We present an implementation of a very recent approximation algorithm for scheduling jobs on a single machine with precedence constraints, minimising the total weighted completion time. We also evaluate the performance of this implementation. The algorithm was published by Shi Li in 2021 and is a (6+ε)-approximation algorithm for the multiprocessor problem P|prec|∑j wjCj. We have implemented a version which is a (2+ε)-approximation algorithm for the single processor problem 1|prec|∑j wjCj. This special case can easily be generalised to the multiprocessor case, as the two algorithms are based on the same LP relaxation of the problem. Unlike other approximation algorithms for this and similar problems, for example, those published by Hall, Schulz, Shmoys and Wein in 1997, and by Li in 2020, this algorithm has been developed with a focus on obtaining a good asymptotic run time guarantee, rather than obtaining the best possible guarantee on the quality of solutions. Li’s algorithm has run time O((n+κ) · polylog(n+κ) · log3 pmax · 1/ε2), where n is the number of jobs, κ is the number of precedence constraints and pmax is the largest of the processing times of the jobs. We also present a detailed explanation of the algorithm aimed at readers who do not necessarily have a background in scheduling and/or approximation algorithms, based on the paper by Li. Finally, we empirically evaluate how well (our implementation of) this algorithm performs in practice. The performance was measured on a set of 96 randomly generated instances, with the largest instance having 1024 jobs and 32 768 precedence constraints. We can find a solution for an instance with 512 jobs and 11 585 precedence constraints in 25 minutes. / Vi presenterar en praktisk implementation av en ny approximationsalgoritm för schemaläggning av jobb på en maskin med ordningsbivillkor, under minimering av den viktade summan av sluttider. Algoritmen, som publicerades av Shi Li år 2021, är en (6+ε)-approximationsalgoritm för multiprocessorproblemet P|prec|∑j wjCj. Vi har implementerat en version som är en (2+ε)-approximationsalgoritm för enprocessorproblemet 1|prec|∑j wjCj. Detta specialfall kan enkelt generaliseras till multiprocessorfallet, eftersom de två algoritmerna baseras på samma LP-relaxation av problemet. Till skillnad från andra approximationsalgoritmer för detta och liknande problem, exempelvis de från Hall, Schulz, Shmoys och Wein år 1997, och från Li år 2020, har denna algoritm utvecklats med fokus på att uppnå en bra garanti på asymptotisk körtid, istället för att försöka uppnå den bästa möjliga garantin på lösningarnas kvalité. Lis algoritm har körtid O((n+κ) · polylog(n+κ) · log3 pmax · 1/ε2), där n är antalet jobb, κ antalet ordningsbivillkor och pmax är den största körtiden bland jobben. En detaljerad beskrivning av algoritmen riktad till personer som inte nödvändigtvis har förkunskaper inom schemaläggning och/eller approximationsalgoritmer, baserad på artikeln, ges också. Slutligen utvärderar vi empiriskt hur väl (vår implementation av) denna algoritm presterar i praktiken. Implementationens egenskaper mättes på en uppsättning av 96 slumplässigt genererade instanser, där den största instansen har 1024 jobb och 32768 ordningsbivillkor. Med vår implementation kan vi hitta en lösning för en instans med 512 jobb och 11 585 precedencensbivillkor på 25 minuter.

Recently, Udwani defined a new class of set functions under monotonicity and subadditivity, called submodular order functions, which is a subfamily of submodular functions. Informally, the submodular order function admits a very limited form of submodularity which is defined over a specific permutation of the ground set. His work pointed out the intriguing connection between streaming submodular maximization and submodular order maximization. Inspired by a 0.25-approximation streaming algorithm for maximizing a monotone submodular function subject to a matroid constraint, Udwani gave a 0.25-approximation algorithm for submodular order functions maximization subject to a matroid constraint. Based on the above results, we would like to explore further in which cases it is feasible to generalize from streaming submodular maximization algorithms to submodular order maximization algorithms. As a more general constraint than matroid, p-matchoid is a collection of p matroids with each matroid defined on some subsets of the ground set. Related work gave a 1/4p-approximation streaming algorithm for monotone submodular functions maximization under a p-matchoid constraint. Inspired by the above algorithms and the intriguing connection, we used some techniques to try to generalize several streaming algorithms for submodular functions to the offline algorithms for submodular order functions, including interleaved partitions and incremental values. Assuming that the objective function f is subadditive and non-negative, we gave a 1/4p-approximation algorithm for monotone submodular order maximization to a p-matchoid constraint. In addition, we summarize the failures of other cases. / Nyligen definierade Udwani en ny klass av mängdfunktioner under monotonicitet och subadditivitet, som kallas submodulära ordningsfunktioner och som är en underfamilj av submodulära funktioner. Informellt sett medger den submodulära ordningsfunktionen en mycket begränsad form av submodularitet som är definierad över en specifik permutation av grundmängden. Hans arbete pekade på det spännande sambandet mellan strömmande submodulär maximering och submodulär ordermaximering. Inspirerad av en strömningsalgoritm med 0.25-approximation för maximering av en monoton submodulär funktion som är föremål för en matroidbegränsning, gav Udwani en algoritm med 0.25-approximation för maximering av submodulära ordningsfunktioner som är föremål för en matroidbegränsning. Baserat på ovanstående resultat skulle vi vilja utforska ytterligare i vilka fall det är möjligt att generalisera från algoritmer för strömning av submodulära maximeringsfunktioner till algoritmer för maximering av submodulära orderfunktioner. Som en mer allmän begränsning än matroid är p-matchoid en samling av p matroider där varje matroid definieras på vissa delmängder av grundmängden. Relaterade arbeten gav en strömmingsalgoritm med 1/4p-tillnärmning för monoton submodulär funktionsmaximering under en p-matchoid-begränsning. Inspirerade av ovanstående algoritmer och det spännande sambandet använde vi vissa tekniker för att försöka generalisera flera strömningsalgoritmer för submodulära funktioner till offline-algoritmer för submodulära ordningsfunktioner, inklusive interleaved partitions och inkrementella värden. Under förutsättning att målfunktionen f är subadditiv och icke-negativ gav vi en algoritm för 1/4p-tillnärmning för monoton submodulär ordermaximering till ett p-matchoid-begränsningsvillkor. Dessutom sammanfattar vi misslyckanden i andra fall.