Dans la première partie nous présentons deux méthodes numériques non conformes espace-temps pour la propagation d'ondes en interaction fluide-structure. Ces méthodes, robustes et précises, sont basées sur deux formulations mixtes dites duale-duale et primale-primale. Elles sont explicites, sauf à l'interface, et conservatives, ce qui en assure la stabilité. Nous les validons à l'aide de solutions analytiques calculées par la méthode de Cagniard-de Hoop (CdH). Dans la deuxième partie nous obtenons, via la méthode CdH, des estimations d'erreur pour l'utilisation de conditions aux limites absorbantes (CLA) ou couches absorbantes parfaitement adaptées (PML) pour la résolution de l'équation des ondes dans le demi-espace. La troisième partie est consacrée aux PMLs pour l'acoustique en écoulement: analyse (par CdH) de l'instabilité des PMLs classiques et construction de PMLs stabilisées. La dernière partie consiste en une présentation mathématique détaillée de la méthode CdH.

Dans l'industrie pétrolière, de nombreuses campagnes sismiques visant à trouver de nouveaux champs pétroliers sont effectuées en mer. Afin de reproduire numériquement les résultats de ces campagnes d'acquisitions sismiques marine, les méthodes de différences finies ou d'éléments finis sont le plus souvent utilisées. Dans cette thèse, nous travaillons avec la méthode des éléments spectraux (Komatitsch et Tromp, 2002), qui est une méthode d'éléments finis explicite à haut degré d'interpolation polynomiale. Pour de l'acquisition sismique marine, la propagation d'ondes s'effectue dans des modèles composés de deux parties : une partie fluide (la couche d'eau épaisse homogène représentant l'océan) et une partie solide (les roches composant le fond des océans). La partie fluide étant moins intéressante que la partie solide où peuvent se trouver les réservoirs d'hydrocarbures, nous voulons une méthode numérique où la propagation d'ondes dans le fluide est la moins coûteuse possible en temps calcul. Un moyen de gagner ce temps est d'utiliser une méthode intégrant des pas de temps locaux (Diaz et Joly, 2005) où la partie fluide est traitée à l'aide d'un pas de temps plus grand que dans la partie solide. Pour cela, il faut s'assurer que l'augmentation du pas de temps sans modifier le maillage ne change pas la condition de stabilité CFL dans le fluide. Cette condition est calculée à partir de la vitesse maximale de propagation des ondes dans le domaine, et des pas de temps et d'espace. Or, les modèles utilisés présentent généralement un fort contraste des vitesses à l'interface fluide-solide en faveur du solide. C'est donc le pas de temps de ce dernier qui gouverne la condition CFL. Donc augmenter le pas de temps seulement dans le fluide ne changera pas la condition CFL et la simulation numérique pourra s'effectuer sans risquer l'explosion de la solution pour cause d'instabilité du schéma numérique. Mon travail a consisté à intégrer un tel procédé dans la méthode des éléments spectraux du code SPECFEM à 2D. Comme on a des pas de temps différents de part et d'autre de l'interface fluide-solide, les données à échanger entre les deux milieux ne sont pas coordonnées car à des temps différents. Pour palier à cette difficulté, on impose la conservation de l'énergie à notre système pour la construction des conditions de raccord. Cette manoeuvre implique néanmoins la résolution d'un système linéaire l'interface mais son coût est négligeable comparé aux calculs économisés dans la partie fluide. Afin de se rapprocher plus encore de la réalité des modèles pétroliers, j'ai travaillé sur l'implémentation de couches absorbantes de type CPML (convolutional perfectly match layer, voir Komatitsch et Martin 2007 ) qui permettent de simuler un milieu infini en absorbant toutes les ondes y pénétrant et donc évitent des réflexions parasites des bords du domaine. Ces conditions ont été implémentées pour des modèles fluide-solide à 2D.

Les travaux de cette thèse concernent la simulation numérique de la propagation acoustique dans un fluide en écoulement, en régime périodique établi. Le modèle retenu est l'équation de Galbrun, qui modélise la propagation linéaire d'ondes en présence d'un écoulement de fluide parfait en évolution adiabatique et porte sur le déplacement lagrangien. L'analyse mathématique montre qu'une méthode d'éléments finis nodaux ne permet pas, en général, d'approcher la solution de l'équation, les résultats étant alors fortement pollués par des modes numériques "parasites". Dans la première partie de la thèse, nous proposons une méthode de régularisation de l'équation pour laquelle nous prouvons la convergence d'une approximation par éléments finis nodaux pour des problèmes de diffraction dans un conduit en présence d'écoulements subsoniques uniforme ou cisaillé. La deuxième partie du document est consacrée à la construction et l'étude de couches absorbantes parfaitement adaptées, dites PML, pour le rayonnement d'une source localisée en présence d'un écoulement uniforme et dans un conduit. Nous traitons successivement le cas d'une source irrotationnelle, qui conduit à un problème scalaire, et celui d'une source quelconque. Un principe d'absorption limite est établi dans le cas général et nous démontrons un résultat de convergence exponentielle de la méthode de PML en fonction de la longueur des couches. Des résultats numériques illustrant ces approches sont présentés.

L'objectif de ce travail est l'élaboration d'un code numérique efficace pour la modélisation et la simulation des phénomènes électromagnétiques hyperfréquences en régime harmonique et en espace libre. Ce code de calcul s'appuie sur la discrétisation en deux (2D) et trois dimensions (3D) des équations de Maxwell en régime fréquentiel par une méthode d'éléments finis couplée à des conditions aux limites absorbantes (CLA). Les formulations de Galerkin en E ou H de l'équation vectorielle des ondes sont établies pour un domaine borné par une frontière arbitraire sur laquelle les conditions de rayonnement sont imposées par un opérateur surfacique. Cet opérateur est explicité grâce à des CLA locales du type Bayliss-Turkel (BT) et Engquist-Majda (EM). Ces opérateurs sont présentés sous une forme vectorielle et symétrique afin de faciliter leur couplage avec les éléments finis employés et de préserver la symétrie des matrices. Les éléments finis utilisés sont des éléments finis mixtes de H(rot). Ces éléments finis sont vectoriels et ont la propriété fondamentale d'être à composantes tangentielles localisées sur les frontières des éléments géométriques. Ils sont ainsi capables de forcer implicitement les conditions de continuité tangentielle des champs électrique E ou magnétique H à la traversée des interfaces tout en y permettant les discontinuités éventuelles des composantes normales de ces champs. Les résultats obtenus, dans le cas de la diffraction d'une onde plane par des objets 2D de forme simple, sont comparés aux solutions exactes avec succès, tant en champ proche qu'en champ lointain. Dans le cas de cylindres conducteurs de longueur finie (calcul 3D), les résultats sont en bon accord avec ceux des éléments finis nodaux. Une application de cette méthode aux problèmes liés à l'émission d'un faisceau directif de forte puissance avec des antennes de Vlasov est présentée.

A partir de l'établissement d'une approximation in stationnaires en 3D des potentiels retardés pour des courants électromagnétiques sur des polyèdres non-nécessairement convexes, une méthode de résolution pour la simulation de la diffraction par un ensemble non-connexe d'objets est formulée. Une partition de ce dernier est effectuée suivant les inhomogénéités présentes. Le problème est alors traduit en un système d'équations de Maxwell couplées, chacune étant homogène hors d'un élément correspondant de la partition, qui induit la construction d'une solution du problème initial. Par approximation des termes de couplage, il s'en suit une méthode naturellement hybride et parallèle sur un système stable et bien-posé. La restriction de chaque sous-système à un voisinage du support de ses inhomogénéités est obtenue par introduction de conditions aux limites absorbantes de type "PML" dont un formalisme généralisé est étudié. Des exemples numériques illustrent l'ensemble de ces développements.

La modélisation numérique est devenue un outil indispensable qui permet la prise en compte de structures de plus en plus complexes. De nombreuses méthodes numériques ont été développées puis évoluées pour être adaptées au problème à résoudre. Parmi ces méthodes, la TLM (Transmission Line Matrix) est très connue par son efficacité dans la modélisation des structures en hyperfréquence. Nous nous sommes intéressés dans ce travail à la méthode FD-TLM, l'approche fréquentielle de la TLM. La formulation adoptée est dérivée de la TLM dans le domaine temporel moyennant une transformée de Fourier. Cette étude a englobé plusieurs aspects de la méthode en commençant par la présentation des principaux noeuds utilisés dans le maillage avant de passer à l'étude et l'analyse de l'erreur de vitesse dans la FD-TLM. Par la suite, une grande partie de ce travail a été consacrée à l'étude des parois absorbantes particulièrement les PML (Perfecly Matched Layers) et les opérateurs d'onde unidirectionnels qui ont présenté d'excellentes performances d'absorption. Finalement, dans le but d'une étude d'optimisation, la FD-TLM a été combinée à la méthode de segmentation permettant de subdiviser la structure en plusieurs sous-domaines qui peuvent être isolés et maillés séparément.

Les trois principaux phénomènes acoustiques propres au milieu forestier nécessitant d'être pris en compte sont (1) l'absorption due à la présence d'un sol multi-couche, (2) la diffusion multiple due à la présence d'obstacles tels que les troncs, (3) les effets micro-météorologiques rattachés aux variations des gradients de vitesse de vent et de température. Parmi les méthodes numériques de référence, la méthode des lignes de transmission (TLM), semble particulièrement adaptée pour la modélisation de la propagation acoustique en présence de forêt, à condition de procéder à de nouveaux développements. La première nécessité pour l'adaptation de la méthode TLM aux simulations acoustiques sur de grandes distances est la définition de couches absorbantes, permettant de tronquer efficacement le domaine d'étude, sans introduire de réflexions parasites. La formulation ainsi développée dans le cadre de la thèse est rigoureusement équivalente à l'équation de propagation des ondes amorties, et se traduit dans la méthode TLM par l'introduction et l'optimisation d'un terme de dissipation. L'étape suivante a consisté à vérifier la capacité de la méthode TLM à modéliser les phénomènes de diffusion par des cylindres. L’une des originalités introduites dans cette thèse réside dans le placement des éléments diffuseurs, à partir de lois de distribution aléatoire et de Gibbs, permettant ainsi de définir des répartitions proches de celles rencontrées en forêt. À titre d'application de la méthode développée dans le cadre de la thèse, une étude paramétrique a été réalisée afin de définir les conditions pour lesquelles une forêt peut également être considérée comme un dispositif de protection. / The prediction of sound propagation in presence of forest remains a major challenge for the outdoor sound propagation community. Reference numerical models such as the Transmission Line Matrix (TLM) method can be developed in order to accurately predict each acoustical phenomenon that takes place inside forest. The first need for the TLM method is an efficient theory-based absorbing layer formulation that enables the truncation of the numerical domain. The two proposed absorbing layer formulations are based on the approximation of the perfectly matched layer theory. The most efficient proposed formulation is shown to be equivalent to wave propagation in a lossy media, which, in the TLM method formulation, is introduced using an additional dissipation term. Then, the ability of the TLM method for the simulation of scattering is studied comparing the numerical results to both analytical solutions and measurements on scale models. Lastly, the attenuation of acoustic levels by a simplified forest is numerically studied using several arrangements of cylinders placed normal to either reflecting or absorbing ground. It is observed that randomly spaced arrangements are more inclined to attenuate acoustic waves than periodic arrangements. Moreover, the sensitivity to the density, the length of the array and the ground absorption is tested. The main trend shows that the density and the distribution are two important parameters for the attenuation. In future work, it can be interesting to look at the sensitivity of each parameter. This study could then be used to relate the morphology (i.e. distribution, density, length) of a forest to the acoustical properties of the forest.

L'objectif de ce travail est de développer des algorithmes de décomposition de domaine pour des équations de l'océanographie. Les méthodes de décomposition de domaine consistent à décomposer un domaine de calcul de grand taille en plusieurs sous-domaines plus petits. Elles s'appliquaient jusqu'à présent à des problèmes stationnaires, nous généralisons ici ce type de méthodes aux problèmes en temps ('Schwarz Waveform Relaxation Methods'). Le principal but de cette nouvelle approche est de simuler des problèmes multiphysiques pour lesquels il est intéressant d'avoir une discrétisation temporelle différente dans chaque sous-domaine. Nous généralisons aux équations d'évolution une méthode récente qui consiste à écrire les conditions transparentes (Conditions aux Limites Absorbantes) puis les approche par des opérateurs différentiels d'ordre 1 dans la direction normale à l'interface et d'ordre 0 ou 1 dans la direction tangentielle. Nous développons cette méthode premièrement pour l'équation de convection diffusion qui traduit notamment l'advection des traceurs (température, salinité, traceurs passifs) dans l'océan. Nous approchons les opérateurs exacts par développement de Taylor, ou par optimisation du taux de convergence. Nous démontrons que les problèmes aux limites introduits sont bien posés. Puis nous montrons la convergence des algorithmes correspondants. Des résultats numériques sont implémentés dans le cas avec ou sans recouvrement et mettent en évidence la réelle efficacité des méthodes optimisées. Nous faisons ensuite un premier pas vers le couplage d'équations en implémentant un algorithme de couplage de l'équation de convection avec l'équation de convection diffusion. Ensuite nous traitons les équations de Saint Venant, moyennes verticales des équations de Navier-Stokes en milieu tournant. Nous introduisons pour ce système un algorithme de décomposition de domaine avec des conditions d'interface qui s'obtiennent par des considérations physiques. Nous montrons que cet algorithme est bien posé puis nous en démontrons la convergence. Des résultats numériques concluants sont également exposés.

Mes travaux de thèse portent sur la construction de conditions aux limites absorbantes (CLAs) pour des problèmes de propagation d'ondes posés dans des milieux limités par des surfaces régulières. Ces conditions sont nouvelles car elles prennent en compte non seulement les ondes proagatives (comme la plupart des CLAs existantes) mais aussi les ondes évanescentes et rampantes. Elles sont donc plus performantes que les conditions existantes. De plus, elles sont facilement implémentables dans un schéma d'éléments finis de type Galerkine Discontinu (DG) et ne modifie pas la condition de stabilité de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL). Ces CLAs ont été implémentées dans un code simulant la propagation des ondes acoustiques ainsi que dans un code simulant la propagation des ondes en régime harmonique. Les comparaisons réalisées entre les nouvelles conditions et celles qui sont les plus utilisées dans la littérature montrent que prendre en compte les ondes évanescentes et les ondes rampantes permet de diminuer les réflexions issues de la frontière artificielle et donc de rapprocher la frontière artificielle du bord de l'obstacle. On limite ainsi les coûts de calcul, ce qui est un des avantages de mes travaux. De plus, compte tenu du fait que les nouvelles CLAs sont écrites pour des frontières quelconques, elles permettent de mieux adapter le domaine de calcul à la forme de l'obstacle et permettent ainsi de diminuer encore plus les coûts de calcul numérique. / In my PhD, I have worked on the construction of absorbing boundary conditions (ABCs) designed for wave propagation problems set in domains bounded by regular surfaces. These conditions are new since they take into account not only propagating waves (as most of the existing ABCs) but also evanescent and creeping waves. Therefore, they outperform the existing ABCs. Moreover, they can be easily implemented in a discontinuous Galerkin finite element scheme and they do not change the Courant-Friedrichs-Lewy stability condition. These ABCs have been implemented in two codes that respectively simulate the propagation of acoustic waves and harmonic waves. The comparisons performed between these ABCs and the ABCs mostly used in the litterature show that when we take into account evanescent and creeping waves, we reduce the reflections coming from the artificial boundary. Therefore, thanks to these new ABCs, the artificial boundary can get closer to the obstacle. Consequently, we reduce the computational costs which is one of the advantages of my work. Moreover, since these new ABCs are written for any kind of boundary, we can adapt the shape of the computational domain and thus we can reduce again the computational costs.

Dans cette thèse, nous proposons une nouvelle classe de conditions aux limites absorbantes locales de type DtN (ou Robin généralisées) à utiliser pour des frontières artificielles de forme elliptique (2D) ou sphéroïdale prolate (3D), c'est-à-dire adaptées à des obstacles de forme allongée. Ces nouvelles conditions absorbantes sont construites de façon à être exactes pour les premiers modes. Elles peuvent être facilement incorporées dans un code d'éléments finis tout en préservant la structure locale du système algébrique. De plus, comme elles sont adaptées à des obstacles allongés, elles permettent de prendre en compte un domaine de calcul plus petit, ce qui contribue à limiter les coûts numériques. Nous montrons que la condition DtN d'ordre 2 construite est performante en régime basse fréquence pour les problèmes de scattering 2D et 3D, dans le cadre d'une formulation On-Surface Radiation Condition (OSRC). Cette condition conserve sa précision quel que soit l'allongement de la frontière artificielle elliptique (2D) ou ellipsoïdale (3D). Pour des régimes de fréquences plus élevées, on étudie la formulation en volume du problème. On observe qu'il n'est pas nécessaire de trop éloigner la frontière pour avoir un bon niveau de précision, et tout particulièrement lorsque l'on considère la condition DtN d'ordre 2. Afin de préciser cette observation, nous avons mené une analyse haute fréquence pour mesurer l'amplitude des réflexions parasites générées par la frontière artificielle. On montre que le coefficient de réflexion associé à une famille de modes propagatifs tend vers 0 comme une puissance inverse de λka où λ exprime la distance entre l'obstacle et la frontière artificielle et ka désigne la fréquence. De plus, en choisissant une sous-classe particulière de modes, on affine ce résultat et on obtient que si l'excentricité est supérieure à 0.5, le coefficient de réflexion tend vers 0 de façon exponentielle et ce résultat est valable pour toute la sous-classe de modes considérés, qu'ils soient propagatifs, rampants ou évanescents.