On s'intéresse dans cette thèse au pseudo-spectre d'une classe particulière d'opérateurs non auto-adjoints. Plus précisément, on étudie les propriétés microlocales régissant les phénomènes de stabilité ou d'instabilité spectrale qui apparaissent sous l'effet de petites perturbations pour les opérateurs différentiels définis en quantification de Weyl par des symboles quadratiques elliptiques à valeurs complexes. Nous établissons dans ce manuscript une condition nécessaire et suffisante simple portant sur le symbole de Weyl de tels opérateurs, qui assure la stabilité de leurs spectres. Lorsque cette condition est violée, nous démontrons qu'il se développe de très fortes instabilités spectrales pour les hautes énergies de ces opérateurs dans des régions -- qui peuvent être très éloignées de leurs spectres -- dont nous donnons une description géométrique précise. Pour mettre en évidence de telles instabilités spectrales, nous sommes amenés à étudier et à établir certaines conditions géométriques assurant l'existence de quasi-modes semi-classiques pour des opérateurs pseudo-différentiels généraux.

Dans cette thèse, nous étudions les théories étroitement liées du contrôle, de la stabilisation et de la propagation des singularités, pour des équations aux dérivées partielles dispersives linéaires et non-linéaires. Les résultats principaux proviennent des travaux de l’auteur:[1] Zhu, H., 2016. Stabilization of damped waves on spheres and Zoll surfaces of revolution. ESAIM : Control, Optimisation and Calculus of Variations (ESAIM: COCV), à paraître.[2] Zhu, H., 2017. Control of three dimensional water waves. arXiv preprint arXiv:1712.06130.[3] Zhu, H., 2018. Propagation of singularities for gravity-capillary water waves. arXiv preprint arXiv:1810.09339.Dans [1], nous avons étudié la stabilisation des ondes amorties sur les surfaces de révolution de Zoll. Nous avons donné un exemple où la région d’amortissement est à la limite de la condition du contrôle géométrique, alors que les ondes amorties présentent une décroissance exponentielle uniforme de l’énergie. Cet exemple généralise un résultat de Lebeau. Dans [2], nous avons étudié la contrôlabilité du système des ondes de surface avec tension superficielle. Nous avons démontré, en dimensions arbitraires, la contrôlabilité exacte pour des petites données spatialement périodiques à condition du contrôle géométriques. Ce résultat généralise le travail de Alazard, Baldi et Han-Kwan en dimension deux. Dans [3], nous avons étudié la propagation des singularités pour des ondes de surface avec tension superficielle. Nous avons défini le front d’onde quasi-homogène, généralisant le front d’onde de Hörmander et le front d’onde homogène de Nakamura et démontré des résultats de propagation des fronts d’onde quasi-homogènes par le système des ondes de surface avec tension superficielle. Comme corollaires, nous avons obtenu des effets régularisants locaux et micro-locaux pour les données initiales présentant une décroissance spatiale suffisante. / In this thesis, we study the closely related theories of control, stabilization and propagation of singularities for some linear and nonlinear dispersive partial differential equations. Main results come from the author’s works:[1] Zhu, H., 2016. Stabilization of damped waves on spheres and Zoll surfaces of revolution. ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations (ESAIM: COCV), to appear.[2] Zhu, H., 2017. Control of three dimensional water waves. arXiv preprint arXiv:1712.06130.[3] Zhu, H., 2018. Propagation of singularities for gravity-capillary water waves. arXiv preprint arXiv:1810.09339.In [1] we studied the stabilization of the damped wave equation on Zoll surfaces of revolution. We gave an example where the region of damping is at the borderline of the geometric control condition, yet the damped waves exhibit a uniform exponential decay of energy, generalizing an example of Lebeau.In [2] we studied the controllability of the gravity-capillary water wave equation. Under the geometric control condition, we proved in arbitrary spatial dimension the exact controllability for spatially periodic small data. This generalizes a result of Alazard, Baldi and Han-Kwan for the 2D gravity-capillary water wave equation.In [3] we studied the propagation of singularities for the gravity-capillary water wave equation. We defined the quasi-homogeneous wavefront set, generalizing the wavefront set of H¨ ormander and the homogeneous wavefront set of Nakamura, and proved propagation results for quasi-homogeneous wavefront sets by the gravity-capillary water wave equation. As corollaries, we obtained local and microlocal smoothing effects for gravity-capillary water waves with sufficient spatial decay.