Les équations différentielles constituent un important outil pour l'étude des variétés algébriques et analytiques, sur les nombres complexes et $p$-adiques. Dans le cas $p$-adique, elles présentent des phénomènes qui n'apparaissent pas dans le cas complexe. En effet, le rayon de convergence des solutions d'une équation différentielle linéaire peut être fini, et cela même en l'absence des pôles.La connaissance de ce rayon permet d’obtenir de nombreuses informations intéressantes sur l’équation. Plus précisément, depuis les travaux de F. Baldassarri, on sait associer un rayon de convergence à tout point d’une courbe p-adique au sens de Berkovich munie d’une connexion. Des travaux récents de F. Baldassarri, K. Kedlaya, J. Poineauet A. Pulita ont révélé que ce rayon se comporte de manière très contrainte. Afin de pousser l'étude, on introduit un objet géométrique qui raffine ce rayon, le spectre au sens de Berekovich d'une équation différentielle.Dans ce mémoire de thèse, nous définissons le spectre d'un module différentiel et donnons ses premières propriétés. Nous calculons aussi les spectres de quelques classes de modules différentiels: modules différentiels d'une équations différentielles à coefficients constants, modules différentiels singuliers réguliers et enfin modules différentiels sur un corps des séries de Laurent. / Differential equations constitute an important tool for theinvestigation of algebraic and analytic varieties, over thecomplex and the $p$-adic numbers. In the $p$-adic setting, theypresent phenomena that do not appear in the complex case. Indeed, theradius of convergence of the solutions of a linear differential equation,even without presence of poles.The knowledge of that radius permits to obtain several interestinginformations about the equation. More precisely, since the works ofF. Baldassarri, we know how to associate a radius of convergece to allpoint of a p-adic curve in the sense of Berkovich endowed with aconnexion. Recent works of F. Baldassarri, K.S. Kedlaya, J. Poineau, etA. Pulita have proved that this radius behave in a very controlledway. The radius of convergence can be refined using subsidiary radii,that are known to have similar properties. In order to push forward the study, we introduce a geometric object that refine this radius, thespectrum in the sense of Berkovich of a differential equation.In the present thesis, we define the spectrum of a differentialequation and provide its first properties. We also compute the spectraof some classes of differential modules: differential modules ofa differential équation with constant coefficients, singular regulardifferential modules and at last differential modules over the field ofLaurent power series.

Cette thèse est dédiée à l'étude des propriétés de compacité de familles d'applications analytiques entre espaces analytiques définis sur un corps métrisé non-Archimédien $k$.Nous travaillons dans le contexte des espaces analytiques développés par Berkovich pour exploiter leur topologie modérée.Une de nos motivations est le désire d'introduire une notion naturelle d'hyperbolicité au sens de Kobayashi dans ce cadre.Nous démontrons d'abord un analogue au théorème de Montel pour des applications analytiques à valeurs dans un domaine borné de l'espace affine.Afin de ceci faire, nous paramétrisons l'espace des applications analytiques d'un polydisque ouvert dans un polydique fermé par le spectre analytique d'une $k$-algèbre de Banach adéquate.Le résultat découle alors de la compacité séquentielle de cet espace.Nos résultats mènent naturellement à une définition de famille normale, et nous introduisons ensuite deux ensembles de Fatou associés à un endomorphisme de l'espace projectif.Nous montrons que les composantes de Fatou se comportent comme dans le cas complexeet ne contiennent pas d'image non-triviale de la droite affine épointée.Ensuite, nous appliquons notre notion de normalité à l'étude de l'hyperbolicité dans le cadre non-Archimédien.Nous reprenons les travaux de W. Cherry et démontrons plusieurs caractérisations des variétés projectives lisses pour lesquelles la semi-distance de Cherry-Kobayashi sur l'ensemble des points rigides définit la topologie usuelle.Nous obtenons finalement une caractérisation des courbes algébriques lisses $X$ de caractéristique d'Euler négative en termes de la normalité de certaines familles d'applications analytiques à valeurs dans $X$. / This thesis is devoted to the study of compactness properties of spaces of analytic maps between analytic spaces defined over a non-Archimedean metrized field $k$. We work in the theory of analytic spaces as developed by Berkovich to fully exploit their tame topology. One of our motivations is the strive to introduce a natural notion of Kobayashi hyperbolicity in this setting.We first prove an analogue of Montel’s theorem for analytic maps taking values in a bounded domain of the affine space. In order to do so, we parametrize the space of analytic maps from an open polydisk to a closed one by the analytic spectrum of a suitable Banach $k$-algebra. Our result then follows from the sequential compactness of this space.Our results naturally lead to a definition of normal families, and we subsequently introduce two notions of Fatou sets attached to an endomorphism of the projective space. We show that Fatou components behave like in the complex case and cannot contain non trivial images of the punctured affine line.Thereupon, we apply our normality notion to the study of hyperbolicity in the non-Archimedean setting. We pursue the work of W. Cherry and prove various characterizations of smooth projective varieties whose Cherry-Kobayashi semi distance on the set of rigid points defines the classical topology. We finally obtain a characterization of smooth algebraic curves $X$ of negative Euler characteristic in terms of the normality of certain families of analytic maps taking values in $X$.

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Soit $k$ un corps ultramétrique complet, $L$ une extension galoisienne finie modérément ramifiée de $k$ et $X$ un espace $k$-analytique. Nous montrons que $X$ est isomorphe à un $k$-polydisque fermé (resp. une $k$-dentelle) si et seulement si $X_L$ est isomorphe à un $L$-polydisque fermé (resp. une $L$-dentelle) sur lequel l'action de $\Gal(L/k)$ est raisonnable. Nous montrons que $X$ est isomorphe à un $k$-bidisque fermé si et seulement si $X_L$ est isomorphe à un $L$-bidisque fermé. Dans le cadre de l'algèbre graduée: on calcule le premier ensemble pointé de cohomologie du groupe linéaire et des automorphismes du plan. / Let $k$ be a complete non-Archimedean field, $L$ a finite tamely ramified galoisian extension of $k$ and $X$ a $k$-analytic space. We show that $X$ is isomorphic to a closed $k$-polydisc (resp. a $k$-lace) if and only if $X_L$ is isomorphic to a closed $L$-polydisc (resp. a $L$-lace) on which the action of $\Gal(L/k)$ is reasonable. We show that $X$ is isomorphic to a closed $k$-bidisc if and only if $X_L$ is isomorphic to a closed $k$-bidisc. In the formalism of graduated algebra : we calculate the first pointed cohomology set of the general linear group and of the automorphisms of the plane.

Dans cette thèse nous étudions la filtration par le poids sur la cohomologie de De Rham d’une courbe hyperelliptique C définie sur une extension finie de Qp et à réduction semi-stable. L’objectif est de fournir des algorithmes calculant explicitement, étant donné une équation de C, les bases des crans de la filtration par le poids ainsi que la matrice de l’accouplement de Poincaré. Dans le premier chapitre, nous mettons en place des outils relatifs à la cohomologie de De Rham algébrique de la courbe hyperelliptique. Nous construisons une base adaptée de la cohomologie de De Rham de C, nous établissons une formule explicite pour le cup-produit et la trace, et enfin nous proposons un algorithme calculant la matrice de l’accouplement de Poincaré. Le deuxième chapitre est consacré à la description explicite de la flèche induite par l’inclusion du tube d’un point double sur les espaces de cohomologie. C’est l’ingrédient essentiel pour pouvoir décrire la filtration par le poids sur la cohomologie de De Rham de C. À cette fin nous nous plaçons dans le cadre de la géométrie analytique à la Berkovich et nous introduisons puis développons les notions de point résiduellement singulier standard et de forme apparente de l’équation de la courbe. Dans le troisième et dernier chapitre, nous faisons la synthèse des résultats obtenus et achevons la description de la filtration par le poids. Enfin, nous donnons les algorithmes calculant les bases de Fil0 et Fil1. Pour les algorithmes obtenus dans la thèse nous proposons une implémentation en sage, ainsi que des exemples concrets sur des courbes de genre un et deux. / In this thesis we study the weight filtration on the De Rham cohomology of an hyperelliptic curve C defined over a finite extension of Qp and with semi-stable reduction. The goal is to provide algorithms computing explicitly, given an equation of C, the basis of the weight filtration’s spaces as well as the matrix of the Poincaré pairing. In the first chapter we introduce tools related to the algebraic De Rham cohomology of the hyperelliptic curve. We build a suitable basis of the De Rham cohomology of C, we establish explicit formulae for the cup-product and the trace, and we give an algorithm computing the matrix of the Poincaré pairing. The second chapter is dedicated to the explicit description of the morphism induced by the inclusion of the tube of a double point on the cohomology spaces. It is the main ingredient that allows us to describe the weight filtration on the De Rham cohomology of C. To achieve that, we use the framework of the Berkovitch analytical geometry. We introduce and then we develop the notion of standard residually singular points and the notion of apparent form of the curve’s equation. In the third and last chapter, we synthesize all the results and we complete the description of the weight filtration. Finally, we give the algorithms that compute the basis of Fil0 and Fil1. For each of our algorithm, we propose a sage implementation and concrete examples on genus one and two curves.

Dans cette thèse, nous allons dans un premier temps proposer une définition d'espaces analytiques sur un anneau d'entiers de corps de nombres muni de la norme induite par le maximum des normes de ses différents plongements complexes. Cette définition s'appuie sur la théorie des espaces analytiques sur un corps non archimédien introduite par V. Berkovich.Nous montrerons ensuite que la définition que nous proposons donne lieu à une catégorie qui satisfait des propriétés essentielles comme une description " simple " des ensembles morphismes entre espaces analytiques, l'existence de produits fibrés et d'un foncteur d'analytification induit par une propriété universelle.Dans une troisième partie, nous étudierons divers propriétés des morphismes finis entre espaces analytiques et en déduirons la connexité locale par arcs des espaces analytiques sur un anneau d'entiers de corps de nombres muni de la norme décrite ci-dessus.Enfin, nous définirons une notion de dimension pour les espaces de Berkovich sur un anneau d'entiers de corps de nombres et étudierons plus en détail le foncteur d'analytification en montrant par exemple que le morphisme d'analytification est fidèlement plat et que ce foncteur respecte la dimension. / In the first part of this thesis, we give a definition of analytic spaces over a ring of integers of a number field provided with the norm induced by the maximum of the norms of thel complex embeddings. This definition uses V. Berkovich’s theory of analytic spaces over a non-archimedean field. Then we show that this definition leads to a category which satisfies some basic properties as a “simple” description of sets of morphisms between analytic spaces, the existence of fiber products and analytification functor defines by a universal property. In a third part, we study some properties of finite morphisms between analytic spaces and deduce the local arcwise connectedness of analytic spaces over a ring of integers of a number field provided with the norm described above. Finally, we define a notion of dimension for Berkovich spaces over a ring of integers of number field and study in more detail the analytification functor, in particular, that the analytification morphism is faithfully flat and that this functor respects dimension.

Nanoindentation has become a widely used technique to measure the mechanical properties of materials. Due to its capability to deform materials in micro- and nano-scale, nanoindentation has found more applications in characterizing the deformation behavior and determining the mechanical properties of thin films and coatings. This research deals with the characterization of samples received from Center for Advanced Microstructures and Devices (CAMD) and Integran Technologies Inc., Toronto, Canada and the objective of this investigation was to utilize the experimental data obtained from nanoindentation to determine the deformation behavior, mechanical properties of thin films on substrates and bulk materials, and the effect of geometrically different indenters (Berkovich, cubecorner, and conical). X-ray diffraction (XRD), transmission electron microscope (TEM), scanning electron microscopy (SEM), and atomic force microscopy (AFM) analysis were performed on these materials to determine the crystal orientation, grain size of the material, and also to measure any substrate effects like pile-up or sin-in respectively. The results indicate that indentation size effect (ISE) strongly depends on shape of the indenter and less sensitive to penetration depth where as the hardness measurements depends on shape of indenter and depth of penetration. There is a negligible strain rate dependency of hardness at deeper depths and a significant increase in the hardness due to the decrease in grain size and results also indicate that there is no significant substrate effect on thin films for 10% and 20% of film thicknesses. Nanocrystalline material could not validate a dislocation based mechanisms deformation for indentation made by cubecorner and conical indenters in depths less than 1mm.

The divisor theories on finite graphs and metric graphs were introduced systematically as analogues to the divisor theory on algebraic curves, and all these theories are deeply connected to each other via tropical geometry and non-archimedean geometry. In particular, rational functions, divisors and linear systems on algebraic curves can be specialized to those on finite graphs and metric graphs. Important results and interesting problems, including a graph-theoretic Riemann-Roch theorem, tropical proofs of conventional Brill-Noether theorem and Gieseker-Petri theorem, limit linear series on metrized complexes, and relations among moduli spaces of algebraic curves, non-archimedean analytic curves, and metric graphs are discovered or under intense investigations. The content in this thesis is divided into three main subjects, all of which are based on my research and are essentially related to the divisor theory of linear systems on metric graphs and its application to tropical geometry and non-archimedean geometry. Chapter 1 gives an overview of the background and a general introduction of the main results. Chapter 2 is on the theory of rank-determining sets, which are subsets of a metric graph that can be used for the computation of the rank function. A general criterion is provided for rank-determining sets and certain specific examples of finite rank-determining sets are presented. Chapter 3 is on the subject of a tropical convexity theory on linear systems on metric graphs. In particular, the notion of general reduced divisors is introduced as the main tool used to study this tropical convexity theory. Chapter 4 is on the subject of smoothing of limit linear series of rank one on re_ned metrized complexes. A general criterion for smoothable limit linear series of rank 1 is presented and the relations between limit linear series of rank 1 and possible harmonic morphisms to genus 0 metrized complexes are studied.

Utilisant le point de vue introduit par V.G. Berkovich en géométrie analytique sur un corps non archimédien k, nous montrons dans cette thèse qu'il existe une théorie du potentiel naturelle sur toute courbe k-analytique lisse, tout à fait similaire à la théorie classique sur les surfaces de Riemann (courbes analytiques complexes). La motivation initiale vient des travaux de R. Rumely sur les applications arithmétiques d'une telle théorie. La théorie non archimédienne du potentiel à un aspect fortement combinatoire que l'on exploite initialement pour définir les fonctions harmoniques et établir leurs propriétés fondamentales. Nous introduisons ensuite une notion de fonction lisse ainsi qu'un opérateur linéaire, formellement analogue au laplacien complexe dd^c, que l'on étudie via une théorie des distributions. Le dernier chapitre présente une généralisation de la théorie d'Arakelov en dimension un, fondée sur la théorie non archimédienne du potentiel. Nous l'utilisons pour établir un théorème d'équidistribution des suites de points de petite hauteur, ainsi que pour donner une nouvelle démonstration d'un théorème de Rumely sur les capacités arithmétiques.

Dans cette thèse on étudie certains phénomènes d'interactions entre caractéristique positive et caractéristique nulle. Dans un premier temps on s'occupe du problème de relèvement locale d'actions de groupes. On y montre des conditions nécessaires pour l'existence de relèvement de certains actions du groupe Z/pZ x Z/pZ. Pour une action d'un groupe fini quelconque, on y étudie les arbres de Hurwitz, en montrant que chaque arbre de Hurwitz admet un plongement dans le disque unitaire fermé de Berkovich et que ses données de Hurwitz peuvent être décrites de façon analytique. Dans une deuxième partie nous construisons un analogue de la représentation de Weil à coefficients dans un anneau intègre, et nous montrons que cela satisfait les mêmes propriétés que dans le cas de coefficients complexes / In this thesis, we study the interplay between positive and zero characteristic. In a first instance, we deal with the local lifting problem of lifting actions of curves. We show necessary conditions for the existence of liftings of some actions of Z/pZ x Z/pZ. Then, for an action of a general finite group, we study the associated Hurwitz tree, showing that every Hurwitz tree has a canonical metric embedding in the Berkovich closed unit disc, and that the Hurwitz data can be described analytically.In the last chapter, we define an analog of the Weil representation with coefficients in an integral domain, showing that such representation satisfies the same properties than in the case with complex coefficients