De la première mention d'une masse pour les neutrinos par B. Pontecorvo en 1957 jusqu'aux récentes expériences sur les neutrinos, la mise en évidence de leur comportement oscillatoire pointe vers la nécessité d'une physique au-delà du modèle standard. Heureusement, l'oscillation des neutrinos n'apporte pas uniquement son lot de problèmes ; ce phénomène, pouvant être expliqué par l'existence d'une masse pour ces particules, mène également à une piste de solution quant à la brisure de la symétrie CP. En considérant des masses aux neutrinos, il devient possible d'expliquer cette brisure de symétrie de la même manière que pour les quarks, c'està-dire par la présence de phases dans les matrices de mélange. Cependant, l'étude de ces phases n'est pas révélatrice de la brisure de la symétrie CP puisque celles-ci dépendent de la paramétrisation utilisée pour la matrice de mélange. De plus, les quantités qui sauraient remplir un tel rôle devraient également être invariantes sous changement de base. C'est pour répondre à ces besoins qu'en 1985, Jarlskog a développé un formalisme plus adéquat basé sur des quantités nommées invariants de rephasage qui sont l'objet principal de ce projet de recherche. Les objectifs sont de calculer et de déterminer les propriétés des distributions de ces invariants dans le cadre du principe anarchique. Ce cadre théorique permet l'étude des entrées de la matrice PMNS sans qu'aucune symétrie ne soit initialement imposée de sorte que celles-ci y apparaissent aléatoires à basse énergie. Il est possible de conclure que la mesure de Haar, qui apparaît naturellement à partir du principe anarchique, est susceptible de reproduire la matrice PMNS à basses énergies. On développe alors un formalisme permettant l'étude des distributions des invariants de rephasage sous la mesure de Haar. De là, on montre que pour un nombre fixe de générations de neutrinos, tous les invariants de rephasage d'un même type possèdent la même distribution sous la mesure de Haar. Puis, on calcule les distributions des invariants de rephasage quadratiques et quartiques sous cette même mesure à partir d'une nouvelle approche passant par la transformée de Mellin. On obtient alors des résultats complètement analytiques dont les implications physiques en fonction du nombre de générations de neutrinos sont finalement discutées. / From the first mention of massive neutrinos by Pontecorvo in 1957 to recent experiments with neutrinos, the demonstration of their oscillatory behavior indicates the need for a physics beyond the standard model. One way to solve neutrinos oscillation is by adding a mass to these particles. Fortunately, this deviation from the physics of the Standard Model is the solution to another problem, CP violation. Assuming massive neutrinos, one can add phases to the mixing matrix and then explain CP violation in the same way as for quarks. Those phases cannot inform about the amplitude of the CP violation since they depend on the chosen parametrization for the PMNS matrix, and they are not invariant under change of basis. That is why in 1985, Jarlskog developed a new formalism based on basis invariant quantity namely the rephasing invariants. This memoir aims to study those phases in the context of the anarchy principle. In this theoretical framework, the elements of the PMNS matrix are studied without any constraints being imposed on them so that they appear random in the low energy limit. It is possible to conclude that the Haar measure, which follows naturally from the anarchy principle, is likely to reproduce the PMNS matrix at low energies. A formalism is therefore developed to study the rephasing invariants under this measure. Moreover, we show that all the rephasing invariants of the same type have the same probability density function under the Haar measure for a fixed number of neutrinos. From these results, the probability density functions for all types of rephasing invariants under the Haar measure are easily obtained for an arbitrary number of neutrinos. Finally, the physical implications of our analytical results in terms of neutrino generation number are discussed.

Dans un premier temps, nous décrivons le complexe des solutions du transformé de Mellin algébrique d'un D-module M en fonction des solutions de M. Pour cela, nous définissons un foncteur de transformation de Mellin faisceautique. Nous montrons alors que le transformé de Mellin du complexe des solutions à décroissance rapide en 0 et à l'infini d'un D-module holonome régulier M est quasi-isomorphe au complexe des solutions du transformé de Mellin algébrique de M, l'hypothèse de régularité n'étant plus nécessaire à une variable.<br />Dans un second temps, nous faisons un travail analogue avec la transformation de Mellin inverse : les résultats sont plus partiels. Nous définissons une transformation de Mellin inverse faisceautique. Nous démontrons alors qu'il existe des morphismes naturels reliant le complexe des solutions du transformé de Mellin inverse algébrique d'un module aux différences avec le transformé de Mellin inverse faisceautique du complexe des solutions à croissance au plus exponentielle d'ordre 1 à l'infini dans des bandes verticales. Nous montrons ensuite que dans le cas d'un module aux différences à une variable et à une seule pente strictement positive, ces morphismes sont des isomorphismes.

Le sujet de cette thèse est l'étude des produits d'opérateurs de Toeplitz, aussi bien ceux définis sur l'espace de Hardy du cercle unité que ceux définis sur l'espace de Bergman du disque unité. Les deux questions soulevées dans mon travail sont les suivantes :<br />1) Sous quelles conditions le produit de deux opérateurs de Toeplitz est-il un opérateur de Toeplitz?<br />2) Sous quelles conditions le produits de deux opérateurs de Toeplitz est-il commutatif?<br />Pour chacune de ces deux questions, nous commençons par rappeler les travaux antérieurs avec tout ce qu'ils nécessitent comme outils techniques, puis nous exposerons notre contribution dans ce domaine. Notamment, nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes pour que le produit de deux opérateurs de Toeplitz quasihomogènes soit encore un opérateurs de Toeplitz. De plus, nous caractérisons les opérateurs de Toeplitz bornés qui commutent avec un opérateur de Toeplitz quasihomogène. Pour motiver cette caractérisation, nous introduisons une nouvelle notion à savoir la T-racine d'un opérateur de Toeplitz quasihomogène. Cette notion, nous permet de donner une construction effective d'opérateurs de Toeplitz non triviaux dont toutes les puissances sont des opérateurs de Toeplitz.