Dans une première partie, nous développerons la théorie de l'homogénéisation symplectique ainsi que ses applications à la théorie de Mather et à la rigidité symplectique. Les invariants spectraux lagrangiens seront l'outil de base de ce travail. Dans une seconde partie, nous rappelerons les toutes nouvelles applications de la théorie des faisceaux aux problèmes de non déplaçabilité. Nous formulerons ce que nous pensons être l'équivalent de l'homologie de Floer dans ce cas là et les invariants spectraux. Puis, à l'aide de ces outils nous prouverons la non-déplaçabilité de sous-variétés lagrangiennes non exactes du cotangent. Ensuite, nous parlerons des applications à la topologie symplectique $C^0$ et à l'optimisation non lisse.

Ce mémoire concerne les phénomènes de rigidité/flexibilité liés aux plongements et leurs applications en topologie symplectique. Les deux grands thèmes abordés sont les plongements symplectiques équidimensionnels en dimension 4 et la géometrie symplectique C^0.

Dans les catégories de foncteurs entre catégories abéliennes, les foncteurs additifs jouent un rôle privilégié dans plusieurs domaines de l'algébre. Cependant il existe de nombreux foncteurs trés intéressants qui ne sont pas additifs. Par exemple, le produit tensoriel de groupes abéliens définit un foncteur $T^2: Ab \to Ab$ donné par $T^2(G)=G \otimes G$ qui n'est pas additif mais polynomial de degré deux. Les foncteurs polynomiaux ont été introduits par Eilenberg et MacLane pour les foncteurs entre catégories de modules. De nombreux exemples de foncteurs polynomiaux apparaissent naturellement en topologie algébrique. En particulier, l'homologie stable de familles de groupes à coefficients donnés par des foncteurs polynomiaux peut être interprétée en termes d'homologie des foncteurs. Dans les cas favorables, cette homologie des foncteurs est accessible et fournit ainsi des calculs explicites des valeurs stables des homologies à coefficients tordus. Ce mémoire comporte deux parties. La première concerne l'étude de la structure des foncteurs polynomiaux et la seconde concerne le calcul de l'homologie stable d'une famille de groupes à coefficients donnés par un foncteur polynomial.

Ces dernières années, la physique de la matière condensée a connu une profonde révolution de concepts par la découverte de nombreuses phases de la matière qui ne sont pas classifiables à la Landau, c'est à dire par leur groupe de symétrie. Si les premiers travaux remontent à ceux des effets Hall quantiques (entier et fractionnaire), ce n'est que récemment, avec l'avènement du graphène et des isolants topologiques que les physiciens ont réalisé que ces phases de la matière ne nécessitent, dans l'absolu, ni champ magnétique, ni basse température, par opposition aux effets Hall quantiques précédemment cités. Ces nouveaux états de la matière sont caractérisés non pas par la géométrie du problème mais plutôt par la topologie. Ici donc, la forme précise du spectre électronique n'est pas importante, seules certaines caractéristiques, comme la présence ou l'absence d'un gap, le sont. De manière similaire à la classification de Landau des groupes de symétries, il est possible de classifier ces nouveaux systèmes par l'intermédiaire de groupes topologiques. La branche mathématique invoquée est celle de la topologie algébrique. A travers les invariants qu'elle génère, il est possible de classer les états topologiquement non-triviaux. De plus, les transitions entre des états à topologies distinctes sont aussi accessibles par cette théorie. Les travaux réalisés dans le cadre de cette thèse s'intéressent aux effets topologiques dans la structure de bandes de matériaux bi-dimensionnels. Après une présentation du formalisme mathématique général, un premier chapitre s'intéressera à la topologie locale, c'est à dire pour une portion restreinte de la première zone de Brillouin, des points de croisements de bandes, dits points de Dirac. Un effort sera porté vers la classification de ces systèmes et des transitions associées. Le chapitre suivant mettra en lumière un moyen efficace de mesurer les effets de la topologie des électrons en deux dimensions. Il s'agit de l'étude des niveaux de Landau qui résultent de l'application d'un champ magnétique 5transverse au plan des électrons. Les points de Dirac se transmutent alors en niveaux à énergie nulle topologiquement stables, c'est à dire peu ou pas influencés par les diverses perturbations. L'étude des différents modèles justifiera la discrimination entre la physique à champ magnétique faible et celle à champ magnétique fort, faible ou fort étant très dépendant du système étudié. Enfin, dans un dernier chapitre plus prospectif on s'intéressera à la topologie globale, c'est à dire pour l'ensemble de la première zone de Brillouin. Ce type d'étude est surtout caractérisé par l'existence d'états de bords robustes. On en fera l'expérience d'une double manière. D'abord par l'étude un modèle à un électron, puis par celle d'un système en forte interaction de N électrons. A travers les différents exemples étudiés, on s'attachera à démontrer la puissance de l'outil topologique pour les problèmes de la matière condensée, phénomène qui devrait s'accentuer les prochaines années.

Dans cette thèse nous présentons la formalisation de trois résultats principaux que sont la forme normale de Jordan d'une matrice, le théorème de Bolzano-Weierstraß et le théorème de Perron-Frobenius. Pour la formalisation de la forme normale de Jordan nous introduisons différents concepts d'algèbre linéaire tel que les matrices diagonales par blocs, les matrices compagnes, les facteurs invariants, ... Ensuite nous définissons et développons une théorie sur les espaces topologiques et métriques pour la formalisation du théorème de Bolzano-Weierstraß. La formalisation du théorème de Perron-Frobenius n'est pas terminée. La preuve de ce théorème utilise des résultats d'algèbre linéaire, mais aussi de topologie. Nous montrerons comment les précédents résultats seront réutilisés.

Techn. Universiẗat, Diss., 2007--Darmstadt.

Stuttgart, Univ., Diplomarbeit, 2007.

Univ., FB Mathematik, Habil.-Schr., 2001--Hamburg, 2001.

Universiẗat, Diss., 1998--Dortmund. / Dateiformat: PDF.

Les points critiques d’une fonction scalaire (minima, points col et maxima) sont des caractéristiques importantes permettant de décrire de gros ensembles de données, comme par exemple les données topographiques. L’acquisition de ces données introduit souvent du bruit sur les valeurs. Un grand nombre de points critiques sont créés par le bruit, il est donc important de supprimer ces points critiques pour faire une bonne analyse de ces données. Le complexe de Morse-Smale est un objet mathématique qui est étudié dans le domaine de la Visualisation Scientifique car il permet de simplifier des fonctions scalaires tout en gardant les points critiques les plus importants de la fonction étudiée, ainsi que les liens entre ces points critiques. Nous proposons dans cette thèse une méthode permettant de construire une fonction qui correspond à un complexe de Morse-Smale d’une fonction définie sur R^2 après suppression de paires de points critiques dans celui-ci.Tout d’abord, nous proposons une méthode qui définit une surface interpolant des valeurs de fonction aux points d’une grille de façon monotone, c’est-à-dire en ne créant pas de point critique. Cette surface est composée d’un ensemble de patchs de Bézier triangulaires cubiques assemblés de telle sorte que la surface soit globalement C^1. Nous donnons des conditionssuffisantes sur les valeurs d fonction et les valeurs de dérivées partielles aux points de la grille afin que la surface soit croissante dans la direction (x+y). Il n’est pas évident de créer des valeurs de dérivées partielles en chaque point de la grille vérifiant ces conditions. C’est pourquoi nous introduisons deux algorithmes : le premier permet de modifier des valeurs de dérivées partielles données en entrée afin que celles-ci vérifient les conditions et le second calcule des valeurs de dérivées partielles à partir des valeurs de fonctions aux points de la grille.Ensuite, nous décrivons une méthode de reconstruction de champs scalaires à partir de complexes de Morse-Smale simplifiés. Pour cela, nous commençons par approximer les 1-cellules (les liens entre les points critiques dans le complexe de Morse-Smale, ceux-ci sont décrits par des polylignes) par des courbes composées de courbes de Bézier cubiques. Nous décrivons ensuite comment notre interpolation monotone de valeurs aux points d’une grille est utilisée pour construire des surfaces monotones interpolant les courbes construites précédemment. De plus, nous montrons que la fonction reconstruite contient tout les points critiques du complexe de Morse-Smale simplifié et n’en contient aucun autre. / Critical points of a scalar function (minima, saddle points and maxima) are important features to characterize large scalar datasets, like topographic data. But the acquisition of such datasets introduces noise in the values. Many critical points are caused by the noise, so there is a need to delete these extra critical points. The Morse-Smale complex is a mathematical object which is studied in the domain of Visualization because it allows to simplify scalar functions while keeping the most important critical points of the studied function and the links between them. We propose in this dissertation a method to construct a function which corresponds to a Morse-Smale complex defined on R^2 after the suppression of pairs of critical points.Firstly, we propose a method which defines a monotone surface (a surface without critical points).This surface interpolates function values at a grid points. Furthermore, it is composed of a set of triangular cubic Bézier patches which define a C^1 continuous surface. We give sufficient conditions on the function values at the grid points and on the partial derivatives at the grid points so that the surface is increasing in the (x+y) direction. It is not easy to compute partial derivatives values which respect these conditions. That’s why we introduce two algorithms : the first modifies the partial derivatives values on input such that they respect the conditions and the second computes these values from the function values at the grid points.Then, we describe a reconstruction method of scalar field from simplified Morse-Smale complexes. We begin by approximating the 1-cells of the complex (which are the links between the critical points, described by polylines) by curves composed of cubic Bézier curves. We then describe how our monotone interpolant of values at grid points is used to construct monotone surfaces which interpolate the curves we computed before. Furthermore, we show that the function we compute contains all the critical points of the simplified Morse-Smale complex and has no others.