L'homologie de contact a ete introduite par Eliashberg, Givental et<br />Hofer. Dans cette theorie, on compte des courbes pseudo-holomorphes dans la symplectisation d'une variete de contact, qui convergent a l'infini vers des orbites fermees du champ de Reeb. Ces orbites sont supposees non degenerees et, en particulier, isolees. Cette hypothese rend le calcul de l'homologie de contact tres difficile.<br />L'objet de cette these est de developper des techniques de calcul pour l'homologie de contact dans des situations de type Morse-Bott, dans lesquelles les orbites de Reeb fermees forment des sous-varietes de la variete de contact. On demande une hypothese de type Morse-Bott sur la forme de contact, une propriete de positivite pour l'indice de Maslov, des restrictions generales sur le flot de Reeb, et $c_1(\xi) = 0$.<br />On utilise ensuite ces methodes pour calculer l'homologie de contact dans plusieurs exemples, pour illuster leur efficacite. On utilise ces invariants de contact pour montrer que $T^5$ et $T^2 \times S^3$ possedent une infinite de structures de contact deux a deux non isomorphes, dans la classe d'homotopie formelle triviale.

Dans cette thèse, nous étudions divers problèmes issus de la topologie symplectique où la topologie C° intervient. Nous étudions diverses complétions de l'espace des applications hamiltoniennes, puis appliquons cette étude aux équations d'Hamilton-Jacobi. Nous abordons ensuite le problème de l'extension du morphisme de Calabi à des groupes d'homéomorphismes. Enfin, nous nous intéressons à la rigidité C° du crochet de Poisson et à l'extension au cadre C° de la notion de représentation hamiltonienne.

Dans une première partie, nous développerons la théorie de l'homogénéisation symplectique ainsi que ses applications à la théorie de Mather et à la rigidité symplectique. Les invariants spectraux lagrangiens seront l'outil de base de ce travail. Dans une seconde partie, nous rappelerons les toutes nouvelles applications de la théorie des faisceaux aux problèmes de non déplaçabilité. Nous formulerons ce que nous pensons être l'équivalent de l'homologie de Floer dans ce cas là et les invariants spectraux. Puis, à l'aide de ces outils nous prouverons la non-déplaçabilité de sous-variétés lagrangiennes non exactes du cotangent. Ensuite, nous parlerons des applications à la topologie symplectique $C^0$ et à l'optimisation non lisse.

Ce mémoire concerne les phénomènes de rigidité/flexibilité liés aux plongements et leurs applications en topologie symplectique. Les deux grands thèmes abordés sont les plongements symplectiques équidimensionnels en dimension 4 et la géometrie symplectique C^0.

Le groupe de difféomorphismes hamiltoniens à support compact d’une variété symplectique admet une distance naturelle bi-invariante, d’après les travaux de Viterbo, Schwarz, Oh, Frauenfelder et Schlenk, construite à partir des invariants spectraux en homologie de Floer Hamiltonienne. Cette distance, appelée la norme spectrale, s’est révélée être un outil fort utile en topologie symplectique. Par contre, son diamètre reste inconnu en général. En fait, pour les variétés symplectiques fermées, il n’existe même pas de critère pour déterminer si la norme spectrale a un diamètre fini ou infini. Il a été conjecturé que, pour les variétés symplectiquement asphériques, le diamètre de la norme spectrale est infini. Dans cette thèse, nous démontrons que pour tout domaine de Liouville, la norme spectrale a un diamètre infini si et seulement si la cohomologie symplectique du domaine de Liouville en question est non nulle. Ceci généralise un résultat de Monzner-Vichery-Zapolsky et admet plusieurs applications dans le cadre des variétés symplectiques fermées. En particulier, nous démontrons que le produit de deux variétés symplectiquement asphériques a un diamètre spectral infini. Plus généralement, nous démontrons que toute variété symplectiquement asphérique contenant un domaine de Liouville incompressible de codimension zéro avec cohomologie symplectique non nulle doit avoir un diamètre spectral infini. / The group of compactly supported Hamiltonian diffeomorphisms of a symplectic manifold is endowed with a natural bi-invariant distance, due to Viterbo, Schwarz, Oh, Frauenfelder and Schlenk, coming from spectral invariants in Hamiltonian Floer homology. This distance, called the spectral norm, has found numerous applications in symplectic topology. However, its diameter is still unknown in general. In fact, for closed symplectic manifolds there is no unifying criterion for the diameter to be finite or infinite. It has been conjectured that for closed symplectically aspherical manifolds, the spectral norm has infinite diameter. In this thesis, we prove that for any Liouville domain the spectral norm has infinite diameter if and only if its symplectic cohomology does not vanish. This generalizes a result of Monzner-Vichery-Zapolsky and has applications in the setting of closed symplectic manifolds. For instance, we show that the product of two closed symplectically aspherical manifold has an infinite spectral diameter . More generally, we prove that any symplectically aspherical manifold which contains an incompressible Liouville domain of codimension zero with non-vanishing symplectic cohomology must have infinite spectral diameter.

L'homologie de contact est un invariant homologique pour variétés de contact dont la définition est basée sur l'utilisation de courbes holomorphes. Ce travail de thèse concerne l'étude de cet invariant dans le cas des produits de contact. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

L'objectif de cette thèse est d'investiguer les relations entre les propriétés topologiques d'une variété de contact et la dynamique des flots de Reeb dans la variété de contact en question. Dans la première partie de la thèse, nous établissons une relation entre la croissance de l’homologie de contact cylindrique d'une variété de contact et l'entropie topologique des flots de Reeb dans cette variété de contact. Nous utilisons ce résultat dans les chapitres 8 et 9 pour montrer l'existence d'un grand nombre des nouvelles variétés de contact de dimension 3 dans lesquelles tous les flots de Reeb ont entropie topologique positive. Dans le chapitre 10, nous prouvons un résultat obtenu en collaboration avec Chris Wendl qui donne une obstruction dynamique pour qu'une variété de contact de dimension 3 soit planaire. Cette obstruction est utilisée pour montrer que, si une variété de contact de dimension 3 possède un flot de Reeb qui est uniformément hyperbolique (Anosov) avec variétés invariantes traversalement orientables, alors cette variété de contact n'est pas planaire. Dans le chapitre 11, nous étudions l'entropie topologique des flots de Reeb dans les fibrés unitaires des surfaces de genre plus grand que 1. Nous montrons que la restriction de chaque flot de Reeb en au ensemble limite de presque toute fibre unitaire a une entropie topologique positive. / In this thesis we study the relations between the contact topological properties of contact manifolds and the dynamics of Reeb flows. On the first part of the thesis, we establish a relation between the growth of the cylindrical contact homology of a contact manifold and the topological entropy of Reeb flows on this manifold. We build on this to show in Chapter 6 that if a contact manifold M admits a hypertight contact form A for which the cylindrical contact homology has exponential homotopical growth rate, then the Reeb flow of every contact form on M has positive topological entropy. Using this result, we exhibit in Chapter 8 and 9 numerous new examples of contact 3-manifolds on which every Reeb flow has positive topological entropy. On Chapter 10 we present a joint result with Chris Wendl that gives a dynamical obstruction for contact 3-manifold to be planar. We then use the obstruction to show that a contact 3-manifold that possesses a Reeb flow that is a transversely orientable Anosov flow, cannot be planar. On Chapter 11 we study the topological entropy for Reeb flows on spherizations. The result we obtain is a refinement of a result of Macarini and Schlenk, that states that every Reeb flow on the unit tangent bundle U of a high genus surface S has positive topological entropy. We show that for any Reeb flow on U, the omega-limit of almost every Legendrian fiber is a compact invariant set on which the dynamics has positive topological entropy.

Ce mémoire revient sur l'invariant de Gromov-Witten dans le contexte de topologie symplectique. D'abord, on présente un survol des notions nécessaires de la topologie symplectique, qui inclut les espaces vectoriels symplectiques, les variétés symplectiques, les structures presque complexes et la première classe de Chern. Ensuite, on présente une définition de l'invariant de Gromov-Witten, qui utilise les courbes pseudoholomorphes, les espaces de modules ainsi que les applications d'évaluation. Finalement, on donne quelques exemples de calcul d'invariant à la fin de ce mémoire. / The present work reviews the Gromov-Witten invariant in the context of symplectic topology. First, we showcase the basic concepts required for the understanding of the matter, which includes symplectic vector spaces, symplectic manifolds, almost complex structures and the first Chern class. Then, we provide a definition of the Gromov-Witten invariant, after studying pseudoholomorphic curves, moduli spaces and evaluation maps. In the end, we present some examples of Gromov-Witten invariant calculations.

Soit (M,ω) un variété symplectique fermée et connexe.On considère des sous-variétés lagrangiennes α : L → (M,ω). Si α est monotone, c.- à-d. s’il existe η > 0 tel que ημ = ω, Paul Biran et Octav Conea ont défini une version relative de l’homologie quantique. Dans ce contexte ils ont déformé l’opérateur de bord du complexe de Morse ainsi que le produit d’intersection à l’aide de disques pseudo-holomorphes. On note (QH(L), ∗), l’homologie quantique de L munie du produit quantique. Le principal objectif de cette dissertation est de généraliser leur construction à un classe plus large d’espaces. Plus précisément on considère soit des sous-variétés presque monotone, c.-à-d. α est C1-proche d’un plongement lagrangian monotone ; soit les fibres toriques de variétés toriques Fano. Dans ces cas non nécessairement monotones, QH(L) va dépendre de certains choix, mais cela sera irrelevant pour les applications présentées ici. Dans le cas presque monotone, on s’intéresse principalement à des questions de déplaçabilité, d’uniréglage et d’estimation d’énergie de difféomorphismes hamiltoniens. Enfin nous terminons par une application combinant les deux approches, concernant la dynamique d’un hamiltonien déplaçant toutes les fibres toriques non-monotones dans CPn. / Let (M,ω) be a closed connected symplectic maniflod. We consider lagrangian submanifolds α : L →֒ (M,ω). If α is monotone, i.e. there exists η > 0 such that ημ = ω, Paul Biran and Octav Cornea defined a relative version of quantum homology. In this relative setting they deformed the boundary operator of the Morse complex as well as the intersection product by means of pseudoholomorphic discs. We note (QH(L,Λ), ∗) the quantum homology of L endowed with the quantum product. The main goal of this dissertation is to generalize their construction to a larger class of spaces. Namely, we consider : either the so called almost monotone lagrangian submanifolds, i.e. α is C1-close to a monotone lagrangian embedding, or the toric fibers of toric Fano manifolds. In those cases, we are able to generalize the constructions made by Biran and Cornea. However, in those non necessarily monotone cases, QH(L) will depend on some choices, but in a way irrelevant for the applications we have in mind. In the almost monotone case, we are mainly interested in displaceability, uniruling and ernegy estimates for hamiltonian diffeomorphsims. Finally, we end by an application, that combine the two approaches, concerning the dynamics of hamiltonian that displace all non-monotone toric fibers of CPn.

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