Cette thèse est consacrée à l'étude de trois modèles combinatoires intervenant dans la théorie des probabilités. Nous nous intéressons tout d'abord à la hauteur d'arbres de fragmentation. À mesure de dislocation fixée, deux régimes bien différents peuvent apparaître selon la capacité des sommets : au-delà d'une capacité critique, les hauteurs ont même asymptotique tandis que, en deçà de ce paramètre critique, les arbres sont de plus en plus hauts à mesure que le seuil de rupture diminue. Nous présentons ensuite des résultats obtenus avec Nicolas Curien sur le quadtree. Nous explicitons les comportements asymptotiques des coûts moyens des requêtes partielles. La théorie des fragmentations joue encore un rôle clé. Nous étudions enfin les grands graphes aléatoires, critiques pour le modèle de configuration. Sous certaines hypothèses, nous prouvons que, correctement remises à l'échelle, les suites des tailles des composantes connexes de ces graphes convergent en un certain sens vers une suite aléatoire non triviale que nous caractérisons. La situation est bien différente selon que la loi des degrés d'un sommet a un moment d'ordre 3 fini ou est une loi de puissance d'exposant compris entre 3 et 4.

L’étude du comportement trajectoriel des champs/processus stochastiques est un sujet de recherche classique en théorie des probabilités et dans des domaines connexes comme la géométrie fractale. Dans cet objectif, plusieurs méthodes ont été développées depuis longtemps afin d’étudier le comportement des trajectoires de champs/processus gaussiens. Ces méthodes reposent souvent sur une structure hilbertienne « sympathique », et peuvent aussi nécessiter la finitude de moments d’ordre élevé. Ainsi, elles sont difficilement transposables dans des cadres de lois à queue lourde. Ces dernières sont importantes en probabilités et en statistique parce qu’elles constituent une contrepartie naturelle des lois gaussiennes. Dans le cas de certains champs/processus stables linéaires de type moyenne mobile non anticipative, tels que le drap fractionnaire stable linéaire et le mouvement multifractionnaire stable linéaire, des méthodes d’ondelettes, assez nouvelles, se sont déjà avérées fructueuses dans l’étude du comportement trajectoriel. Peut-on adapter cette méthodologie à certains champs/processus stables harmonisables ? Donner une réponse à cette question est un problème assez délicat car, de façon générale, de grandes différences séparent le cadre stable harmonisable de celui de type moyenne mobile. Le principal objectif de la thèse est d’étudier cette question dans le cadre d’un champ stable harmonisable symétrique à accroissement stationnaire de forme générale. / Studying sample path behaviour of stochastic fields/processes is a classical research topic in probability theory and related areas such as fractal geometry. To this end, many methods have been developed for a long time in order to study sample path behaviour of Gaussian fields/processes. They often rely on some underlying "nice" Hilbertian structure, and can also require finiteness of moments of high order. Therefore, they can hardly be transposed to frames of heavy-tailed stable probability distributions. Such distributions are very important in probability and statistics because they are a natural counterpart to the Gaussian ones. In the case of some linear non-anticipative moving average stable fields/processes, such as the linear fractional stable sheet and the linear multifractional stable motion, rather new wavelet methods have already proved to be successful in studying sample path behaviour. Can this methodology be adapted to some harmonizable stable fields/processes? Providing an answer to this question is a non trivial problem, since, generally speaking, there are large differences between an harmonizable stable setting and a moving average one. The main goal of the thesis is to study this issue in the case of a stationary increments symmetric stable harmonizable field of a general form.

La thèse s’intéresse à l’étude du fonctionnement d’un système industriel. Il s’agit de proposer et de développer un nouveau modèle pour modéliser la dégradation accumulative d’un système. Le processus gamma standard est fréquemment utilisé pour étudier l’évolution de la détérioration d’un système. Toutefois, ce processus peut s’avérer inadapté pour décrire le phénomène de dégradation car le rapport variance sur moyenne est constant dans le temps, ce qui est relativement restrictif en pratique. Afin de surmonter cette restriction, nous proposons d’utiliser un processus gamma étendu introduit par Cinlar (1980), qui ne souffre plus de cette restriction. Mais ce dernier présente quelques difficultés techniques. A titre d’exemple, la loi d’un processus gamma étendu n’est pas connue sous une forme explicite. Ces difficultés techniques ont conduit Guida et al. (2012) à utiliser une version discrète d’un processus gamma étendu. Nous travaillons ici avec la version originale d’un processus gamma étendu en temps continu. Le but de ce mémoire est de développer des méthodes numériques permettant de quantifier les quantités fiabilistes associées et de développer des méthodes statistiques d’estimation des paramètres du modèle. Aussi, une autre partie de ce travail consiste à proposer une politique de maintenance dans le contexte d’un processus gamma étendu. / This thesis is dedicated to study the functioning of an industrial system. It is about proposing and developing a new model for modelling the accumulative degradation of a system. The standard gamma process is widely used to model the evolution of the system degradation. A notable restriction of a standard gamma process is that its variance-to-mean ratio is constant over time. This may be restrictive within an applicative context. To overcome this drawback, we propose to use an extended gamma process, which was introduced by Cinlar (1980). However, there is a cost and the use of an extended gamma process presents some technical difficulties. For example, there is no explicit formula for the probability distribution of an extended gamma process. These technical difficulties have lead Guida et al. (2012) to use a discrete version of an extended gamma process. We here propose to deal with the original continuous time version. The aim of this work is to develop numerical methods in order to compute the related reliability function and to develop statistical methods to estimate the parameters of the model. Also, another part of this work consists of proposing a maintenance policy within the context of an extended gamma process.

Cette thèse est essentiellement consacrée au comportement asymptotique de champs et de suites stationnaires de variables aléatoires réelles. Dans le premier chapitre, nous mettons en évidence que le principe d'invariance de Dedecker (2001) pour des processus de sommes partielles issus d'un champ stationnaire $(X_{i})_{i\in\Z^{d}}$ de variables aléatoires réelles bornées et indexés par les ensembles d'une classe $\A$ n'a plus nécessairement lieu si on considère des champs de variables aléatoires qui sont seulement $p$-intégrables ($0

L'objectif de cette thèse est de développer des méthodes de synthèses d'observateurs et des contrôleurs basés sur un observateur pour les systèmes à retard. Différentes classes de systèmes ont été traitées avec différents types de retard. Trois méthodes ont été développées. La première méthode traite des systèmes non linéaires avec des non-linéarités lipschitziennes et consiste à transformer le système d'origine à un système LPV grâce à une reformulation de la propriété classique de Lipschitz. Cette technique est formulée pour les cas continu et discret, respectivement. Nous avons démontré, à travers des exemples numériques, que cette technique offre des conditions de synthèse moins restrictives par rapport aux résultats existants dans la littérature. La seconde méthode est développée pour une classe de systèmes singuliers avec des perturbations. La principale difficulté résidait dans la présence des dérivées des perturbations qui entravent l'analyse de la stabilité et pour laquelle deux approches ont été proposées: une approche Hinf en utilisant une fonctionnelle de Lyapunov-Krasovskii spéciale dépendante des perturbations et une approche basée sur l'utilisation d'un critère de performance W1;2. La dernière méthode est basée sur l'utilisation des matrices de pondération libres pour résoudre le problème de contrôle des systèmes non-linéaires à retards inconnus. La solution proposée fournit une condition de synthèse LMI garantissant la stabilisation du système en boucle fermée malgré la présence du retard inconnu, au lieu d'une inégalité matricielle linéaire itérative ILMI trouvée habituellement dans la littérature.

L'objectif de cette thèse est de développer des méthodes de synthèses d'observateurs et des contrôleurs basés sur un observateur pour les systèmes à retard. Différentes classes de systèmes ont été traitées avec différents types de retard. Trois méthodes ont été développées. La première méthode traite des systèmes non linéaires avec des non-linéarités lipschitziennes et consiste à transformer le système d'origine à un système LPV grâce à une reformulation de la propriété classique de Lipschitz. Cette technique est formulée pour les cas continu et discret, respectivement. Nous avons démontré, à travers des exemples numériques, que cette technique offre des conditions de synthèse moins restrictives par rapport aux résultats existants dans la littérature. La seconde méthode est développée pour une classe de systèmes singuliers avec des perturbations. La principale difficulté résidait dans la présence des dérivées des perturbations qui entravent l'analyse de la stabilité et pour laquelle deux approches ont été proposées: une approche $\mathcal{H}_{\infty}$ en utilisant une fonctionnelle de Lyapunov-Krasovskii spéciale dépendante des perturbations et une approche basée sur l'utilisation d'un critère de performance $\mathcal{W}^{1,2}$. La dernière méthode est basée sur l'utilisation des matrices de pondération libres pour résoudre le problème de contrôle des systèmes non-linéaires à retards inconnus. La solution proposée fournit une condition de synthèse LMI garantissant la stabilisation du système en boucle fermée malgré la présence du retard inconnu, au lieu d'une inégalité matricielle linéaire itérative ILMI trouvée habituellement dans la littérature / The objective of this dissertation is to develop observers and observer-based controllers synthesis methods for time-delay systems. Different classes of systems were treated with different types of delay. Three different methods were developed. The first one treats nonlinear systems with Lipschitz nonlinearities and consists in transforming the original system into an LPV system based on a reformulation of the classical Lipschitz property. This technique was formulated for continuous and discrete cases respectively and it was proven to provide less restrictive synthesis conditions when compared to the existing results in the literature. The second method deals with singular systems with disturbances. The main difficulty lay in the presence of the derivatives of the disturbances which hinder the stability analysis and for which two approaches are proposed:~a $\mathcal{H}_{\infty}$ criterion combined with a special Lyapunov-Krasovskii functional depending on disturbances and a $\mathcal{W}^{1,2}$ criterion based on the use of Sobolev norms. The last method is based on the Free Weighting Matrices technique to solve the observation and control problems of a class of nonlinear systems with unknown delays. The proposed solution provides a sufficient LMI synthesis condition ensuring the asymptotic stabilization of the closed loop system, instead of the iterative LMI condition usually found in the literature