Thèse ou mémoire avec insertion d'articles / Ce mémoire a pour but d'introduire le lecteur aux divers outils qui facilitent l'étude des formes modulaires et des valeurs spéciales de leur fonction L associée. Le premier chapitre de cet écrit rassemble plusieurs notions de base sur les formes modulaires et leur fonction L. C'est dans le second chapitre que seront introduits trois outils incontournables qui permettent d'étudier les valeurs spéciales des fonctions L. Le premier de ces outils est les symboles modulaires. Ces intégrales complexes récupèrent certaines des valeurs spéciales convoitées et ont l'avantage d'être calculables numériquement. Un second outil présenté dans ce chapitre est les éléments de Mazur-Tate p-adiques. On propose au lecteur d'explorer quelques-unes de leurs propriétés fondamentales en suivant les expositions de [MT87], de [PW11] et de [MTT86]. Puis, on emploiera les méthodes issues de l'interpolation p-adique pour étudier ces valeurs spéciales à l'aide de la fonction L p-adique. On propose au lecteur d'étudier trois constructions équivalentes de cet objet afin d'en obtenir une meilleure compréhension. Le troisième chapitre de ce mémoire est un article de recherche qui présente de nombreux calculs explicites qui peuvent être réalisés avec les symboles modulaires et les éléments de Mazur-Tate. L'emphase est mise sur les invariants d'Iwasawa p-adiques associés à la fonction t de Ramanujan. Le quatrième chapitre généralise les concepts abordés dans les chapitres précédents aux formes modulaires de Bianchi. Ce chapitre s'adresse davantage aux lecteurs et aux lectrices qui maîtrisent bien les bases de la théorie des formes modulaires classiques et qui désirent être introduits et introduites à une généralisation de cette théorie. Le chapitre final de ce mémoire se veut être un appendice qui rassemble quelques résultats élémentaires à propos des nombres p-adiques et des fractions continues. Ces résultats sont placés à la fin du mémoire simplement pour en améliorer la lisibilité. / The main goal of this Master's thesis is to introduce to the reader to some of the tools involved in the study of modular forms and special values of their L functions. The first chapter of this document gathers many basic notions on modular forms and L functions. In the second chapter, we introduce three main tools for studying special values of L functions. The first of these tools is modular symbols. These complex integrals recover some of the interesting special L-values. Moreover, they are numerically computable. A second tool introduced in this chapter is p-adic Mazur-Tate elements. We propose the reader to study some of their fundamental properties by following the expositions of [MT87], [PW11] and [MTT86]. At the end of this chapter, we use the techniques of p-adic interpolation to study these special values using the p-adic L function. We will describe three equivalent constructions of this object to help the reader get a better understanding. The third chapter of this Master's thesis is a research article containing many explicit computations using modular symbols and Mazur-Tate elements. We put the emphasis on p-adic Iwasawa invariants associated to Ramanujan's t function. The fourth chapter generalises the concepts discussed in previous chapters to Bianchi modular forms. This chapter assumes a more thorough understanding of the basics of the theory of modular forms and introduces the reader to a vast generalization of this theory. The final chapter is an appendix gathering some important elementary results on p-adic numbers and continued fractions. These results are placed at the end of this thesis simply to improve readability.

Un espace de Banach spectral p-adique est un espace de~Banach p-adique muni d'une algèbre de fonctions analytiques à valeurs dans un corps complet et algébriquement clos C. Un espace de Banach-Colmez est un espace de Banach spectral qui s'obtient par extensions et quotients à partir de C et Qp. Ces espaces forment une catégorie abélienne, qui est naturellement munie de fonctions additives « dimension » et « hauteur » ; on retrouve ainsi une démonstration du théorème « faiblement admissible implique admissible » (Colmez-Fontaine, 2000). De plus, il existe une sous-catégorie pleine qui admet une filtration canonique par les pentes de l'action du Frobenius, décroissante et indexée par les rationnels positifs.

On développe ici l'analyse pseudodifférentielle des opérateurs agissant sur les fonctions à valeurs complexes sur k?, où k est un corps non archimédien. Cette étude met en jeu, pour commencer, une géné-ralisation au cas p--adique des méthodes obligatoires (calcul de Weyl, représentation d'Heisenberg) ou souhaitables (utilisation de familles d'états cohérents et caractérisation des classes d'opérateurs par leur action sur ces états) de l'analyse pseudodifférentielle. On en déduit une caractérisation "à la Beals" de classes d'opérateurs, ainsi qu'un calcul fonctionnel des opérateurs de poids un. L'absence d'opérateurs de dérivation interdit bien sûr tout développement "à la Moyal" de la composition de deux symboles: mais, utilisant la théorie des caractères multiplicatifs de k^(×), on donne une formule de composition reliant la décomposition en termes "homogènes" d'un produit f?f? aux décompositions de cette espèce de f? et f?

Nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour que les coefficients de Taylor à l'origine de séries en plusieurs variables $q_i({mathbf z})=z_iexp(G_i({mathbf z})/F({mathbf z}))$ soient entiers, avec ${mathbf z}=(z_1,dots,z_d)$ et où $F({mathbf z})$ et $G_i({mathbf z})+log(z_i)F({mathbf z})$, $i=1,dots,d$, sont des solutions particulières de certains $A$-systèmes d'équations différentielles linéaires. Ce critère est basé sur les propriétés analytiques de l'application de Landau (classiquement associée aux suites de quotients de factorielles de formes linéaires). Pour démontrer ce critère, nous généralisons entre autres une version en plusieurs variables d'un théorème de Dwork concernant les congruences formelles entre séries formelles, démontrée par Krattenthaler et Rivoal dans og Multivariate $p$-adic formal congruences and integrality of Taylor coefficients of mirror maps fg [arXiv:0804.3049v3, math.NT]. Ce critère en plusieurs variables implique l'intégralité des coefficients de Taylor de nouvelles applications miroir d'une seule variable dans og Tables of Calabi--Yau equations fg [arXiv:math/0507430v2, math.AG] de Almkvist, van Enckevort, van Straten et Zudilin. Dans le cas particulier d'une variable, nous affinons notre critère et démontrons l'intégralité des coefficients de Taylor de racines d'applications miroir. Cela nous permet de démontrer une conjecture de Zhou énoncée dans og Integrality properties of variations of Mahler measures fg [arXiv:1006.2428v1 math.AG].

La construction de la fonction L p-adique de Kubota-Leopoldt L[indice p](χω[exposant 1+β])(s) d'un caractère χ associé à un corps de nombres K par la méthode Daniel Delbourgo dans [Del09] permet de l'exprimer comme une série infinie à coefficients dans O[indice K] pour chaque branche β modulo p-1. Par cette méthode, inspirée par N. Alharbi, R. Kammoun et C.Ozel dans [AKO19] pour un corps quadratique imaginaire Q( √[c.-à-d. racine carrée](-D)) et par D. Delbourgo and Q. Chao dans [DC15] pour un corps cubique cyclique totalement réel de conducteur f = (a²+3b²)/4 et de discriminant D = f², ce mémoire a pour but de calculer numériquement le lambda invariant, noté par λ[indice p](χ), de la fonction L p-adique d'un caractère de Dirichlet χ de degré 4 à valeurs dans Z[exposant ×][indice p] sur l'extension quartique K sous-corps de Q(μ[indice ℓ]) pour ℓ ≡ 1 (mod 4) en utilisant le logiciel PARI/GP. Pour p = 5, on établira que λ[indice p](χ) = λ[indice p](χ⁻¹) pour χ⁻¹ l'inverse de χ. / The method given by Daniel Delbourgo in [Del09] allows us to write down an expansion of the p-adic L function L[subscript p](χω[superscript 1+β])(s) of a character χ associated to a number field K as an infinite series with coefficients in O[subscript K]. From this method, inspired by N. Alharbi, R. Kammoun and C. Ozel in [AKO19] for an imaginary quadratic field Q( √[i.e. square root](-D)) and by D. Delbourgo and Q. Chao in [DC15] for a totally real cyclic cubic field with conductor f = (a²+3b²)/4 and discriminant D = f², the aim of this thesis is to compute numerically the lambda invariant, denoted by λ[subscript p](χ), of the p-adic L function for a Dirichlet character χ of degree 4 with Z[superscript ×][subscript p] -values over the quartic extension K subfield of the cyclotomic extension Q(μ[subscript ℓ]) for ℓ ≡ 1 (mod 4) using PARI/GP. For p = 5, we will etablish that λ[subscript p](χ) = λ[subscript p](χ⁻¹) for χ⁻¹ the inverse of χ.

Nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour que les coefficients de Taylor à l'origine de séries en plusieurs variables $q_i({mathbf z})=z_iexp(G_i({mathbf z})/F({mathbf z}))$ soient entiers, avec ${mathbf z}=(z_1,dots,z_d)$ et où $F({mathbf z})$ et $G_i({mathbf z})+log(z_i)F({mathbf z})$, $i=1,dots,d$, sont des solutions particulières de certains $A$-systèmes d'équations différentielles linéaires. Ce critère est basé sur les propriétés analytiques de l'application de Landau (classiquement associée aux suites de quotients de factorielles de formes linéaires). Pour démontrer ce critère, nous généralisons entre autres une version en plusieurs variables d'un théorème de Dwork concernant les congruences formelles entre séries formelles, démontrée par Krattenthaler et Rivoal dans og Multivariate $p$-adic formal congruences and integrality of Taylor coefficients of mirror maps fg [arXiv:0804.3049v3, math.NT]. Ce critère en plusieurs variables implique l'intégralité des coefficients de Taylor de nouvelles applications miroir d'une seule variable dans og Tables of Calabi--Yau equations fg [arXiv:math/0507430v2, math.AG] de Almkvist, van Enckevort, van Straten et Zudilin. Dans le cas particulier d'une variable, nous affinons notre critère et démontrons l'intégralité des coefficients de Taylor de racines d'applications miroir. Cela nous permet de démontrer une conjecture de Zhou énoncée dans og Integrality properties of variations of Mahler measures fg [arXiv:1006.2428v1 math.AG]. / We give a necessary and sufficient condition for the integrality of the Taylor coefficients at the origin of formal power series $q_i({mathbf z})=z_iexp(G_i({mathbf z})/F({mathbf z}))$, with ${mathbf z}=(z_1,dots,z_d)$ and where $F({mathbf z})$ and $G_i({mathbf z})+log(z_i)F({mathbf z})$, $i=1,dots,d$ are particular solutions of some $A$-systems of differential equations. This criterion is based on the analytical properties of Landau's function (which is classically associated to the sequences of factorial ratios). One of the techniques used to prove this criterion is a generalization of a version of a theorem of Dwork on the formal congruences between formal series, proved by Krattenthaler and Rivoal in og Multivariate $p$-adic formal congruences and integrality of Taylor coefficients of mirror maps fg [arXiv:0804.3049v3, math.NT]. This criterion involves the integrality of the Taylor coefficients of new univariate mirror maps listed in og Tables of Calabi--Yau equations fg [arXiv:math/0507430v2, math.AG] by Almkvist, van Enckevort, van Straten and Zudilin. In the particular case of one variable, we refine our criterion and demonstrate the integrality of the Taylor coefficients of roots of mirror maps. This allows us to prove a conjecture stated by Zhou in og Integrality properties of variations of Mahler measures fg [arXiv:1006.2428v1 math.AG]. STAR Date de soutenance : 6 septembre 2011 Thèse sur travaux: non

L'objectif de ce mémoire est de donner la construction de la fonction L p-adique associée à une forme modulaire en suivant l'exposition de [MTT86] et d'étudier les cœfficients du développement en série de puissances de cette fonction. Dans le chapitre 1, nous introduisons les nombres p-adiques. Le corps des nombres p-adiques est déni de manière arithmétique et est un outil important en théorie des nombres. Nous étudierons également les fonctions dont le domaine est les p-adiques et les distributions p-adiques. Ensuite, nous verrons les notions de base sur les formes modulaires et nous présenterons leur fonction L complexe. Dans le chapitre 2, nous construirons une distribution p-adique µf attachée à une forme modulaires avec la propriété que cette dernière interpole les valeurs de la fonction L complexe de f. Par la suite, nous dérivons l'équation fonctionnelle pour la fonction L p-adique obtenue parla distribution µf . Finalement, dans le chapitre 3, nous démontrerons des conséquences de l'équation fonctionnelle. Certains résultats de ce chapitre sont nouveaux et ont été publiés dans [DS19].

Dans cette thèse nous étudions la filtration par le poids sur la cohomologie de De Rham d’une courbe hyperelliptique C définie sur une extension finie de Qp et à réduction semi-stable. L’objectif est de fournir des algorithmes calculant explicitement, étant donné une équation de C, les bases des crans de la filtration par le poids ainsi que la matrice de l’accouplement de Poincaré. Dans le premier chapitre, nous mettons en place des outils relatifs à la cohomologie de De Rham algébrique de la courbe hyperelliptique. Nous construisons une base adaptée de la cohomologie de De Rham de C, nous établissons une formule explicite pour le cup-produit et la trace, et enfin nous proposons un algorithme calculant la matrice de l’accouplement de Poincaré. Le deuxième chapitre est consacré à la description explicite de la flèche induite par l’inclusion du tube d’un point double sur les espaces de cohomologie. C’est l’ingrédient essentiel pour pouvoir décrire la filtration par le poids sur la cohomologie de De Rham de C. À cette fin nous nous plaçons dans le cadre de la géométrie analytique à la Berkovich et nous introduisons puis développons les notions de point résiduellement singulier standard et de forme apparente de l’équation de la courbe. Dans le troisième et dernier chapitre, nous faisons la synthèse des résultats obtenus et achevons la description de la filtration par le poids. Enfin, nous donnons les algorithmes calculant les bases de Fil0 et Fil1. Pour les algorithmes obtenus dans la thèse nous proposons une implémentation en sage, ainsi que des exemples concrets sur des courbes de genre un et deux. / In this thesis we study the weight filtration on the De Rham cohomology of an hyperelliptic curve C defined over a finite extension of Qp and with semi-stable reduction. The goal is to provide algorithms computing explicitly, given an equation of C, the basis of the weight filtration’s spaces as well as the matrix of the Poincaré pairing. In the first chapter we introduce tools related to the algebraic De Rham cohomology of the hyperelliptic curve. We build a suitable basis of the De Rham cohomology of C, we establish explicit formulae for the cup-product and the trace, and we give an algorithm computing the matrix of the Poincaré pairing. The second chapter is dedicated to the explicit description of the morphism induced by the inclusion of the tube of a double point on the cohomology spaces. It is the main ingredient that allows us to describe the weight filtration on the De Rham cohomology of C. To achieve that, we use the framework of the Berkovitch analytical geometry. We introduce and then we develop the notion of standard residually singular points and the notion of apparent form of the curve’s equation. In the third and last chapter, we synthesize all the results and we complete the description of the weight filtration. Finally, we give the algorithms that compute the basis of Fil0 and Fil1. For each of our algorithm, we propose a sage implementation and concrete examples on genus one and two curves.

Soit p un nombre premier. Les résultats de cette thèse s'inscrivent dans le cadre du programme de Langlands p-adique. Lorsque V est une représentation p-adique de dimension 2 du groupe Gal(\bar{Qp}/Qp), on sait lui associer une représentation p-adique continue B(V) de GL₂(Qp). Si F est une extension finie non triviale de Qp, la question d'associer des représentations p-adiques de GL₂(F) aux représentations p-adiques de dimension 2 de Gal(\bar{Qp}/F) dans l'esprit d'une correspondance locale à la Langlands s'annonce beaucoup plus délicate. Dans ce texte, nous considérons des espaces de Banach p-adiques, munis d'une action linéaire continue de GL₂(F), qui sont des complétions unitaires universelles de certaines représentations localement Qp-analytiques de GL₂(F). Celles-ci sont susceptibles de jouer un rôle important dans une éventuelle correspondance de Langlands locale p-adique pour GL₂(F). Le résultat principal de cette thèse est démontré dans le Chapitre 3 et généralise des résultats antérieurs de Berger et Breuil. Il consiste en une description explicite de ces complétés unitaires universels à l'aide des fonctions continues sur F d'un certain type. Pour ce faire, nous introduisons dans le Chapitre 2 des espaces de Banach de fonctions de classe C^r, où r est un nombre rationnel positif, et leurs espaces duaux de distributions d'ordre r. Nous construisons une base de Banach et nous donnons un critère de prolongement des formes linéaires définies sur un espace de fonctions localement Qp-polynomiales en distributions d'ordre r. Ce faisant, nous généralisons des résultats classiques dus à Amice-Vélu et Vishik. Dans le Chapitre 4, nous exhibons des cas de non nullité pour les complétions unitaires universelles considérées par construction explicite de réseaux invariants. Cela donne de nouveaux cas de la conjecture proposée par Breuil et Schneider sur l'équivalence entre l'existence de normes invariantes sur certaines représentations localement algébriques de GL_d(F) et l'existence de certaines représentations de de Rham de Gal(\bar{Qp}/F).

Le théorème de Schneider-Lang est un critère classique de transcendance pour des nombres complexes. Il dit que des fonctions méromorphes d'ordre fini, vérifiant une équation différentielle polynomiale à coefficients dans un corps de nombres et algébriquement indépendantes ne peuvent prendre simultanément des valeurs dans ce corps de nombres qu'en un nombre fini de points. Dans cette thèse, nous démontrons des généralisations géométriques de ce critère, valables sur le corps des nombres complexes ou sur un corps p-adique. Ces résultats s'appuient sur des lemmes de Schwarz adaptés, que nous avons établis. En dimension 1, nous démontrons un théorème concernant des sous-schémas formels admettant une uniformisation par une courbe algébrique affine. En dimension supérieure, notre théorème s'applique à des sous-schémas formels admettant une uniformisation par un produit d'ouverts de la droite affine, sous l'hypothèse supplémentaire que l'ensemble des points étudiés est un produit cartésien. Les démonstrations de ces résultats reposent sur la méthode des pentes développée par J.-B. Bost et utilisent le langage de la géométrie d'Arakelov.