O Teorema de Representação de Weierstrass clássico, que faz uso da análise complexa para descrever uma superfície mínima imersa no espaço Euclidiano em termos de dados holomorfos, tem sido extremamente útil seja para construir novos exemplos de superfícies mínimas, seja para o estudo das propriedades destas superfícies. Em [24], usando a equação harmônica, os autores determinam uma fórmula de representação para superfícies mínimas, simplesmente conexas, imersas em uma variedade Riemanniana qualquer. Neste caso, a condição de holomorficidade dos dados de Weierstrass consiste em um sistema de equações diferenciais parciais com coeficientes não constantes. Logo, em geral, é complicado determinar soluções explícitas. No entanto, escolhendo adequadamente o espaço ambiente, tais equações se simplificam e a fórmula pode ser usada para produzir novos exemplos de imersões mínimas conformes. No espaço de Lorentz-Minkowski tridimensional uma fórmula de representação tipo-Weierstrass foi provada por Kobayashi, para o caso das imersões mínimas de tipo espaço (ver [18]), e por Konderak no caso das imersões mínimas de tipo tempo (ver [20]). Na demonstração destas fórmulas se utilizam as ferramentas da análise complexa e paracomplexa, respectivamente. Recentemente, em [22] os resultados de Kobayashi e Konderak foram generalizados para o caso de superfícies mínimas (de tipo espaço e de tipo tempo) imersas em 3-variedades Lorentzianas. Nesta dissertação estudaremos as fórmulas de representação de Weierstrass para superfícies mínimas imersas em variedades Riemannianas e Lorentzianas, que foram obtidas nos artigos [18], [20], [22] e [24]. / The classic Weierstrass Representation Theorem, which makes use of complex analysis to describe a minimal surface immersed in the Euclidean space in terms of holomorphic data, has been extremely useful either to construct new examples of minimal surfaces, rather than to study structural properties of these surfaces. In [24], using the standard harmonic equation, the authors determine a representation formula for simply connected immersed minimal surfaces in a Riemannian manifold. In this case, the holomorphicity condition of the Weierstrass data is a system of partial differential equations with nonconstant coefficients. Therefore, in geral, it is very difficult to determine explicit solutions. However, for particular ambient spaces, these equations become simpler and the formula can be used to produce new examples of conformal minimal immersions. In the three-dimensional Lorentz-Minkowski space a Weierstrass-type representation formula was proved by Kobayashi for spacelike minimal immersions (see [18]), and by Konderak for the case of timelike minimal immersions (see [20]). In the demonstration of these formulas are used the tools of complex and paracomplex analysis, respectively. Recently, in [22] the results of Kobayashi and Konderak were generalized to the case of (spacelike and timelike) minimal surfaces immersed in 3-Lorentzian manifolds. In this dissertation, we will study the Weierstrass representation formula for immersed minimal surfaces in Riemannian and Lorentzian manifolds, that was obtained in the articles [18], [20], [22] and [24].

O Teorema de Representação de Weierstrass clássico, que faz uso da análise complexa para descrever uma superfície mínima imersa no espaço Euclidiano em termos de dados holomorfos, tem sido extremamente útil seja para construir novos exemplos de superfícies mínimas, seja para o estudo das propriedades destas superfícies. Em [24], usando a equação harmônica, os autores determinam uma fórmula de representação para superfícies mínimas, simplesmente conexas, imersas em uma variedade Riemanniana qualquer. Neste caso, a condição de holomorficidade dos dados de Weierstrass consiste em um sistema de equações diferenciais parciais com coeficientes não constantes. Logo, em geral, é complicado determinar soluções explícitas. No entanto, escolhendo adequadamente o espaço ambiente, tais equações se simplificam e a fórmula pode ser usada para produzir novos exemplos de imersões mínimas conformes. No espaço de Lorentz-Minkowski tridimensional uma fórmula de representação tipo-Weierstrass foi provada por Kobayashi, para o caso das imersões mínimas de tipo espaço (ver [18]), e por Konderak no caso das imersões mínimas de tipo tempo (ver [20]). Na demonstração destas fórmulas se utilizam as ferramentas da análise complexa e paracomplexa, respectivamente. Recentemente, em [22] os resultados de Kobayashi e Konderak foram generalizados para o caso de superfícies mínimas (de tipo espaço e de tipo tempo) imersas em 3-variedades Lorentzianas. Nesta dissertação estudaremos as fórmulas de representação de Weierstrass para superfícies mínimas imersas em variedades Riemannianas e Lorentzianas, que foram obtidas nos artigos [18], [20], [22] e [24]. / The classic Weierstrass Representation Theorem, which makes use of complex analysis to describe a minimal surface immersed in the Euclidean space in terms of holomorphic data, has been extremely useful either to construct new examples of minimal surfaces, rather than to study structural properties of these surfaces. In [24], using the standard harmonic equation, the authors determine a representation formula for simply connected immersed minimal surfaces in a Riemannian manifold. In this case, the holomorphicity condition of the Weierstrass data is a system of partial differential equations with nonconstant coefficients. Therefore, in geral, it is very difficult to determine explicit solutions. However, for particular ambient spaces, these equations become simpler and the formula can be used to produce new examples of conformal minimal immersions. In the three-dimensional Lorentz-Minkowski space a Weierstrass-type representation formula was proved by Kobayashi for spacelike minimal immersions (see [18]), and by Konderak for the case of timelike minimal immersions (see [20]). In the demonstration of these formulas are used the tools of complex and paracomplex analysis, respectively. Recently, in [22] the results of Kobayashi and Konderak were generalized to the case of (spacelike and timelike) minimal surfaces immersed in 3-Lorentzian manifolds. In this dissertation, we will study the Weierstrass representation formula for immersed minimal surfaces in Riemannian and Lorentzian manifolds, that was obtained in the articles [18], [20], [22] and [24].

In this work the crucial point is to obtain a holomorphic representation for mean curvature one surfaces in hyperbolic space. This representation has a great resemblance to the Weierstrass representation for minimal surfaces in R3: From this, we obtain a range of results about the theory of mean curvature one surfaces complete and finite total curvature in H3. / Fundação de Amparo a Pesquisa do Estado de Alagoas / O ponto crucial do trabalho é a obtenção de uma representação holomorfa para superfícies de curvatura média um no espaço hiperbólico. Esta representação possui uma grande semelhança com a representação de Weierstrass para superfícies mínimas em R3: A partir disso, obteremos uma gama de resultados acerca da teoria de superfícies de curvatura média um, completas e de curvatura total finita em H3.

Nesta dissertação, estudamos o problema de Björling para superfícies de tipo tempo nos espaços de métrica indefinida R^4_1 e R^4_2. Após apresentar uma versão paracomplexa do teorema de representação de Weierstrass para superfícies mínimas de tipo tempo, utilizamos esse teorema para obter uma fórmula de representação para as soluções desse problema de Björling, e através de extensões paraholomorfas dos dados iniciais do problema mostramos que a solução dada por essa fórmula é localmente única. Em seguida, apresentamos duas possíveis maneiras de se obter simetrias para soluções desse problema de Björling: através de uma versão paracomplexa do princípio de reflexão de Schwarz, e através de reflexões ao longo de k-planos que intersectam ortogonalmente a superfície. / In this dissertation, we study the Björling problem for timelike surfaces in the spaces of indefinite metric R^4_1 and R^4_2. After presenting a split-complex version of the Weierstrass representation theorem for minimal timelike surfaces, we use this theorem to obtain a representation formula for the solutions of this Björling problem, and through split-holomorphic extensions of the problems initial data we show that the solution given by this formula is locally unique. Following this, we present two possible methods through which symmetries for the solutions of this Björling problem may be obtained: through a split-complex version of the Schwarz reflection principle, and through reflections alongside k-planes that intersect the surface orthogonally.

Made available in DSpace on 2015-05-15T11:46:02Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 666060 bytes, checksum: 1ad661f6cc42df5f3ee67db9a939af86 (MD5) Previous issue date: 2011-07-20 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / In this work we obtain Weierstrass-type representations for immersed surfaces in Heisenberg space, endowed with a left-invariant metric. We will consider the Riemannian and Lorentzian case. We will define two complex functions (spinors) satisfying a linear Dirac-type equation, obtaining thus a representation for immersed surfaces with prescribed mean curvature. The same will enable us write a representation of minimal immersion in terms of a harmonic Gauss map. / Neste trabalho obtemos uma representações tipo Weierstrass para superfícies imersas no espaço de Heisenberg, dotado com uma métrica invariante à esquerda. Consideraremos os casos Riemanniano e Lorentziano. Definimos duas funções complexas (spinors), satisfazendo uma equação linear tipo Dirac que usamos para obter uma representação para superfícies imersas com curvatura média prescrita. A mesma possibilita escrever uma representação de imersões mínimas em termos de uma aplicação de Gauss harmônica.

[pt] Neste trabalho estudamos a teoria clássica das superfícies mínimas em R3, focando na representação de Enneper-Weierstrass e suas consequências. São exibidos vários exemplos, incluindo as superfícies de Jorge-Meeks e de Jorge-Xavier. Também mostramos princípios do máximo para superfícies mínimas e várias aplicações como, por exemplo, o teorema do semi-espaço. Em seguida, nos concentramos na teoria das superfícies mínimas completas de curvatura total finita e, com esta, podemos analisar o desenvolvimento assintótico de fins mínimos completos mergulhados de curvatura total finita. Por fim, a dissertação culmina com o teorema de Schoen, que afirma que as únicas superfícies mínimas completas, conexas, de curvatura total finita e apenas dois fins - ambos mergulhados - são um par de planos e o catenoide. / [en] In this work we study the classical theory of minimal surfaces in R3, with special focus on the Enneper-Weierstrass representation and its consequences. We exhibit many examples, including the Jorge-Meeks and Jorge-Xavier surfaces. We also show maximum principles for minimal surfaces and many applications as, for instance, the half-space theorem. Afterwards, we focus on the theory of complete minimal surfaces with finite total curvature, with which we can analyse the asymptotic development of complete minimal embedded ends with finite total curvature. This dissertation culminates with the Schoen s theorem, which states that the only complete, connected minimal surfaces with finite total curvature and exactly two ends - both embedded - are a pair of planes or a catenoid.

Made available in DSpace on 2015-05-15T11:45:59Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 323962 bytes, checksum: b1f72af0670744659eabe72c7c444dc3 (MD5) Previous issue date: 2008-08-08 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / The Weierstrass representation of minimal surfaces in R3 and its generalization to Rn shows is a very useful tool in the study of minimal surfaces in these spaces. In this work we want to describe a type Weierstrass representation for immersions simply connected in the group of Heisenberg H3. Using applications harmonics is possible obtain a formula for general representation, type Weierstrass for minimal immersions in manifolds Riemannian simply connected general, is that, useful of point view theoretical, however it is very difficult find solutions explicit. The dimention 3 and the structure of group Lie of the group of Heisenberg H3 allow a description Geometric simple and we can get some classic examples. / A representação deWeierstrass para superfícies mínimas em R3 e sua generalização a Rn mostra-se uma ferramenta muito útil no estudo de superfícies mínimas nestes espaços. Neste trabalho pretendemos descrever uma representação tipo Weierstrass para imersões simplesmente conexas no grupo de Heisenberg H3. Usando aplicações harmónicas é possível obter uma fórmula de representação geral, tipo Weierstrass, para imersões mínimas simplesmente conexas em variedades Riemannianas gerais, isto é útil do ponto de vista teórico, entretanto é muito difícil encontrar soluções explicitas. A dimensão 3 e a estrutura de grupo de Lie do grupo de Heisenberg H3 permitem uma descrição geométrica simples e podemos obter alguns exemplos clássicos.

[pt] Há alguns anos temos visto um grande progresso na resolução de problemas antigos na teoria das superfícies mínimas. Dentre esse problemas estão as conjecturas de Calabi-Yau, que datam dos anos 60 do século passado. A primeira delas afirmava que não existiam superfícies mínimas completas contidas em uma bola de R3, e a segunda que todas as superfícies mínimas completas tinham uma projeção ilimitada em cada eixo. Neste trabalho pretendemos revisar dois exemplos que mostram a falsidade da segunda conjectura. O primeiro foi dado por L. P. Jorge e F. Xavier (1980), e o segundo por H. Rosenberg e E. Toubiana (1987). A primeira conjectura também é falsa. O primeiro contraexemplo foi dado por N. Nadirashvili (1996) e também constitui um contraexemplo da conjectura de Hadamard, que afirmava que não existiam superfícies completas limitadas com curvatura Gaussiana negativa. O desenvolvimento do artigo de Nadirashvili é o principal objetivo desta dissertação. A técnica usada nestes três trabalhos é o uso da Representação de Enneper-Weierstrass, combinada com aplicações adequadas do Teorema de Runge. / [en] During some years we have seen great progress in solving old problems in minimal surfaces theory. Among these problems are the Calabi-Yau s conjectures, dating from the 60s of last century. The first one stated that there were no complete minimal surfaces contained in a ball of R3, and the second one that all complete minimal surface should have an unbounded projection in each axes. In this work we pretend to review two examples that proof the falsity of the second conjecture. The first one was given by L. P. Jorge e F. Xavier (1980) and the second one by H. Rosenberg e E. Toubiana (1987). The first conjecture is also false. The first counterexample was given by N. Nadirashvili (1996) and it is also a counterexample to the conjecture of Hadamard, which stated that there were no complete bounded surfaces with negative Gaussian curvature. Development of Nadirashvilli s article is the main objective of this dissertation. The technique used in these three works is the use of the Enneper-Weierstrass Representation, combined with appropriate applications of Runge s theorem.