Étant donnée une structure presque-complexe J sur une variété réelle de dimension paire, nous nous posons la question si J est localement calibrable, c'est à dire s'il existe localement une forme symplectique compatible avec J dans le sens que ω(∙, J ) définit une métrique riemannienne J-invariante. Dans ce contexte, A. Tomassini a donné des exemples explicites de structures presque-complexes en dimension 4 et 6 qui ne peuvent être calibrées localement par aucune forme symplectique. Ceux en dimension 4 vont s'avérer incorrects. Aussi, G. Tian et T. Rivière ont montré, avec un argument incomplet, qu'une structure presque-complexe en dimension 4 est toujours localement calibrable. J. Armstrong a affirmé la même chose sans donner de preuve. Nous allons examiner ces constats et donner une preuve complète du fait que toute structure presque-complexe en dimension 4 est localement calibrable. Aussi, nous montrons qu'une structure presque-complexe sur une variété strictement approximativement kählérienne, en particulier S6 avec sa structure presque-complexe canonique, ne peut être calibrée localement par aucune forme symplectique. Finalement, nous rappelerons le théorème d'Armstrong qui affirme que ce ne sont pas toutes les structures presque-complexes en dimension supérieure ou égale à 12 qui peuvent être calibrées localement par une forme symplectique. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Structures presque-complexes, Variétés presque-kählériennes, Variétés approximativement kählériennes.

Le sujet principal de ce mémoire est la théorie de Hodge symplectique que Tseng et Yau ont développée pour des variétés symplectiques. Nous commençons par un rappel d'algèbre linéaire et de géométrie avant de résumer les concepts introduits par Tseng et Yau. Nous présentons des résultats classiques comme le théorème de Moser et celui de Darboux. Nous démontrons aussi l'existence d'une métrique compatible pour chaque variété symplectique. Nous citons aussi la décomposition de Hodge. Nous allons, par la suite, résumer les idées de base de la théorie de Hodge symplectique, qui est inspirée de la décomposition de Hodge riemannienne, en appliquant ses résultats aux variétés presque-kählériennes. Pour ce faire, nous rappelons les résultats de Merkulov et de Mathieu à propos de la propriété forte de Lefschetz. Nous présentons les formes primitives et la représentation sl(2,C) de celles-ci. Nous allons présenter la démonstration de Lejmi d'une proposition de McDuff à propos des zéros de champs de Killing sur une variété compact presque-kählérienne. Par la suite, nous allons présenter les travaux de Tseng et Yau en débutant par les différentes cohomologies qu'ils ont définies et nous présentons différents résultats qu'ils ont obtenus. Après un bref rappel de l'algèbre de Lie, nous présentons 2 exemples de variétés que nous allons pouvoir classifier à partir de cette théorie. Nous allons présenter un exemple de 4-variété non-kählérienne où nous utilisons le résultat de McDuff et Lejmi pour y parvenir et nous reprenons l'exemple de Tseng et Yau d'une 6-variété qui ne possède pas la propriété forte de Lefschetz en utilisant les outils présentés le long de ce mémoire. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : variété presque-complexes, géométrie symplectique, théorie de hodge.

Le thème principal de cette thèse est l'étude des métriques presque-kählériennes extrémales compatibles sur une variété symplectique compacte. Nous allons généraliser les notions d'invariant de Futaki et du champ de vecteurs extrémal sur une variété kählérienne compacte au cas presque-kählérien. Nous allons montrer la périodicité du champ de vecteurs extrémal quand la forme symplectique représente une classe cohomologique entière modulo torsion. Nous donnerons une formule explicite de la courbure scalaire hermitienne en coordonnées de Darboux. Ceci nous permettra, en dimension 4, de construire des exemples de métriques strictement presque-kählériennes qui satisfont l'égalité dans les estimations de LeBrun. Nous allons étudier la stabilité sous déformations des métriques presque-kählériennes extrémales en dimension 4. Étant donné un chemin lisse de métriques presque-kählériennes compatibles avec une forme symplectique fixe, tel que au temps zéro la métrique est kählérienne et extrémale, nous prouverons, pour un temps assez petit et sous une certaine condition, l'existence d'une famille de métriques presque-kählériennes extrémales, compatibles avec la même forme symplectique, telle que chaque structure presque-complexe induite est difféomorphe à celle induite par le chemin. En particulier, le difféomoprhisme est l'identité au temps zéro. Sur une variété torique, nous allons discuter de l'unicité et la stabilité des métriques presque-kählériennes extrémales invariantes par un tore dans l'orbite 'complexifié' par l'action du groupe des hamiltoniens. ______________________________________________________________________________

Dans ce travail, nous étudions différents invariants de nature algébrique et dynamique définis sur le groupe des difféomorphismes hamiltoniens d'une surface fermée orientée. Occasionnellement, nous considérerons également le groupe des difféomorphismes hamiltoniens de certaines variétés symplectiques de dimension supérieure. Ces invariants peuvent être vus comme des généralisations du nombre de rotation de Poincaré, et des vecteurs de rotations associés aux difféomorphismes des surfaces. D'autre part, tous ces invariants sont reliés à la théorie de la cohomologie bornée. <br /><br />Dans le premier chapitre nous construisons des quasi-morphismes sur le groupe des difféomorphismes hamiltoniens d'une surface de genre strictement positif, qui sont des homomorphismes en restriction au sous-groupe des difféomorphismes à support dans un ouvert difféomorphe à un disque. Ces constructions sont motivées par une question de Entov et Polterovich. Dans le second chapitre nous construisons un quasi-morphisme défini sur le revêtement universel du groupe des difféomorphismes hamiltoniens d'une variété symplectique monotone. <br /><br />Le troisième chapitre contient quelques résultats concernant les actions préservant l'aire sur les surfaces de réseaux dans les groupes de Lie semi-simples. Dans l'esprit du "programme de Zimmer", nous montrons comment l'existence de nombreux quasi-morphismes, combinée avec des théorèmes d'annulation en cohomologie bornée, pourrait être utile pour exclure l'existence d'actions de réseaux de rang supérieur. Le dernier chapitre contient quelques remarques autour de la distance de Hofer.

Étant donné une variété symplectique $(M,\omega)$, il existe toujours des structures presque complexes $\omega$-compatibles positives. La question qui nous intéresse est de trouver des méthodes de sélection de certaines de ces structures. Des réponses ont déjà été données par V. Apostolov et T.Draghici, J.G. Evans, et J. Keller et M. Lejmi. Nous nous intéressons ici principalement à des méthodes de sélection définies en termes du tenseur de Nijenhuis. De manière très générale, lorsqu'on veut sélectionner certaines données géométriques, on peut aborder le problème de différentes manières. L’une d’entre elles consiste à regarder la décomposition en composantes irréductibles de certains tenseurs naturellement associés à la structure considérée et poser des conditions sur certaines composantes. Nous avons montré que le tenseur de Nijenhuis est irréductible sous l'action du groupe unitaire. Cette irréductibilité ne nous permet pas d'imposer d'autre condition linéaire à ce tenseur que son annulation, qui correspond aux variétés de Kähler. Une autre méthode possible de sélection est d’imposer des conditions à certaines distributions liées au problème. Nous avons étudié des distributions liées au tenseur de Nijenhuis. Nous nous sommes intéressés ici aux dimensions et propriétés d’involutivité possibles de ces distributions. Nous donnons des exemples invariants sous l’action d’un groupe, construits sur des groupes symplectiques ou sur des fibrés de twisteurs sur une variété riemannienne. La dernière méthode envisagée dans ce travail est la considération de fonctionnelles définies à partir des données. Pour construire une fonctionnelle la plus simple possible en termes du tenseur de Nijenhuis, nous intégrons une fonction polynomiale du second degré en les composantes du tenseur de Nijenhuis. On montre qu’un tel polynôme est toujours un multiple de la norme au carré de ce tenseur. La fonctionnelle obtenue est celle étudiée par Evans. Elle est a priori peu intéressante pour notre problème de sélection car il a prouvé qu’on peut trouver des exemples de variétés symplectiques n’admettant aucune structure kählérienne mais telle que l’infimum de la fonctionnelle soit nul / Given a symplectic manifold $(M,\omega)$, there always exist almost complex $\omega,$-compatible positive structures. The problem studied in this thesis is to find methods to select some of these structures. Answers have already been suggested by V. Apostolov and T.Draghici, J. G. Evans, and J. Keller and M. Lejmi. We are mainly interested here in selection methods defined in terms of the Nijenhuis tensor. The problem of selecting geometric objects can be tackled in various ways. One of them is to decompose into irreducible components some tensors naturally associated with the structure, and to impose conditions on some of those components. We prove that the Nijenhuis tensor is irreducible under the action of the unitary group. This irreducibility does not allow to impose any linear condition on the Nijenhuis tensor, except the vanishing of it, which corresponds to Kähler manifolds. Another possible method of selection is to impose conditions on distributions related to the problem. We study distributions defined by the Nijenhuis tensor. Our results concern the possible dimensions and properties of involutivity of these distributions. We give examples which are invariant under the action of a group, on some symplectic groups and on twisted bundles over some Riemannian manifolds. The last method considered in this work consists in looking for extremals of functionals defined from the data. To construct the simplest functional defined in terms of the Nijenhuis tensor, we integrate a polynomial function of the second degree into the components of this tensor. All such polynomials are multiple of the square of the norm of this tensor. This functional is the one studied by Evans; the drawback for our selection problem is that there exist examples of compact symplectic manifolds which do not admit any K\"ahler structure but such that the infimum of the functional is zero

La condition de monotonie pour les sous-variétés lagrangiennes a été introduite par Oh en 1993. C'est une version relative d'une condition définie par Floer pour les variétés symplectiques. Ces conditions permettent d'obtenir la bonne définition d'homologies de type Floer, en particulier de l'homologie de Floer lagrangienne, outil très utile pour l'étude de plongements lagrangiens.<br /> <br />Dans cette thèse, nous exploitons les hypothèses de monotonie en théorie de Floer sous deux aspects. Un premier aspect est l'étude d'une nouvelle famille d'exemples de variétés symplectiques monotones et de leurs sous-variétés lagrangiennes monotones. Cette famille d'exemples est construite par découpe symplectique à partir du cotangent de variétés munies d'une action libre du cercle. Un second aspect est la construction d'une homologie de type Floer-Novikov pour des sous-variétés lagrangiennes d'un cotangent qui sont dites monotones sur les lacets. On en déduit de nouveaux résultats d'obstruction de plongements lagrangiens monotones sur les lacets dans le cotangent de variétés qui fibrent sur le cercle.

Cette thèse comporte deux parties. Dans la première partie on étudie le motif de Chow d’un fibré en quadriques de dimension relative impaire sur une surface. On montre que ce motif admet une décomposition qui fait intervenir le motif de Prym du revêtement double de la courbe discriminante. Dans la deuxième partie on s’intéresse à des fibrations lagrangiennes, obtenues comme jacobiennes intermédiaires relatives des familles de variétés de Fano de dimension trois contenant une surface K3 fixée, et à l’existence d’une compactification symplectique. Dans un cas particulier, on étudie une compactification partielle en utilisant des calculs avec le logiciel Macaulay2. / This thesis consists of two parts. In the first part we study the Chow motive of a quadric bundle of odd relative dimension over a surface. We show that this motive admits a decomposition which involves the Prym motive of the double covering of the discriminant curve.In the second part, we consider Lagrangian fibrations, obtained as relative intermediate Jacobians of families of Fano threefolds containing a fixed K3 surface, and the existence of a symplectic compactification. In a particular case, we study a partial compactification using calculations with the software system Macaulay2.