Derivations on rings of differential operators are studied. In particular, we ask whether Lie derivations are forced to be associative derivations. This is established for the Weyl algebras, which provides the details of a theorem of A. Joseph. The ideas are extended to localizations of Weyl algebras. As a corollary, the implication is verified for the universal enveloping algebras of nilpotent Lie algebras. / Ph. D.

Neste trabalho, introduzimos as álgebras de Weyl clássicas A = A_n e as generalizadas A = D(sigma, a). Apresentamos algumas propriedades importantes dessas álgebras, dentre outras, que a n-ésima álgebra de Weyl A_n é um domínio simples Noetheriano à esquerda. Introduzimos os módulos de peso sobre A e estudamos os A-módulos de peso projetivos. Iniciamos a classificação dos A-módulos de peso simples (isto é, irredutíveis) através de uma categoria linear C_O e do seu esqueleto S_O cf. A classificação total dos A_infty-módulos de peso simples é dada utilizando a ação de certas localizações no anel de polinômios cf. Classificamos os blocos do tipo mansa na categoria dos A-módulos de peso localmente finitos e determinamos os A-módulos indecomponíveis nos blocos do tipo mansa. Seguindo, descrevemos os A-módulos de peso injetivos e projetivos indecomponíveis e deduzimos uma descrição dos blocos na categoria dos A-módulos de peso por quivers e relações. / In this dissertation, we introduce the classical Weyl algebras A = A_n and the generalized A = D(sigma, a). There are some important properties of these algebras, among others, that the n-th Weyl algebra A_n is a left Noetherian simple domain. We introduced the weight modules over A and study the projective weight A-modules. Started the classification of simple weight A-modules (this is, irreducible) by linear category C_O and its skeleton S_O in accordance with. The complete classification of simple weight A-modules is given using the action of certain localizations in the polynomial ring in accordance with. We classify the tame blocks in the category of locally-finite weight A-modules and determine the indecomposable A-modules in the tame blocks. Following, we describe indecomposable projective and injective weight A-modules and deduce the description of the blocks in the category of weight A-modules by quivers and relations.

We construct a deformation quantization on an infinite-dimensional symplectic space of regular connections on an SU(2)-bundle over a Riemannian surface of genus g ≥ 2. The construction is based on the normal form thoerem representing the space of connections as a fibration over a finite-dimensional moduli space of flat connections whose fibre is a cotangent bundle of the infinite-dimensional gauge group. We study the reduction with respect to the gauge groupe both for classical and quantum cases and show that our quantization commutes with reduction.

Made available in DSpace on 2015-05-15T11:46:14Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 648337 bytes, checksum: 9279ff33168aa2d0061e31ea1b676587 (MD5) Previous issue date: 2013-04-19 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / In this work we will study the definitions, examples and basic properties of Ore extensions. In particular, we will present a special case of Ore extensions, the Weyl algebras An(K) over a field K. We will see that An(K) is a simple noetherian domain. We will study also the dimension d(M) of a finitely generated An(K)-module and we will prove the Bernstein's inequality, n d(M) 2n. Finally we will study the holonomic An(K)- modules, that is, the finitely generated An(K)-modules such that d(M) = n: / Neste trabalho estudaremos as definições, exemplos e propriedades básicas das extens ões de Ore. Em particular, apresentaremos um tipo especial de extensões de Ore, as álgebras deWeyl An(K) sobre um corpo K. Veremos que An(K) é um domínio noetheriano simples. Estudaremos também a dimensão d(M) de um An-módulo finitamente gerado M e provaremos a desigualdade de Bernstein, n d(M) 2n. Finalmente estudaremos os An(K)-módulos holonômicos, isto é, os An(K)-módulos finitamente gerados tais que d(M) = n .

Neste trabalho, introduzimos as álgebras de Weyl clássicas A = A_n e as generalizadas A = D(sigma, a). Apresentamos algumas propriedades importantes dessas álgebras, dentre outras, que a n-ésima álgebra de Weyl A_n é um domínio simples Noetheriano à esquerda. Introduzimos os módulos de peso sobre A e estudamos os A-módulos de peso projetivos. Iniciamos a classificação dos A-módulos de peso simples (isto é, irredutíveis) através de uma categoria linear C_O e do seu esqueleto S_O cf. A classificação total dos A_infty-módulos de peso simples é dada utilizando a ação de certas localizações no anel de polinômios cf. Classificamos os blocos do tipo mansa na categoria dos A-módulos de peso localmente finitos e determinamos os A-módulos indecomponíveis nos blocos do tipo mansa. Seguindo, descrevemos os A-módulos de peso injetivos e projetivos indecomponíveis e deduzimos uma descrição dos blocos na categoria dos A-módulos de peso por quivers e relações. / In this dissertation, we introduce the classical Weyl algebras A = A_n and the generalized A = D(sigma, a). There are some important properties of these algebras, among others, that the n-th Weyl algebra A_n is a left Noetherian simple domain. We introduced the weight modules over A and study the projective weight A-modules. Started the classification of simple weight A-modules (this is, irreducible) by linear category C_O and its skeleton S_O in accordance with. The complete classification of simple weight A-modules is given using the action of certain localizations in the polynomial ring in accordance with. We classify the tame blocks in the category of locally-finite weight A-modules and determine the indecomposable A-modules in the tame blocks. Following, we describe indecomposable projective and injective weight A-modules and deduce the description of the blocks in the category of weight A-modules by quivers and relations.

Em [12] J.T. Stafford demonstrou que todo ideal à esquerda ou à direita da álgebra de Weyl \'A IND. n\' (K) = K \'[ \'x IND. 1\', ...,\'x IND. n\' ] \' partial IND. 1\', ... \'partial IND. n\' (K um corpo de característica zero) é gerado por dois elementos. Consideremos o anel \'D IND. n\' := K [[\'x IND.1\', ...\'x IND. n\']] de operadores diferenciais sobre o anel de séries de potências formais K[[\'x IND. 1\';...\' xI ND. n\']]. Uma pergunta natural é se todo ideal à esquerda ou à direita de\' D IND. n\'(K) pode ser gerado por dois elementos. Neste trabalho provaremos que todo ideal à esquerda ou à direita do anel \'E IND. n\'(K) := K((\'x IND. 1\' ... \'x IND. n\'))(\' partial IND. 1, ...\'partial IND. n\') de operadores diferenciais sobre o corpo das séries de Laurent K((\'x IND. 1\', ...\'x IND. n\')) é gerado por dois elementos. Nós provaremos também que todo ideal à esquerda ou à direita do anel \'S IND. n -1\'(K) := K((\'x IND. 1\', ...\'X ind. n - 1\"))[[\'x IND. n\']](\' partial IND. 1, ...\'partial IND. n\') é gerado por dois elementos e como corolário obtemos uma demonstração que todo ideal à esquerda ou à direita do anel \'D IND. 1\'(K) é gerado por dois elementos. Isto está de acordo com a conjectura que diz que todo ideal à esquerda ou à direita de um anel (não comutativo) Noetheriano simples é gerado por dois elementos / In [12] J.T. Stafford proved that every left or right ideal of the Weyl algebra \'A IND. n\'(K) = K[\'x IND. 1\', ...\'x IND. n\'](\' partial IND. 1, ...\'partial IND. n\')(K a field of characteristic zero) is generated by two elements. Consider the ring \'D IND. n\' := K[[\'x IND. 1\', ...\'x IND.n\']](\'partial IND. 1\", ...\'partial IND. n) of differential operators over the ring of formal power series K[[\'x IND. 1\', ... \'x IND. n\']]: A natural question is that if every left or right ideal of \'D IND. n\'(K) can be generated by two elements. In this work we will prove that every left or right ideal of the ring \'E IND. n\' (K) := K((\'x IND. 1\', ... \'x IND. n\'))(\'partial IND. 1,...\'partial IND. n\') of differential operators over the field of formal Laurent series K((\'x IND. 1\', ...\'x IND. n\'))) is generated by two elements. We will prove also that every left or right ideal of the ring \'S IND. n -1\"(K) := K((\'x IND. 1\', ...\'x IND. n\'-1\'))[[\'x IND. n]](\'paertial IND. 1, ...\'partial IND. n\') is generated by two elements and as a corollary we obtain a proof of that every left or right ideal of the ring \'D IND. 1\'(K) is generated by two elements. This is in accordance with the conjecture that says that in a (noncommutative) Noetherian simple ring, every left or right ideal is generated by two elements

Em [12] J.T. Stafford demonstrou que todo ideal à esquerda ou à direita da álgebra de Weyl \'A IND. n\' (K) = K \'[ \'x IND. 1\', ...,\'x IND. n\' ] \' partial IND. 1\', ... \'partial IND. n\' (K um corpo de característica zero) é gerado por dois elementos. Consideremos o anel \'D IND. n\' := K [[\'x IND.1\', ...\'x IND. n\']] de operadores diferenciais sobre o anel de séries de potências formais K[[\'x IND. 1\';...\' xI ND. n\']]. Uma pergunta natural é se todo ideal à esquerda ou à direita de\' D IND. n\'(K) pode ser gerado por dois elementos. Neste trabalho provaremos que todo ideal à esquerda ou à direita do anel \'E IND. n\'(K) := K((\'x IND. 1\' ... \'x IND. n\'))(\' partial IND. 1, ...\'partial IND. n\') de operadores diferenciais sobre o corpo das séries de Laurent K((\'x IND. 1\', ...\'x IND. n\')) é gerado por dois elementos. Nós provaremos também que todo ideal à esquerda ou à direita do anel \'S IND. n -1\'(K) := K((\'x IND. 1\', ...\'X ind. n - 1\"))[[\'x IND. n\']](\' partial IND. 1, ...\'partial IND. n\') é gerado por dois elementos e como corolário obtemos uma demonstração que todo ideal à esquerda ou à direita do anel \'D IND. 1\'(K) é gerado por dois elementos. Isto está de acordo com a conjectura que diz que todo ideal à esquerda ou à direita de um anel (não comutativo) Noetheriano simples é gerado por dois elementos / In [12] J.T. Stafford proved that every left or right ideal of the Weyl algebra \'A IND. n\'(K) = K[\'x IND. 1\', ...\'x IND. n\'](\' partial IND. 1, ...\'partial IND. n\')(K a field of characteristic zero) is generated by two elements. Consider the ring \'D IND. n\' := K[[\'x IND. 1\', ...\'x IND.n\']](\'partial IND. 1\", ...\'partial IND. n) of differential operators over the ring of formal power series K[[\'x IND. 1\', ... \'x IND. n\']]: A natural question is that if every left or right ideal of \'D IND. n\'(K) can be generated by two elements. In this work we will prove that every left or right ideal of the ring \'E IND. n\' (K) := K((\'x IND. 1\', ... \'x IND. n\'))(\'partial IND. 1,...\'partial IND. n\') of differential operators over the field of formal Laurent series K((\'x IND. 1\', ...\'x IND. n\'))) is generated by two elements. We will prove also that every left or right ideal of the ring \'S IND. n -1\"(K) := K((\'x IND. 1\', ...\'x IND. n\'-1\'))[[\'x IND. n]](\'paertial IND. 1, ...\'partial IND. n\') is generated by two elements and as a corollary we obtain a proof of that every left or right ideal of the ring \'D IND. 1\'(K) is generated by two elements. This is in accordance with the conjecture that says that in a (noncommutative) Noetherian simple ring, every left or right ideal is generated by two elements

Sejam K um corpo comutativo de caraterística zero. Definimos a álgebras associativa sobre K com dois geradores p, q onde pq qp = 1, como a primeira álgebra de Weyl, denotaremos esta por A 1 . As representações irredutíveis de grau um de dimensão infinita de A 1 , foram descritos por R. Block em (Block , 1981). Baseados nesta ideia, são descritas as represen- tações irredutíveis de grau dois de dimensão infinita de A 1 . No capítulo 1 são estudadas a representações da localização S 1 A 1 = B onde S = K[ q ] , ver (Block , 1981). Também apresentamos algumas definições e resultados relevantes para A 1 , os quais estabelecem uma relação entre as representações de álgebras de Lie nilpotente e as representações da enésima álgebra de Weyl A n , ver (Dixmier , 1959). No segundo capítulo é abordado o estudo da estrutura para A 1 -módulos de grau dois de dimensão infinita, obtendo uma descrição completa destes módulos. Usando esta estrutura é dada uma relação entre uma classe de Sl 2 -módulos de dimensão infinita e os A 1 -módulos de grau dois. Finalmente, no capítulo 3 são dados alguns fatos importares sobre a estrutura do Ext 1 (M, N ), onde M e N são A 1 -módulos irredutíveis de dimensão infinita com graus n 1 e n 2 repectivemente. / Let K be a commutative field such of zero characteristic. The associtive algebras from K whit two geradors p, q shuch that pq qp = 1 is the first Weyl algebra and it algebra going to denoted for A 1 . The structure of irreducible representations of degree one of infinite dimen- sional of A 1 , studied by R.Block (Block , 1981) on 1981. Based in this paper, we characterize the structure of degree two of irreducible representations of infinite dimensional of A 1 . In the first chapter, we speak of localization rings and defined B, we also give tools and definitions needed over Weyl algebras and nilpotent Lie algebras. In the second chapter we give the review for to the problem of A 1 -modules of degree two of infinite dimensional. At the end of the thesis we calculate the Ext 1 (M, N ), by M e N irreducibles A 1 -modules of degree n.