Eine Vielzahl von Anwendungen in der numerischen Simulation der Strömungsdynamik und der Festkörpermechanik begründen die Entwicklung von zuverlässigen und effizienten Algorithmen für nicht-standard Methoden der Finite-Elemente-Methode (FEM). Um Freiheitsgrade zu sparen, wird in jedem Durchlauf des adaptiven Algorithmus lediglich ein Teil der Gebiete verfeinert. Einige Gebiete bleiben daher möglicherweise verhältnismäßig grob. Die Analyse der Konvergenz und vor allem die der Optimalität benötigt daher über die a priori Fehleranalyse hinausgehende Argumente. Etablierte adaptive Algorithmen beruhen auf collective marking, d.h. die zu verfeinernden Gebiete werden auf Basis eines Gesamtfehlerschätzers markiert. Bei adaptiven Algorithmen mit separate marking wird der Gesamtfehlerschätzer in einen Volumenterm und in einen Fehlerschätzerterm aufgespalten. Da der Volumenterm unabhängig von der diskreten Lösung ist, kann einer schlechten Datenapproximation durch eine lokal tiefe Verfeinerung begegnet werden. Bei hinreichender Datenapproximation wird das Gitter dagegen bezüglich des neuen Fehlerschätzerterms wie üblich level-orientiert verfeinert. Die numerischen Experimente dieser Arbeit liefern deutliche Indizien der quasi-optimalen Konvergenz für den in dieser Arbeit untersuchten adaptiven Algorithmus, der auf separate marking beruht. Der Parameter, der die Verbesserung der Datenapproximation sicherstellt, ist frei wählbar. Dadurch ist es erstmals möglich, eine ausreichende und gleichzeitig optimale Approximation der Daten innerhalb weniger Durchläufe zu erzwingen. Diese Arbeit ermöglicht es, Standardargumente auch für die Konvergenzanalyse von Algorithmen mit separate marking zu verwenden. Dadurch gelingt es Quasi-Optimalität des vorgestellten Algorithmus gemäß einer generellen Vorgehensweise für die drei Beispiele, dem Poisson Modellproblem, dem reinen Verschiebungsproblem der linearen Elastizität und dem Stokes Problem, zu zeigen. / Various applications in computational fluid dynamics and solid mechanics motivate the development of reliable and efficient adaptive algorithms for nonstandard finite element methods (FEMs). To reduce the number of degrees of freedom, in adaptive algorithms only a selection of finite element domains is marked for refinement on each level. Since some element domains may stay relatively coarse, even the analysis of convergence and more importantly the analysis of optimality require new arguments beyond an a priori error analysis. In adaptive algorithms, based on collective marking, a (total) error estimator is used as refinement indicator. For separate marking strategies, the (total) error estimator is split into a volume term and an error estimator term, which estimates the error. Since the volume term is independent of the discrete solution, if there is a poor data approximation the improvement may be realised by a possibly high degree of local mesh refinement. Otherwise, a standard level-oriented mesh refinement based on an error estimator term is performed. This observation results in a natural adaptive algorithm based on separate marking, which is analysed in this thesis. The results of the numerical experiments displayed in this thesis provide strong evidence for the quasi-optimality of the presented adaptive algorithm based on separate marking and for all three model problems. Furthermore its flexibility (in particular the free steering parameter for data approximation) allows a sufficient and optimal data approximation in just a few number of levels of the adaptive scheme. This thesis adapts standard arguments for optimal convergence to adaptive algorithms based on separate marking with a possibly high degree of local mesh refinement, and proves quasi-optimality following a general methodology for three model problems, i.e., the Poisson model problem, the pure displacement problem in linear elasticity and the Stokes equations.

Diese Arbeit behandelt garantierte Fehlerkontrolle für elliptische partielle Differentialgleichungen anhand des Poisson-Modellproblems, des Stokes-Problems und des Hindernisproblems. Hierzu werden garantierte obere Schranken für den Energiefehler zwischen exakter Lösung und diskreten Finite-Elemente-Approximationen erster Ordnung entwickelt. Ein verallgemeinerter Ansatz drückt den Energiefehler durch Dualnormen eines oder mehrerer Residuen aus. Hinzu kommen berechenbare Zusatzterme, wie Oszillationen der gegebenen Daten, mit expliziten Konstanten. Für die Abschätzung der Dualnormen der Residuen existieren viele verschiedene Techniken. Diese Arbeit beschäftigt sich vorrangig mit Equilibrierungsschätzern, basierend auf Raviart-Thomas-Elementen, welche effiziente garantierte obere Schranken ermöglichen. Diese Schätzer werden mit einem Postprocessing-Verfahren kombiniert, das deren Effizienz mit geringem zusätzlichen Rechenaufwand deutlich verbessert. Nichtkonforme Finite-Elemente-Methoden erzeugen zusätzlich ein Inkonsistenzresiduum, dessen Dualnorm mit Hilfe diverser konformer Approximationen abgeschätzt wird. Ein Nebenaspekt der Arbeit betrifft den expliziten residuen-basierten Fehlerschätzer, der für gewöhnlich optimale und leicht zu berechnende Verfeinerungsindikatoren für das adaptive Netzdesign liefert, aber nur schlechte garantierte obere Schranken. Eine neue Variante, die auf den equilibrierten Flüssen des Luce-Wohlmuth-Fehlerschätzers basiert, führt zu stark verbesserten Zuverlässigkeitskonstanten. Eine Vielzahl numerischer Experimente vergleicht alle implementierten Fehlerschätzer und zeigt, dass effiziente und garantierte Fehlerkontrolle in allen vorliegenden Modellproblemen möglich ist. Insbesondere zeigt ein Modellproblem, wie die Fehlerschätzer erweitert werden können, um auch auf Gebieten mit gekrümmten Rändern garantierte obere Schranken zu liefern. / This thesis studies guaranteed error control for elliptic partial differential equations on the basis of the Poisson model problem, the Stokes equations and the obstacle problem. The error control derives guaranteed upper bounds for the energy error between the exact solution and different finite element discretisations, namely conforming and nonconforming first-order approximations. The unified approach expresses the energy error by dual norms of one or more residuals plus computable extra terms, such as oscillations of the given data, with explicit constants. There exist various techniques for the estimation of the dual norms of such residuals. This thesis focuses on equilibration error estimators based on Raviart-Thomas finite elements, which permit efficient guaranteed upper bounds. The proposed postprocessing in this thesis considerably increases their efficiency at almost no additional computational costs. Nonconforming finite element methods also give rise to a nonconsistency residual that permits alternative treatment by conforming interpolations. A side aspect concerns the explicit residual-based error estimator that usually yields cheap and optimal refinement indicators for adaptive mesh refinement but not very sharp guaranteed upper bounds. A novel variant of the residual-based error estimator, based on the Luce-Wohlmuth equilibration design, leads to highly improved reliability constants. A large number of numerical experiments compares all implemented error estimators and provides evidence that efficient and guaranteed error control in the energy norm is indeed possible in all model problems under consideration. Particularly, one model problem demonstrates how to extend the error estimators for guaranteed error control on domains with curved boundary.

Infimalfolgen nichtkonvexer Variationsprobleme haben aufgrund feiner Oszillationen häufig keinen starken Grenzwert in Sobolevräumen. Diese Oszillationen haben eine physikalische Bedeutung; Finite-Element-Approximationen können sie jedoch im Allgemeinen nicht auflösen. Relaxationsmethoden ersetzen die nichtkonvexe Energie durch ihre (semi)konvexe Hülle. Das entstehende makroskopische Modell ist degeneriert: es ist nicht strikt konvex und hat eventuell mehrere Minimalstellen. Die fehlende Kontrolle der primalen Variablen führt zu Schwierigkeiten bei der a priori und a posteriori Fehlerschätzung, wie der Zuverlässigkeits- Effizienz-Lücke und fehlender starker Konvergenz. Zur Überwindung dieser Schwierigkeiten erweitern Stabilisierungstechniken die relaxierte Energie um einen diskreten, positiv definiten Term. Bartels et al. (IFB, 2004) wenden Stabilisierung auf zweidimensionale Probleme an und beweisen dabei starke Konvergenz der Gradienten. Dieses Ergebnis ist auf glatte Lösungen und quasi-uniforme Netze beschränkt, was adaptive Netzverfeinerungen ausschließt. Die vorliegende Arbeit behandelt einen modifizierten Stabilisierungsterm und beweist auf unstrukturierten Netzen sowohl Konvergenz der Spannungstensoren, als auch starke Konvergenz der Gradienten für glatte Lösungen. Ferner wird der sogenannte Fluss-Fehlerschätzer hergeleitet und dessen Zuverlässigkeit und Effizienz gezeigt. Für Interface-Probleme mit stückweise glatter Lösung wird eine Verfeinerung des Fehlerschätzers entwickelt, die den Fehler der primalen Variablen und ihres Gradienten beschränkt und so starke Konvergenz der Gradienten sichert. Der verfeinerte Fehlerschätzer konvergiert schneller als der Fluss- Fehlerschätzer, und verringert so die Zuverlässigkeits-Effizienz-Lücke. Numerische Experimente mit fünf Benchmark-Tests der Mikrostruktursimulation und Topologieoptimierung ergänzen und bestätigen die theoretischen Ergebnisse. / Infimising sequences of nonconvex variational problems often do not converge strongly in Sobolev spaces due to fine oscillations. These oscillations are physically meaningful; finite element approximations, however, fail to resolve them in general. Relaxation methods replace the nonconvex energy with its (semi)convex hull. This leads to a macroscopic model which is degenerate in the sense that it is not strictly convex and possibly admits multiple minimisers. The lack of control on the primal variable leads to difficulties in the a priori and a posteriori finite element error analysis, such as the reliability-efficiency gap and no strong convergence. To overcome these difficulties, stabilisation techniques add a discrete positive definite term to the relaxed energy. Bartels et al. (IFB, 2004) apply stabilisation to two-dimensional problems and thereby prove strong convergence of gradients. This result is restricted to smooth solutions and quasi-uniform meshes, which prohibit adaptive mesh refinements. This thesis concerns a modified stabilisation term and proves convergence of the stress and, for smooth solutions, strong convergence of gradients, even on unstructured meshes. Furthermore, the thesis derives the so-called flux error estimator and proves its reliability and efficiency. For interface problems with piecewise smooth solutions, a refined version of this error estimator is developed, which provides control of the error of the primal variable and its gradient and thus yields strong convergence of gradients. The refined error estimator converges faster than the flux error estimator and therefore narrows the reliability-efficiency gap. Numerical experiments with five benchmark examples from computational microstructure and topology optimisation complement and confirm the theoretical results.