Pour l’apprentissage automatisé de données régulières comme des images ou des signaux sonores, les réseaux convolutifs profonds s’imposent comme le modèle de deep learning le plus performant. En revanche, lorsque les jeux de données sont irréguliers (par example : réseaux de capteurs, de citations, IRMs), ces réseaux ne peuvent pas être utilisés. Dans cette thèse, nous développons une théorie algébrique permettant de définir des convolutions sur des domaines irréguliers, à l’aide d’actions de groupe (ou, plus généralement, de groupoïde) agissant sur les sommets d’un graphe, et possédant des propriétés liées aux arrêtes. A l’aide de ces convolutions, nous proposons des extensions des réseaux convolutifs à des structures de graphes. Nos recherches nous conduisent à proposer une formulation générique de la propagation entre deux couches de neurones que nous appelons la contraction neurale. De cette formule, nous dérivons plusieurs nouveaux modèles de réseaux de neurones, applicables sur des domaines irréguliers, et qui font preuve de résultats au même niveau que l’état de l’art voire meilleurs pour certains. / Convolutional neural networks have proven to be the deep learning model that performs best on regularly structured datasets like images or sounds. However, they cannot be applied on datasets with an irregular structure (e.g. sensor networks, citation networks, MRIs). In this thesis, we develop an algebraic theory of convolutions on irregular domains. We construct a family of convolutions that are based on group actions (or, more generally, groupoid actions) that acts on the vertex domain and that have properties that depend on the edges. With the help of these convolutions, we propose extensions of convolutional neural netowrks to graph domains. Our researches lead us to propose a generic formulation of the propagation between layers, that we call the neural contraction. From this formulation, we derive many novel neural network models that can be applied on irregular domains. Through benchmarks and experiments, we show that they attain state-of-the-art performances, and beat them in some cases.

Cette thèse propose de nouveaux outils adaptés à l'analyse des réseaux : sociaux, de transport, de neurones, de protéines, de télécommunications... Ces réseaux, avec l'essor de certaines technologies électroniques, informatiques et mobiles, sont de plus en plus mesurables et mesurés ; la demande d'outils d'analyse assez génériques pour s'appliquer à ces réseaux de natures différentes, assez puissants pour gérer leur grande taille et assez pertinents pour en extraire l'information utile, augmente en conséquence. Pour répondre à cette demande, une grande communauté de chercheurs de différents horizons scientifiques concentre ses efforts sur l'analyse des graphes, des outils mathématiques modélisant la structure relationnelle des objets d'un réseau. Parmi les directions de recherche envisagées, le traitement du signal sur graphe apporte un éclairage prometteur sur la question : le signal n'est plus défini comme en traitement du signal classique sur une topologie régulière à n dimensions, mais sur une topologie particulière définie par le graphe. Appliquer ces idées nouvelles aux problématiques concrètes d'analyse d'un réseau, c'est ouvrir la voie à une analyse solidement fondée sur la théorie du signal. C'est précisément autour de cette frontière entre traitement du signal et science des réseaux que s'articule cette thèse, comme l'illustrent ses deux principales contributions. D'abord, une version multiéchelle de détection de communautés dans un réseau est introduite, basée sur la définition récente des ondelettes sur graphe. Puis, inspirée du concept classique de bootstrap, une méthode de rééchantillonnage de graphes est proposée à des fins d'estimation statistique. / This thesis describes new tools specifically designed for the analysis of networks such as social, transportation, neuronal, protein, communication networks... These networks, along with the rapid expansion of electronic, IT and mobile technologies are increasingly monitored and measured. Adapted tools of analysis are therefore very much in demand, which need to be universal, powerful, and precise enough to be able to extract useful information from very different possibly large networks. To this end, a large community of researchers from various disciplines have concentrated their efforts on the analysis of graphs, well define mathematical tools modeling the interconnected structure of networks. Among all the considered directions of research, graph signal processing brings a new and promising vision : a signal is no longer defined on a regular n-dimensional topology, but on a particular topology defined by the graph. To apply these new ideas on the practical problems of network analysis paves the way to an analysis firmly rooted in signal processing theory. It is precisely this frontier between signal processing and network science that we explore throughout this thesis, as shown by two of its major contributions. Firstly, a multiscale version of community detection in networks is proposed, based on the recent definition of graph wavelets. Then, a network-adapted bootstrap method is introduced, that enables statistical estimation based on carefully designed graph resampling schemes.

Les systèmes de vélos en libre-service sont devenus des éléments indispensables dans les offres de transport urbain des grandes villes mondiales. À partir des données que ces systèmes génèrent, il est possible d'avoir une caractérisation fine de l'utilisation du vélo en milieu urbain, tant sur des problématiques traitant du domaine des transports que des aspects socio-économiques. Comme pour de nombreux domaines profitant de la récente abondance en données permises par les technologies actuelles de communication et de stockage de l'information, les enjeux actuels résident dans le développement de méthodes d'analyse de données efficaces et adaptées aux systèmes étudiés. Cette thèse se propose de répondre à cette problématique, à la fois par des développements méthodologiques et par une application à des données réelles issues du système de vélos en libre-service Vélo'v à Lyon.Le système Vélo'v peut se représenter sous la forme d'un réseau, décrivant un ensemble de relations entre les différentes stations. Cette représentation, valable également pour de nombreux systèmes, permet l'utilisation d'outils pour décrire la structure du réseau basés sur la théorie des graphes. Néanmoins, la prise en compte d'une dynamique temporelle dans l'évolution des systèmes nécessite d'étendre l'analyse à des réseaux temporels, dont la structure évolue au cours du temps. Le parallèle avec le domaine du traitement du signal, dont le but est l'analyse de signaux temporels, amène à considérer des connexions entre la description de l'évolution d'un réseau temporel et celle d'un signal. Ces travaux proposent de considérer une dualité entre les réseaux temporels et les signaux, de sorte que l'analyse dans le domaine des signaux, à l'aide des outils du traitement du signal, permet de caractériser le réseau temporel correspondant.Cette méthodologie, à la frontière entre le traitement du signal et l'analyse des réseaux, est tout d'abord justifiée par l'étude du système Vélo'v, en comparant différentes approches d'analyse de données et les apports de la représentation sous la forme de réseau temporel. Une méthode d'étiquetage des noeuds d'un graphe est ensuite discutée, permettant d'ouvrir la voie vers une dualité entre réseaux et signaux. Cette dualité est étendue aux réseaux temporels, pour lesquels une méthode d'extraction automatique des structures pertinentes au cours du temps est proposée, à travers la décomposition des signaux correspondants. / Bike-sharing systems have become essential elements in urban transportation systems of many world's big cities. Thanks to the data generated by these systems, it is possible to obtain a precise characterization of urban cycling, both in terms of transportation and socio-economic aspects. Taking advantage of the recent abundance of data allowed by the current technology, the challenges lie in the development of efficient data analysis method, adapted to these systems. This PhD thesis proposes some answers to this issue, first by methodological developments and second by studying real-world data obtained from the bike-sharing system in Lyon, called Vélo'v.The Vélo'v system can be represented as a network, describing a set of relations between the stations spread over the city. This representation, used for many systems, enables the use of tools from network theory to measure the network structure and understand the underlying mechanisms. Nevertheless, taking into account the dynamic evolution of the structure requires an extension of the classical tools to the temporal case. Parallels between this problem and the field of signal processing can be done, and opens the way to the consideration of connections between the description of the dynamics of temporal networks and those of signals. This work introduces a duality between temporal networks and signals, such that the analysis of the signals using the classical tools of signal processing helps to the characterization of the structure of the corresponding network.This methodology, at the juncture between signal processing and network analysis, is first justified by the study of the Vélo'v network, by comparing different data analysis method and the representation of the system as a temporal network. Then, a method to relabel the vertices of the graph according to the topology of the network is discussed, opening up a duality between networks and signals. This duality is then extended to temporal networks: The analysis of the spectral properties of the signals are studied through a fully automated extraction method, enabling the decomposition of relevant network structure over time.

La recherche menée dans cette thèse a pour but de développer une analyse harmonique pour des fonctions définies sur les sommets d'un graphe orienté. À l'ère du déluge de données, de nombreuses données sont sous forme de graphes et données sur ce graphe. Afin d'analyser d'exploiter ces données de graphes, nous avons besoin de développer des méthodes mathématiques et numériquement efficientes. Ce développement a conduit à l'émergence d'un nouveau cadre théorique appelé le traitement de signal sur graphe dont le but est d'étendre les concepts fondamentaux du traitement de signal classique aux graphes. Inspirées par l'aspect multi échelle des graphes et données sur graphes, de nombreux constructions multi-échelles ont été proposé. Néanmoins, elles s'appliquent uniquement dans le cadre non orienté. L'extension d'une analyse harmonique sur graphe orienté bien que naturelle, s'avère complexe. Nous proposons donc une analyse harmonique en utilisant l'opérateur de marche aléatoire comme point de départ de notre cadre. Premièrement, nous proposons des bases de type Fourier formées des vecteurs propres de l'opérateur de marche aléatoire. De ces bases de Fourier, nous en déterminons une notion fréquentielle en analysant la variation de ses vecteurs propres. La détermination d'une analyse fréquentielle à partir de la base des vecteurs de l'opérateur de marche aléatoire nous amène aux constructions multi-échelles sur graphes orientés. Plus particulièrement, nous proposons une construction en trames d'ondelettes ainsi qu'une construction d'ondelettes décimées sur graphes orientés. Nous illustrons notre analyse harmonique par divers exemples afin d'en montrer l'efficience et la pertinence. / The research conducted in this thesis aims to develop a harmonic analysis for functions defined on the vertices of an oriented graph. In the era of data deluge, much data is in the form of graphs and data on this graph. In order to analyze and exploit this graph data, we need to develop mathematical and numerically efficient methods. This development has led to the emergence of a new theoretical framework called signal processing on graphs, which aims to extend the fundamental concepts of conventional signal processing to graphs. Inspired by the multi-scale aspect of graphs and graph data, many multi-scale constructions have been proposed. However, they apply only to the non-directed framework. The extension of a harmonic analysis on an oriented graph, although natural, is complex. We, therefore, propose a harmonic analysis using the random walk operator as the starting point for our framework. First, we propose Fourier-type bases formed by the eigenvectors of the random walk operator. From these Fourier bases, we determine a frequency notion by analyzing the variation of its eigenvectors. The determination of a frequency analysis from the basis of the vectors of the random walk operator leads us to multi-scale constructions on oriented graphs. More specifically, we propose a wavelet frame construction as well as a decimated wavelet construction on directed graphs. We illustrate our harmonic analysis with various examples to show its efficiency and relevance.