo para polímeros em interação. Empregamos técnicas não-perturbativas de grupo de renormalização no espaço real (matrizes de transferência para estudar a termodinâmica desses sistemas na região crítica ou tricrítica. Concluímos que, ainda que distribuições aperiódicas de constantes de acoplamento muitas vezes alterem sensivelmente os expoentes críticos associados às transições de fases, classificações universais ainda são possíveis. As classes de universalidade ligadas aos diferentes modelos e às várias maneiras de perturbá-los aperiodicamente estão associadas n inesperadas estruturas atratoras que surgem no espaço hamiltoniano de parâmetros, descritas em detalhe. No caso de modelos em presença de perturbações aleatórias à simetria translacional, argumentamos que alguns tipos de classificações universais também devem ser possíveis, primeiramente por causa de urna certa analogia com os sistemas aperiódicos anteriores, e também porque eles parecem sempre estar associados a formas de dinâmica complexa (corno a que se observa em sistemas vítreos não-desordenados). Comentamos brevemente sobre esta última conexão, e apresentamos urna análise ele um modelo desordenado muito simples, que tem a termodinâmica inteiramente calculável, e pode esconder alguma assinatura dessa dinâmica complexa. Finalmente. discutimos os rudimentos da chamada técnica de Martin-Siggia-Rose (MSR), que pode ser empregada para estudos avançados de sistemas com evoluções do tipo Langevin, e que permitiu o início da compreensão, já há algumas décadas, da possível universalidade da dinâmica complexa de sistemas desordenados. / We present in this work a series of studies on the effects of geometrical perturbations on statistical-physics models with continuous phase transitions. These perturbations are generated by random or aperiodic (deterministic) distributions of fields or microscopic couplings, along the lattices on which the models are defined. In case of non-disordered aperiodic systems, we s: show a wealth of examples of the changes that may be brought about on the critical behavior of Ising, Potts and interacting-polymer models. We employ non-perturbative real-space renormalization group techniques, as well as transfer-matrix methods to study the thermodynamics of such systems in the neighborhood of critical and tricritical points. Our conclusion is that although critical exponents may change appreciably in the presence of aperiodic distributions of couplings, universal classifications are nevertheless still workable. The universality classes associated to different models and the distinct ways of implementing aperiodicity are connected to unexpected attractors in Hamiltonian parameter space, which are thoroughly described. In case of random perturbations that break translational symmetry we argue that some universal classifications should still be possible. First, because these systems are in a sense analogous to the former aperiodic ones, and also because they always seem to be associated with some form of complex dynamics (as the dynamics of vitreous, non-random materials). We make some brief comments on this connection, and present a study of a very simpIe disordered model, whose thermodynamics is completely solvable, and which may hide some signatures of complex dynamics. Finally, we discuss the first steps of the so-called Martin-Siggia-Rose (MSR) method, which may be employed in advanced studies of systems undergoing Langevin-type evolutions, and which was responsible, some decades ago, for a first glimpse into the possible universality of complex dynamical behavior of disordered systems.

As possíveis soluções da equação integro-diferencial de Boltzmann constituem uma importante ferramenta para o estudo de gases e plasmas. No entanto, suas soluções analíticas são difíceis de serem encontradas. Uma abordagem bastante utilizada na literatura para obter soluções aproximadas da equação de Boltzmann é através de hipóteses que simplificam a forma da integral de colisão. Nesta dissertação, discutimos dois modelos colisionais alternativos que generalizam o método originalmente proposto por Bhatnagar, Gross e Krook, usualmente referido na literatura como aproximação BGK. O primeiro deles é um modelo de relaxação de segunda ordem, no qual introduzimos um segundo tempo de relaxação, 2 , relacionado com efeitos não lineares. O segundo modelo é baseado em outra generalização do modelo BGK obtida através de uma lei de potência parametrizada por um índice . No limite 1 o modelo BGK padrão é recuperado. As duas aproximações são fisicamente interpretadas. Além disso, para ilustrar nossos resultados com algumas aplicações mais quantitativas, obtemos as expressões analíticas para diversos coeficientes de transporte, a saber: a condutividade térmica (), a viscosidade de cisalhamento () e a condutividade elétrica (). Em particular, no modelo de relaxação de segunda ordem, as correções dependem da razão 1/2, onde 1 é a escala de tempo característica do modelo BGK padrão e 2 a nova escala de tempo associada aos efeitos não lineares. Finalmente, como um resultado geral, mostramos também que todas as correções nos coeficientes de transporte dependem numa certa potência do chamado número de Knudsen. / The possible solutions of the integro-diferential Boltzmann equation constitute an important tool for studying gases and plasmas. |However, its analytical solutions are hardly derived. An approach often adopted in the literature for obtaining approximate solutions of the Boltzmann equation is to consider some simplifying hypothesis on the collisional term. In this Dissertation, we discuss two diferent alternative collisional models which generalize the method originally proposed by Bhatnagar, Gross e Krook, and usually referred to as BGK approximation. The first one is a second order relaxation model in which a second relaxation time, 2, related with the nonlinear efects, is introduced. The second one is based on a diferent generalization of the BGK model which is obtained through a power law parameterized by a index . In the limit 1, the BGK model is recovered. Both approximations are physically interpreted. Further, in order to illustrate our results with some more quantitative applications, we derive the analytical expressions for several transport coefficients, among them the thermal conductivity (), the shear viscosity () and the electric conductivity (). In particular, for the second order relaxation model, we find that the corrections depend on the ratio 1/2 where 1 is the characteristic time scale of the BGK model and 2 describe the nonlinear efects. Finally, as a general result, it is also shown that all the corrections on the transport coefficients depend on a given power of the so-called Knudsen number.

Apresentamos neste trabalho uma série de estudos sobre os efeitos de perturbações geométricas em alguns modelos da física estatística com transições de fase contínuas, Essas perturbações são causadas por distribuições aleatórias ou aperiódicas (e determinísticas) de campos ou de acoplamentos microscópicos ao longo das redes em que os modelos são definidos. No caso de sistemas aperiódicos sem desordem, mostramos uma grande quantidade de exemplos das possíveis alterações induzidas no comportamento crítico de modelos de Ising, Potts e um modelo para polímeros em interação. Empregamos técnicas não-perturbativas de grupo de renormalização no espaço real (matrizes de transferência para estudar a termodinâmica desses sistemas na região crítica ou tricrítica. Concluímos que, ainda que distribuições aperiódicas de constantes de acoplamento muitas vezes alterem sensivelmente os expoentes críticos associados às transições de fases, classificações universais ainda são possíveis. As classes de universalidade ligadas aos diferentes modelos e às várias maneiras de perturbá-los aperiodicamente estão associadas n inesperadas estruturas atratoras que surgem no espaço hamiltoniano de parâmetros, descritas em detalhe. No caso de modelos em presença de perturbações aleatórias à simetria translacional, argumentamos que alguns tipos de classificações universais também devem ser possíveis, primeiramente por causa de urna certa analogia com os sistemas aperiódicos anteriores, e também porque eles parecem sempre estar associados a formas de dinâmica complexa (corno a que se observa em sistemas vítreos não-desordenados). Comentamos brevemente sobre esta última conexão, e apresentamos urna análise ele um modelo desordenado muito simples, que tem a termodinâmica inteiramente calculável, e pode esconder alguma assinatura dessa dinâmica complexa. Finalmente. discutimos os rudimentos da chamada técnica de Martin-Siggia-Rose (MSR), que pode ser empregada para estudos avançados de sistemas com evoluções do tipo Langevin, e que permitiu o início da compreensão, já há algumas décadas, da possível universalidade da dinâmica complexa de sistemas desordenados. / We present in this work a series of studies on the effects of geometrical perturbations on statistical-physics models with continuous phase transitions. These perturbations are generated by random or aperiodic (deterministic) distributions of fields or microscopic couplings, along the lattices on which the models are defined. In case of non-disordered aperiodic systems, we s: show a wealth of examples of the changes that may be brought about on the critical behavior of Ising, Potts and interacting-polymer models. We employ non-perturbative real-space renormalization group techniques, as well as transfer-matrix methods to study the thermodynamics of such systems in the neighborhood of critical and tricritical points. Our conclusion is that although critical exponents may change appreciably in the presence of aperiodic distributions of couplings, universal classifications are nevertheless still workable. The universality classes associated to different models and the distinct ways of implementing aperiodicity are connected to unexpected attractors in Hamiltonian parameter space, which are thoroughly described. In case of random perturbations that break translational symmetry we argue that some universal classifications should still be possible. First, because these systems are in a sense analogous to the former aperiodic ones, and also because they always seem to be associated with some form of complex dynamics (as the dynamics of vitreous, non-random materials). We make some brief comments on this connection, and present a study of a very simpIe disordered model, whose thermodynamics is completely solvable, and which may hide some signatures of complex dynamics. Finally, we discuss the first steps of the so-called Martin-Siggia-Rose (MSR) method, which may be employed in advanced studies of systems undergoing Langevin-type evolutions, and which was responsible, some decades ago, for a first glimpse into the possible universality of complex dynamical behavior of disordered systems.