In dieser Dissertation stellen wir moderne analytische Methoden zur Untersuchung von konformen Feldtheorien (CFTs) in mehr als zwei Dimensionen vor. Mit Hilfe dieser Methoden können das Spektrum der Theorie und die Operatorprodukt-Koeffizienten (OPE-Koeffizienten) ermittelt werden. Zunächst untersuchen wir das Spektrum lokaler Operatoren in CFTs auf einem Defekt mit Kodimension größer eins. Wir zeigen, dass für großen transversalen Spin s das Spektrum jeder Theorie abzählbar unendlich viele Häufungspunkte aufweist. Der Spin s ist die Quantenzahl, die zu der Untergruppe der Lorentzgruppe gehört, welche den Defekt invariant lässt. Des Weiteren finden wir die OPE-Koeffizienten und die anomalen Dimensionen der zu den Häufungspunkten gehörenden Operatoren in einer Entwicklung in 1/s mit Hilfe von Lichtkegel-Bootstrap-Techniken. Außerdem leiten wir aus der Diskontinuität der kausalen Zweipunktfunktion die Operatordimensionen und OPE-Koeffizienten als analytische Funktionen von s her. Im zweiten Teil dieser Arbeit führen wir die Mellindarstellung von konformen Korrelationsfunktionen ein. In dieser Darstellung sind das Spektrum und die OPE-Koeffizienten manifest enthalten. Wir legen den Fokus auf die Beschreibung von Vierpunktfunktionen in drei Dimensionen von entweder ausschließlich Spin 1/2 Operatoren oder einer Mischung aus Spin 1/2 und skalaren Operatoren. Nachdem wir für diese Vierpunktfunktionen die Mellinamplituden definieren, untersuchen wir die Polstruktur dieser genauer. Im Anschluss illustrieren wir die Analyse an konkreten Mellinamplituden von fermionischen Wittendiagrammen und konformen fermionischen Feynmandiagrammen. Im letzten Teil untersuchen wir die OPE im Kontext der Holographie. Hierbei leiten wir theorieunabhängige Beziehungen zwischen den OPE-Koeffizienten der Weltflächen-CFT einer Stringtheorie in Anti-de-Sitter-Raumzeit und der dualen CFT her. / In this thesis, we discuss some modern analytical approaches to studying conformal field theories (CFTs) in dimensions greater than two. The results thus derived pertain to the dynamical data that define a generic CFT, namely the spectrum of operators and the coefficients in the operator product expansion (OPE). We begin with an investigation of the spectrum of local operators supported on conformal defects of codimension greater than one and establish the existence therein of a countably infinite number of universal accumulation points at large transverse spin s. Here, s is a quantum number associated with the symmetry under the Lorentz transformations that preserve the defect. Using lightcone bootstrap techniques, we calculate the anomalous dimensions and OPE coefficients of the operators that populate these accumulation points in a large s expansion. Furthermore, we derive an integral formula to obtain the CFT data associated with the defect theory from the discontinuity in the causal two-point function of scalar operators in the ambient theory, thereby inverting the expansion of this correlator in the defect channel. This formula extracts the operator dimensions and OPE coefficients in an analytic function in s and also enables us to resum the large s expansion obtained using lightcone bootstrap. Thereafter we move on to a discussion of the Mellin representation of fermionic conformal correlators. The dynamical data in CFTs is manifest in the analytic properties of Mellin amplitudes. We define, concretely for three spacetime dimensions, the Mellin amplitudes associated with the four-point function of spin-half operators and the mixed four-point function of spin-half and scalar operators. We analyze the pole structure of these Mellin amplitudes and illustrate the general features thus unraveled with some explicit computations of Mellin amplitudes associated with Witten diagrams and conformal Feynman integrals with fermionic legs. Finally we look at the OPE in the context of holography and derive a set of theory independent relations between OPE coefficients in the worldsheet CFT of a string theory in anti-de Sitter spacetime and those in the dual CFT.

In dieser Dissertationsschrift werden Amplituden in QFTs und CFTs studiert. Zunächst wird mittels der »double copy«-Methode gezeigt, inwiefern Integranden von Gravitationsamplituden aus Integranden von Eichtheorien gewonnen werden können. Um diese Methode anzuwenden, bedarf es einer konkreten Darstellung der Eichtheorieintegranden, sodass die kinematischen Faktoren des Integranden die gleichen algebraischen Relationen erfüllen wie die Strukturkonstanten der Eichtheorie. Mithilfe dieser Methode werden Vierpunktsamplituden in N = 0 Supergravitation gekoppelt mit Yang-Mills in erster Ordnung der Störungsreihe berechnet, welche als asymptotische Zustände Gravitonen oder Gluonen positiver Helizität enthalten. Das Analogon der Amplituden in konform invarianten Theorien, genannt Mellinamplituden, wird anschließend im zweiten Teil diskutiert. Nicht nur durch ihre Beschreibung als Funktionen »lorentzinvarianter« Variablen, welche durch eine Art »LSZ-Reduktion« gewonnen werden, weisen Mellinamplituden eine formal heuristische Ähnlichkeit zu Amplituden auf, sondern auch können alle physikalischen Größen einer CFT aus ihnen berechnet werden. D.h., ebenso wie Amplituden einen Streuprozess vollständig charakterisieren, ist eine CFT eindeutig über ihre Mellinamplituden festgelegt. Fermionische Mellinamplituden wurden zum ersten Mal, in der Veröffentlichung worauf diese Dissertationsschrift basiert, studiert. Jede Komponente der fermionischen Mellinamplituden ist einer bestimmen Tensorstruktur zugeordnet, deren Polstruktur im einzelnen diskutiert wird. Es werden die analytische Eigenschaften der fermionischen Mellinamplituden der gemischten Vierpunktskorrelationsfunktion von zwei Fermionen und Skalaren, sowie von vier Fermionen studiert und darauffolgend werden diese Resultate durch störungstheoretische Rechnungen bei schwacher und starker Kopplung bestätigt. / In this thesis, amplitudes in QFT and CFT are studied. In the first chapter a modern technique to obtain integrands for gravity theories from gauge theory integrands is discussed. This formalism is called the doubly copy method and it can be applied if the gauge theory integrand is given in a specific representation where the kinematic numerator factors obey the same algebraic relations as the colour factors, e.g. the Jacobi identity. This method is applied to obtain the positive helicity sector of amplitudes in N = 0 supergravity coupled to Yang-Mills with external gravitons and gluons at one loop. Only the special case of four external particles is studied. Partial results are also obtained for pure Einstein-Yang-Mills amplitudes, where the axion and dilaton as virtual particles have been removed. In the second chapter, the natural analogue of amplitudes in CFTs is studied. These mathematical objects are called Mellin amplitudes. Mellin amplitudes can be understood as the CFT analogue of QFT amplitudes, because they are functions of “Lorentz invariant” quantities of their “momenta”. In addition all the CFT data is encoded in the Mellin amplitudes as all the data of a scattering process is included in usual amplitudes. The study of fermionic Mellin amplitudes has been carried out for the first time in the associated publication. These Mellin amplitudes have several components each associated to a certain tensor structure. The analytic properties of fermionic Mellin amplitudes corresponding to mixed four fermion-scalar conformal correlators and four fermion conformal correlators are deduced and finally these general results are confirmed by explicit perturbative calculations at weak and strong coupling.