Dans cette thèse nous avons étudié certaines questions mathématiques associées au calcul de l'action spectrale de Chamseddine--Connes sur des exemples fondamentaux de triplets spectraux non commutatifs, tels que le tore non commutatif et la 3-sphère quantique SUq(2). Nous avons montré en particulier qu'une condition diophantienne sur la matrice de déformation du tore est cruciale pour obtenir l'action spectrale en tenant compte de la structure réelle. <br />Nous avons aussi étudié la question de l'existence de tadpoles (termes linéaires par rapport au potentiel de jauge de la fluctuation de la métrique dans l'action spectrale) dans le cas de géométries riemanniennes commutatives, et la construction d'un calcul pseudodifférentiel global permettant une généralisation du produit de Weyl--Moyal sur un espace de Schwartz de sections rapidement décroissantes sur un fibré cotangent d'une variété avec linéarisation.

Cette thèse montre en quoi la quantification de Berezin--Toeplitz peut être incorporée dans le cadre de la géométrie non commutative.Tout d'abord, nous présentons les principales notions abordées : les opérateurs de Toeplitz (classiques et généralisés), les quantifications géométrique et par déformation, ainsi que quelques outils de la géométrie non commutative.La première étape de ces travaux a été de construire des triplets spectraux (A,H,D) utilisant des algèbres d'opérateurs de Toeplitz sur les espaces de Hardy et Bergman pondérés relatifs à des ouverts Omega de Cn à bord régulier et strictement pseudoconvexes, ainsi que sur l'espace de Fock sur Cn. Nous montrons que les espaces non commutatifs induits sont réguliers et possèdent la même dimension que le domaine complexe sous-jacent. Différents opérateurs D sont aussi présentés. Le premier est l'opérateur de Dirac usuel sur L2(Rn) ramené sur le domaine par transport unitaire, d'autres sont formés à partir de l'opérateur d'extension harmonique de Poisson ou de la dérivée normale complexe sur le bord de Omega.Dans un deuxième temps, nous présentons un triplet spectral naturel de dimension n+1 construit à partir du produit star de la quantification de Berezin--Toeplitz. Les éléments de l'algèbre correspondent à des suites d'opérateurs de Toeplitz dont chacun des termes agit sur un espace de Bergman pondéré. Plus généralement, nous posons des conditions pour lesquelles une somme infinie de triplets spectraux forme de nouveau un triplet spectral, et nous en donnons un exemple. / The results of this thesis show links between the Berezin--Toeplitz quantization and noncommutative geometry.We first give an overview of the three different domains we handle: the theory of Toeplitz operators (classical and generalized), the geometric and deformation quantizations and the principal tools we use in noncommutative geometry.The first step of the study consists in giving examples of spectral triples (A,H,D) involving algebras of Toeplitz operators acting on the Hardy and weighted Bergman spaces over a smoothly bounded strictly pseudoconvex domain Omega of Cn, and also on the Fock space over Cn. It is shown that resulting noncommutative spaces are regular and of the same dimension as the complex domain. We also give and compare different classes of operator D, first by transporting the usual Dirac operator on L2(Rn) via unitaries, and then by considering the Poisson extension operator or the complex normal derivative on the boundary.Secondly, we show how the Berezin--Toeplitz star product over Omega naturally induces a spectral triple of dimension n+1 whose construction involves sequences of Toeplitz operators over weighted Bergman spaces. This result led us to study more generally to what extent a family of spectral triples can be integrated to form another spectral triple. We also provide an example of such triple.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la géométrie non-commutative - aux triplets spectraux en particulier - comme moyen d'unifier gravitation et modèle standard de la physique des particules. Des triplets spectraux permettant une telle unification on déjà été construits dans le cas des variétés riemanniennes. Il s'agit donc ici de généraliser au cas des variétés semi-riemanniennes, et d'appliquer ensuite au cas lorentzien, qui est d'une importance particulière en physique. C'est ce que nous faisons dans la première partie de la thèse, ou le passage du cas riemannien au cas semi-riemannien nous oblige à nous intéresser à des espaces vectoriels de signatures indéfinies (et non définies positives), dits espaces de Krein. Ceci est une conséquence de notre étude des algèbres de Clifford indéfinies et des structures Spin sur variétés semi-riemanniennes. Nous généralisons ensuite les triplets spectraux en triplets dits indéfinis en conséquence de cela. Dans la deuxième partie de la thèse, nous appliquons le formalisme des formes différentielles non-commutatives à nos triplets indéfinis pour formuler des théories de jauge non-commutatives sur espace-temps lorentzien. Nous montrons ensuite comment obtenir le modèle standard. / The subject of this thesis is noncommutative geometry - more specifically spectral triples - and how it can be used to unify General Relativity with the Standard Model of particle physics. This unification has already been achieved with spectral triples for Riemannian manifolds. The main concern of this thesis is to generalize this construction to semi-Riemannian manifolds generally, and Lorentzian manifolds in particular. The first half of this thesis will thus be dedicated to the transition from Riemannian to semi-Riemannian manifolds. This entails a study of Clifford algebras for indefinite vector spaces and Spin structures on semi-Riemannian manifolds. An important consequence of this is the introduction of complex vector spaces of indefinite signature. These are the so-called Krein spaces, which will enable us to generalize spectral triples to indefinite spectral triples. In the second half of this thesis, we will apply the formalism of noncommutative differential forms to indefinite spectral triples to construct noncommutative gauge theories on Lorentzian spacetimes. We will then demonstrate how to recover the Standard Model.