Darbe pateiktos alternatyvios ARCH(2) stacionarumo sąlygos, analogiškos egzistuojančioms. Taip pat suformuluotos hipotetinės HARCH(2) proceso stacionarumo sąlygos. / There are given alternative conditions of stationarity of ARCH(2) process similar to the existing ones. Also hypothetical conditions of stationarity of HARCH(2) are stated.

We consider k maximum’s multiplication where factors are independently distributed random extremes of independent identically distributed random variables which are distributed uniformly over (0, 1). We find distribution function, limiting distribution function and estimate convergence rate.

Aggregated data appears in many areas such as econimics, sociology, geography, etc. This motivates an importance of studying the (dis)aggregation problem. One of the most important reasons why the contemporaneous aggregation become an object of research is the possibility of obtaining the long memory phenomena in processes. The aggregation provides an explanation of the long-memory effect in time series and a simulation method of such series as well. Accumulation of short-memory non-ergodic random processes can lead to the long memory ergodic process, that can be used for the forecasts of the macro and micro variables. We explore the aggregation scheme of AR(1) processes and nearest-neighbour random fields with infinite variance. We provide results on the existence of limit aggregated processes, and find conditions under which it has long memory properties in certain sense. For the random fields on Z^2, we introduce the notion of (an)isotropic long memory based on the behavior of partial sums. In L_2 case, the known aggregation of independent AR(1) processes leads to the Gaussian limit. While we describe a new model of aggregation based on independent triangular arrays. This scheme gives the limit aggregated process with finite variance which is not necessary Gaussian. We study a discrete time risk insurance model with stationary claims, modeled by the aggregated heavy-tailed process. We establish the asymptotic properties of the ruin probability and the dependence structure... [to full text] / Agreguoti duomenys naudojami daugelyje mokslo sričių tokių kaip ekonomika, sociologija, geografija ir kt. Tai motyvuoja tirti (de)agregavimo uždavinį. Viena iš pagrindinių priežasčių kodėl vienalaikis agregavimas tapo tyrimų objektu yra galimybė gauti ilgos atminties procesus. Agregavimas paaiškina ilgos atminties atsiradima procesuose ir yra vienas iš būdų tokius procesus generuoti. Agreguodami trumpos atminties neergodiškus atsitiktinius procesus, galime gauti ilgos atminties ergodišką procesą, kuris gali būti naudojamas mikro ir makro kintamųjų prognozavimui. Disertacijoje nagrinėjama AR(1) procesų bei artimiausio kaimyno atsitiktinių laukų, turinčių begalinę dispersiją, agregavimo schema, randamos sąlygos, kurioms esant ribinis agreguotas procesas egzistuoja, ir turi ilgąją atmintį tam tikra prasme. Atsitiktinių laukų atveju, įvedamas anizotropinės/izotropinės ilgos atminties apibrėžimas, kuris yra paremtas dalinių sumų elgesiu. Baigtinės dispersijos atveju yra gerai žinoma nepriklausomų AR(1) procesų schema, kuri rezultate duoda Gauso ribinį agreguotą procesą. Disertacijoje aprašoma trikampio masyvo agregavimo modelis, kuris baigtinės dispersijos atveju duoda nebūtinai Gauso ribinį agreguotą procesą. Taip pat disertacijoje nagrinėjama bankroto tikimybės asimptotika, kai žalos yra aprašomos sunkiauodegiu agreguotu procesu, nusakoma priklausomybė tarp žalų, apibūdinama žalų ilga atmintis.

The novelty and originality of the work consists in the fact that in order to obtain asymptotic expansions with optimal values of the remainder terms in the zone of large deviations, along with the cumulant method the classical method of characteristic functions has to be used. In addition, when solving the problems stated in the work, other than the well known results in the problems of limit theorems of the probability theory and mathematical statistics, we have to estimate constants. Technically it is frequently rather a complicated task. The results obtained in the work have good opportunities to be applied in probability theory, mathematical statistics, econometric, etc. That is illustrated in the last section of the work in which theorems of large deviations are proved in the summation of weighted random variables with weights as well as discounted limit theorems.

Nagrinėjama silpnai priklausomų atsitiktinių dydžių statistika. Šio magistrinio darbo tikslas, turimą sumą, suvesti į nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumą, kuri leistų tolimesniam tyrimui, pritaikyti žinomas teoremas, skaičiavimus bei rezultatus iš nepriklausomų atsitiktinių dydžių teorijos. / We analyze of weakly dependent random variables statistics. The objective of this master thesis is to deduce sum to independent random variables sum, which will be useful for applaying known theorems, calculations and results from the theory in independent random variables.

Šiame magistriniame darbe yra nagrinėjami nepriklausomi vienodai pasiskirstę atsitiktiniai dydžiai, turintys visus absoliutinius baigtinius momentus. Magistrinio darbo tikslas - atlikti konvergavimo greičio į normalųjį dėsnį įvertinimą. Darbą sudaro aštuoni skyriai. Įvade aprašoma problema ir visi tyrimo parametrai. Antrasis skyrius skirtas teoriniai analizei. Šiame skyriuje pateikiamos svarbiausios teorinės žinios ir metodai, kurie bus taikomi magistrinio darbo uždaviniams bei tikslams įgyvendinti. Trečiame skyriuje nagrinėjami kumuliantai Bernulio schemos atveju, o ketvirtame - analizuojamas Čebyšovo asimptotinis skleidinys ir pasinaudojus matematiniu paketu Maple, grafiniu būdu, tyrinėjamas jo konvergavimas. Aproksimacijos normaliuoju dėsniu tikslumui įvertinti naudojamas charakteristinių funkcijų metodas, todėl penktasis skyrius yra skiriamas suglodinimo nelygybių patikslinimui. Šeštame skyriuje, pasinaudojus turimais rezultatais, realizuojamas magistrinio darbo tikslas, o septintame - patikrinamas absoliutinės paklaidos įvertis Bernulio schemos atveju. Išvados ir rezultatai glaustai išdėstomi aštuntame skyriuje. / This master thesis considers independiant and identically distributed random variables, having absolute finite moments. The main task is to determine error estimate of the normal approximation. The work consists of eight chapters. In the introduction are considered problems and all subjects of research. The second chapter is designed for the theory analysis. Here are placed the main theoretical studies and methods that are used to solve the aims of the master thesis. The third chapter is intended to deal with cumulants in case of the Bernoulli’s distribution, the fourth one - is analyzing the Čebyšova’s asymptotic expansion and it convergence with the help of the mathematical package Maple. The method of characteristic’s functions is used to find the remainder term of the normal approximation, so the fifth chapter is designed to specify smoothing inequalities. Based on these results, the main task of the master thesis was obtained and specified in the sixth chapter. In the seventh one the error estimate in case of Bernoulli’s distribution, was examined with a mathematical package Maple. The short conclusions and results are placed in the eighth chapter.

Šioje santraukoje trumpai aprašoma V. Kurausko disertacija. Pristatomos abi disertacijos dalys, įvedami atsitiktinių sankirtų grafų ir digrafų modeliai, apibrėžiamos minorinės grafų klasės, suformuluojami sprendžiami uždaviniai bei pateikiami pagrindiniai rezultatai. / This paper summarizes (in Lithuanian) the doctoral dissertation "On two models of random graphs" (in English) by V. Kurauskas. We introduce the random graph models (random intersection graphs, graphs with disjoint excluded minors) studied in the thesis, overview the problems and state the main results.

The purpose of the dissertation is to prove universal tight bounds for deviation from the mean probability inequalities for functions of random variables. Universal bounds shows that they are uniform with respect to some class of distributions and quantity of variables and other parameters. The bounds are called tight, if we can construct a sequence of random variables, such that the upper bounds are achieved. Such inequalities are useful for example in insurance mathematics, for constructing effective algorithms. We extend the results for Lipschitz functions on general probability metric spaces. / Disertacijos darbo tikslas – įrodyti universalias tiksliąsias nelygybes atsitiktinių dydžių funkcijų nukrypimo nuo vidurkio tikimybėms. Universalios nelygybės pažymi, kad jos yra tolygios pagal tam tikras bendras skirstinių klases ir pagal atsitiktinių dydžių kiekį, kartais ir pagal kitus parametrus. Nelygybės vadinamos tiksliosiomis, jeigu pavyksta sukonstruoti atsitiktinių dydžių seką, kuriai nelygybės virsta lygybėmis. Tokios nelygybės labai naudingos, pavyzdžiui, draudimo matematikoje, konstruojant efektyvius algoritmus. Disertaciją sudaro šeši skyriai. Pirmasis skyrius yra įvadas, kuriame neformaliai pristatomas disertacijoje tiriamas objektas, pateikiamas bendras darbo aprašymas ir motyvacija. Detalesnė kitų autorių rezultatų apžvalga pateikiama atskirai kiekviename skyriuje. Antrasis skyrius skirtas atvejui, kai atsitiktiniai dydžiai yra aprėžti ir simetriniai. Trečiajame skyriuje įrodomos nelygybės atsitiktiniams dydžiams, tenkinantiems dispersijos aprėžtumo sąlygą. Ketvirtajame skyriuje nagrinėjamos sąlyginai aprėžtų atsitiktinių dydžių sumos. Penktajame skyriuje tiriamos atsitiktinių dydžių sekos, sudarančios martingalą arba supermartingalą, ir joms gaunamos universaliosios tikimybinės nelygybės ir sukonstruojama nehomogeninė Markovo grandinė, kuri yra martingalas, ir kuriai minėtos nelygybės virsta lygybėmis. Šeštajame skyriuje rezultatai yra apibendrinami atsitiktinių dydžių sekos Lipšico funkcijoms.

Disertacijos darbo tikslas – įrodyti universalias tiksliąsias nelygybes atsitiktinių dydžių funkcijų nukrypimo nuo vidurkio tikimybėms. Universalios nelygybės pažymi, kad jos yra tolygios pagal tam tikras bendras skirstinių klases ir pagal atsitiktinių dydžių kiekį, kartais ir pagal kitus parametrus. Nelygybės vadinamos tiksliosiomis, jeigu pavyksta sukonstruoti atsitiktinių dydžių seką, kuriai nelygybės virsta lygybėmis. Tokios nelygybės labai naudingos, pavyzdžiui, draudimo matematikoje, konstruojant efektyvius algoritmus. Disertaciją sudaro šeši skyriai. Pirmasis skyrius yra įvadas, kuriame neformaliai pristatomas disertacijoje tiriamas objektas, pateikiamas bendras darbo aprašymas ir motyvacija. Detalesnė kitų autorių rezultatų apžvalga pateikiama atskirai kiekviename skyriuje. Antrasis skyrius skirtas atvejui, kai atsitiktiniai dydžiai yra aprėžti ir simetriniai. Trečiajame skyriuje įrodomos nelygybės atsitiktiniams dydžiams, tenkinantiems dispersijos aprėžtumo sąlygą. Ketvirtajame skyriuje nagrinėjamos sąlyginai aprėžtų atsitiktinių dydžių sumos. Penktajame skyriuje tiriamos atsitiktinių dydžių sekos, sudarančios martingalą arba supermartingalą, ir joms gaunamos universaliosios tikimybinės nelygybės ir sukonstruojama nehomogeninė Markovo grandinė, kuri yra martingalas, ir kuriai minėtos nelygybės virsta lygybėmis. Šeštajame skyriuje rezultatai yra apibendrinami atsitiktinių dydžių sekos Lipšico funkcijoms. / The purpose of the dissertation is to prove universal tight bounds for deviation from the mean probability inequalities for functions of random variables. Universal bounds shows that they are uniform with respect to some class of distributions and quantity of variables and other parameters. The bounds are called tight, if we can construct a sequence of random variables, such that the upper bounds are achieved. Such inequalities are useful for example in insurance mathematics, for constructing effective algorithms. We extend the results for Lipschitz functions on general probability metric spaces.

Individuali veikla, kaip teisinė kategorija, Lietuvoje egzistuoja nuo 2003 m. sausio 1 d., kai įsigaliojo GPMĮ. Teisinės prielaidos užsiimti savarankiška veikla nesteigiant juridinio asmens fiksuojamos ir anksčiau – iki 2002 m. gruodžio 31 d. galiojo patentų sistema. Veikla su patentu buvo traktuojama per daug siaurai – tai lėmė savarankiškos veiklos teisinio reguliavimo pokyčius pereinant prie individualios veiklos instituto. Galima teigti, jog pagal dabartinį teisinį reguliavimą ši verslo organizavimo forma yra visapusiškai inkorporuota į verslo sistemą, ji sudaro smulkiausiąjį verslo segmentą, o jos subjektai yra pilnateisiai verslo atstovai, galintys pasinaudoti pakankamai plačiomis verslo galimybėmis. Individualios veiklos sąvokos įtvirtinimas įstatymuose bei bandymas formalizuotai pateikti atskirus tokios veiklos požymius sukūrė kritišką visuomenės požiūrį dėl sąvokos apibrėžtumo stokos bei galimybės kiekvieną iš požymių traktuoti itin plačiai. Netobula individualios veiklos definicijos formuluotė doktrinoje įvardijama kaip pagrindinė priežastis dėl nuolat augančių mokestinių ginčų skaičiaus, kuriuose ginčo dalykas – gautų pajamų pripažinimas iš individualios veiklos gautomis pajamomis. Magistro darbe darbo autorė problematikos užuomazgų ieško platesniame kontekste. Siekiant užsibrėžto tikslo – identifikuoti individualios veiklos ribas, darbe nuosekliai analizuojami visi individualios veiklos požymiai (tęstinumas, savarankiškumas, ekonominės naudos siekimas), remiantis... [toliau žr. visą tekstą] / Individual activity, as legal rank, has being prevailed in Lithuania since 1 January 2003 when the Law on Personal Income tax was inured. Legal premise to perform an independent activity without establishing a legal entity was fixed earlier, because till 31 December 2002 it was available under patent system. Activity with patent was treated too much constricted and this determined changes in juridical regulation of independent activity by passing to insitute of Individual Activity. It can be stated, that this form of business today is fully incorporated in the enterprise system and today it forms the smallest section of business, moreover it must be pointed up, that representatives of individual activity have wide possibilities to operate in business market. When the definition of individual activity appeared in the Law on Personal Income tax and the features of it were determined, the critical public opinion arose because of lack of specification and possibility to interpret each of the features very widely. The widespread opinion of imperfect definition is considered as the main reason of frequent litigations. In the master’s work author tried to look for the primary reasons of this problem in much wider way. Having an aim to find the framework of individual activity, author analysed all features of the definition of an individual activity (succession, independence, economic benefit) according to the practice of institutions which judge taxation related issues, judgments of... [to full text]