Cette thèse est principalement consacrée à l’étude du comportement en temps long de solutions de certaines équations aux dérivées partielles hamiltoniennes, du type i∂_t u=X_H (u), en particulier l’existence globale, la croissance des normes de Sobolev, la diffusion et l’approximation par la dynamique résonante.Dans ce contexte, nous considérons d’abord une perturbation de l’équation de Szegő cubique par un potentiel linéaire, i∂_t u=∏ |u|² u+α∫ u,α∈R, (α-Szegő) où ∏▒ désigne le projecteur de Szegő sur les fréquences positives. Pour α=0, cette équation est l’équation de Szegő cubique, étudiée récemment par Gérard et Grellier comme modèle mathématique d’équation non linéaire et non dispersive. Pour l’équation (α–Szegő), nous établissons le caractère bien posé et la complète intégrabilité, et étudions la dynamique des valeurs singulières des opérateurs de Hankel associés. En outre, nous montrons les propriétés suivantes pour cette équation, sur une classe de sous–variétés invariantes de dimensions finies arbitrairement grandes : si α<0, toute trajectoire est relativement compacte, et toute norme de Sobolev est bornée le long de cette trajectoire. Siα>0, il existe des trajectoires le long desquelles toutes les normes de Sobolev de régularité plus grande que ½ tendent exponentiellement vers l’infini en temps.Dans une seconde partie, nous étudions un système mixte Schrödinger–ondes sur le cylinder (x,y)∈R×T , i∂_t U+∂_xx U-|D_y |U=|U|² U,(WS)En adaptant une idée de Hani–Pausader–Tzvetkov–Visciglia, nous établissons une théorie du scattering modifiée reliant les petites solutions de cette équation et les petites solutions de l’équation de Szegő cubique. En combinant cette théorie du scattering avec un résultat récent de Gérard–Grellier, nous en déduisons l’existence de solutions globales de (WS) qui sont non bornées dans l’espace L_x² H_y^s (R×T) pour tout s>½ . / The main purpose of this Ph.D. thesis is to study the long time behavior of solutionsto some Hamiltonian PDEs, i∂_t u=X_H (u), including global existence, growth of high Sobolev norms, scattering and long time approximation by resonant dynamics.In this context, at first we consider the Szegő equation on the circle S1 perturbed bya linear potential, i∂_t u=∏ |u|² u+α∫ u,α∈R, (α-Szegő) where ∏ is the projector onto the non-negative frequencies. For α=0, it turns out tobe the cubic Szegő equation, which was recently introduced by Gérard and Grellier as amathematical toy model of a non-linear totally non dispersive equation.We study the global well-posedness, the integrability and the dynamics of the singularvalues of the related Hankel operators of the α –Szegő equation. Moreover, we establishthe following properties for this equation on a class of invariant submanifolds, with anarbitrary large dimension. For α<0, any trajectory is relatively compact, and all theSobolev norms are bounded on it. For α>0, there exist trajectories on which everySobolev norm of regularity s>½ , exponentially tends to infinity in time.Second, we study the wave-guide Schrödinger equation posed on the spatial domain(x,y)∈R×T ，i∂_t U+∂_xx U-|D_y |U=|U|² U,(WS)Adapting an idea by Hani–Pausader–Tzvetkov–Visciglia, we establish a modified scattering theory between small solutions to this equation and small solutions to the cubic Szegő equation. Combining this scattering theory with a recent result by Gérard–Grellier, we infer existence of global solutions to (WS) which are unbounded in the space L_x^2 H_y^s (R×T) for every s>½ .

En la realización de este trabajo se obtendrán las expresiones analíticas que permiten describir las propiedades acústicas de una red de elementos dispersivos en el interior de una guía de ondas, permitiendo así, obtener en el límite de homogenización los parámetros efectivos que caracterizan al metamaterial y la verificación experimental de las propiedades acústicas del metamaterial. Matemáticamente este problema se tratará con la teoría de la dispersión múltiple, ya que las geometrías a tratar en este trabajo van a ser cilíndricas y dicha teoría se ha demostrado ser la mas efectiva para esos casos y usando la técnica de ¿mode matching ¿para la resolución general del problema de la dispersión de campo acústico en el interior de una guía de ondas. / Graciá Salgado, R. (2014). Diseño y caracterización de metamateriales acústicos basados en guías de onda [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/38759 / TESIS

Le transport des ondes joue un rôle majeur dans les systèmes de communication comme le Wifi ou les fibres optiques. Les principaux problèmes rencontrés dans ces systèmes concernent la protection contre les intrusions, la consommation d’énergie et le filtrage modal. Nous proposons différentes expériences micro-ondes mettant toutes en œuvre une mise en forme des ondes, pour traiter ces problèmes. Dans une cavité micro-ondes, des états de diffusion particuliers sont générés en s’appuyant uniquement sur des mesures de transmission et sur le formalisme du temps de retard de Wigner-Smith. Ces états sont capables d’éviter une région déterminée de la cavité, de se concentrer sur un point particulier, ou de suivre une trajectoire d’une particule classique. Le filtrage de mode est mis en œuvre dans un guide d’ondes aux frontières ondulées et en présence de pertes dépendant de la position. Le profil du guide est choisi de façon à ce que les deux modes de Bloch qui se propagent encerclent un point exceptionnel. Cette trajectoire s’accompagne d’une transition non-adiabatique entre les deux modes et d'un filtrage asymétrique de ces modes. La thèse présente également des travaux liés à la problématique des algorithmes de « recherche quantique », notamment l’algorithme de Grover. Cette recherche est mise en œuvre dans un réseau en nid d’abeilles de résonateurs micro-ondes couplés, bien décrits par un modèle de liaisons fortes (le système constitue un analogue micro-ondes du graphène). Une expérience de preuve de principe propose la recherche de deux résonateurs distincts reliés au réseau. La loi d’échelle attendue pour cet algorithme est expérimentalement obtenue dans une chaîne linéaire / Transport of waves plays an important role in modern communication systems like Wi-Fi or optical fibres. Typical problems in such systems concern security against possible intruders, energy consumption, time efficiency and the possibility of mode filtering. Microwave experiments are suited to study this kind of problems, because they offer a good control of the experimental parameters. Thus we can implement the method of wave shaping to investigate atypical transport phenomena, which address the mentioned problems. Wave front shaping solely based on the transmission together with the Wigner-Smith time delay formalism allows me to establish special scattering states in situ. These scattering states avoid a pre-selected region, focus on a specific spot or follow trajectories of classical particles, so called particle-like scattering states. Mode filtering is induced inside a waveguide with wavy boundaries and position dependent loss. The boundary profiles are chosen in such a way that the two propagating modes describe an encircling of an exceptional point in the Bloch picture. The asymmetric mode filtering is found due to the appearing non-adiabatic transitions. Another part of my work deals with Grover’s quantum search. I put such a search into practice in a two-dimensional graphene-lattice using coupled resonators, which form a tight-binding analogue. In this proof of principle experiment we search for different resonators attached to the graphene-lattice. Furthermore, the scaling behaviour of the quantum search is quantified for a linear chain of resonators

[pt] Neste trabalho é apresentado um estudo sobre a determinação matemática dos valores da dispersão cromática total, do zero de dispersão distribuído e efeitos não lineares em fibras ópticas de dispersão deslocada (DS). Uma metodologia para caracterização das dispersões cromáticas e para os zeros de dispersão local das fibras estudadas é elaborada com a utilização do modelo de fibra degrau equivalente e de aproximações entre as fibras ópticas dos enlaces trabalhados. A relação entre o diâmetro do campo modal e o zero de dispersão cromática distribuído segundo A. Rossaro [6] é discutida e comprovada através da realização de uma série de medidas práticas para a determinação dos efeitos não lineares das fibras de dispersão deslocada dos enlaces da Petrobrás. O objetivo deste trabalho é analisar estes efeitos prejudiciais a transmissão de sinais ópticos de alta velocidade apresentados nos cabos submarinos da Petrobrás entre o Porto de Imbetiba e as plataformas de Pargo I e Pampo I na Bacia de Campos, analisando os resultados obtidos e caracterizando as possibilidades de upgrade destes enlaces. / [en] This work presents a study on the mathematical determination of the total chromatic dispersion, zero dispersion wavelength and nonlinear optical effects in dispersion shifted (DS) fiber optic system. A methodology to determine the chromatic dispersion and zero dispersion wavelength is proposed using the equivalent step index model and the similarity of the total chromatic dispersion measured in fibers of the links under study. The relationship between the mode field diameter and the zero dispersion wavelength according to A. Rossaro [6] is discussed and proven with a series of practical measurements for the determination of the nonlinear effects of the dispersion shifted optical fibers of Petrobras links Imbetiba - Pargo and Imbetiba - Pampo of the Campos Basin. / [es] En este trabajo se presenta un estudio sobre la determinación matemática de los valores de dispersión cromática total, del cero de dispersión distribuido y los efectos no lineales en fibras ópticas de dispersión desplazada (DS). Se elabora una metodología para la caracterización de las dispersiones cromáticas y para los ceros de dispersión local de las fibras estudiadas; utililizando el modelo de fibra escalón equivalente y de aproximaciones entre las fibras ópticas de los enlace. Se discute la relación entre el diámetro del campo modal y el cero de dispersión cromática distribuido según A. Rosaro [6] se comprueba a través de la realización de una serie de medidas prácticas para la determinación de los efectos no lineales de las fibras de dispersión desplazada de los enlaces de la Petrobrás. EL objetivo de este trabajo es analizar los efectos perjudiciales a la transmisión de señales ópticos de alta velocidad que se presentan en los cables submarinos de la Petrobrás entre el Puerto de Imbetiba y las plataformas de Pargo I y Pampo I en la Bacia de Campos, analizando los resultados obtenidos y caracterizando las posibilidades de upgrade de estos enlaces.