Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Le but principal de cet ouvrage consiste à présenter la notion de capacité et ses propriétés fondamentales en théorie du potentiel. Pour y arriver, nous définirons d'abord le potentiel et l'énergie engendrés par un noyau quelconque, et nous en démontrerons certaines propriétés. En particulier, nous nous intéresserons aux noyaux de M. Riesz pour pouvoir définir la notion de a-potentiel et de a-énergie, ce qui nous amène à la définition de la a-capacité et celle de la capacité logarithmique. Parallèlement à cela nous ferons l'étude de la capacité dans les espaces Cv et ceux de Besov. Finalement, comme une application, nous démontrerons l'inégalité de type fort pour la capacité dans les espaces de Besov.

Le problème de Zolotarev pour des ensembles discrets apparaît pour décrire le taux de convergence de la méthode ADI, dans l'approximation de certaines fonctions matricielles ou encore pour quantifier le taux de décroissance des valeurs singulières de certaines matrices structurées. De plus, la réduction de modèle constitue un enjeu important en théorie du contrôle linéaire, et on peut prédire la qualité de l'approximation d'un système dynamique linéaire continu stationnaire de grande dimension donné grâce à la résolution approchée d'une équation de Sylvester. Après avoir prouvé l'existence d'un minimiseur pour le troisième problème de Zolotarev pour des ensembles discrets, on détermine dans cette thèse le comportement asymptotique faible de ce problème sous certaines hypothèses de régularité. Pour mener cette étude, on considère un problème de minimisation d'énergie sous contraintes pour des mesures signées en théorie du potentiel logarithmique. On discute également la précision de nos résultats asymptotiques pour des ensembles discrets généraux du plan complexe, et une formule intégrale explicite est établie dans le cas particulier de deux sous-ensembles discrets de l'axe réel symétriques par rapport à l'origine. L'impact de nos résultats théoriques pour l'analyse du taux de convergence de la méthode ADI appliquée pour la résolution approchée d'une équation de Lyapounov est estimé à l'aide de plusieurs exemples numériques après avoir exposé l'algorithme nous permettant d'obtenir les paramètres utilisés.

Utilisant le point de vue introduit par V.G. Berkovich en géométrie analytique sur un corps non archimédien k, nous montrons dans cette thèse qu'il existe une théorie du potentiel naturelle sur toute courbe k-analytique lisse, tout à fait similaire à la théorie classique sur les surfaces de Riemann (courbes analytiques complexes). La motivation initiale vient des travaux de R. Rumely sur les applications arithmétiques d'une telle théorie. La théorie non archimédienne du potentiel à un aspect fortement combinatoire que l'on exploite initialement pour définir les fonctions harmoniques et établir leurs propriétés fondamentales. Nous introduisons ensuite une notion de fonction lisse ainsi qu'un opérateur linéaire, formellement analogue au laplacien complexe dd^c, que l'on étudie via une théorie des distributions. Le dernier chapitre présente une généralisation de la théorie d'Arakelov en dimension un, fondée sur la théorie non archimédienne du potentiel. Nous l'utilisons pour établir un théorème d'équidistribution des suites de points de petite hauteur, ainsi que pour donner une nouvelle démonstration d'un théorème de Rumely sur les capacités arithmétiques.

Soit fi un sous-ensemble ouvert de Rd (d > 2) et soit x E fi. Une mesure de Jensen pour x par rapport à fi est une mesure borélienne de probabilité /i, supportée par un sous-ensemble compact de fi, telle que J ud/i < u(x) pour chaque fonction surharmonique u définie sur fi. Notons par Jx(fi) la famille des mesures de Jensen pour x par rapport à fi et par Jx(fi) l'ensemble des éléments extrémaux de Jx(tt). Le principal problème relié aux mesures de Jensen n'est pas de les exhiber comme il est parfois le cas avec certains objets mathématiques. Il est plutôt question de les contrôler, c'est-à-dire de les exprimer en termes d'objets mieux connus. C'est ce dont il est question dans cette thèse. Dans les Chapitres 1 à 3, on introduit les différents concepts que le lecteur devrait connaître pour bien comprendre la suite. On y aborde les principaux résultats de la théorie du potentiel classique, les mesures de Jensen ainsi que la théorie fine du potentiel et les mesures finement harmoniques construites à partir de la topologie fine relative à l'ensemble de fonctions surharmoniques. Le résultat principal de cette thèse est la caractérisation complète de ext(Jr(fi)) en termes de mesures finement harmoniques et aussi en termes de limites de mesures harmoniques définies sur des suites décroissantes de domaines. Ceci représente le contenu des Théorèmes 0.1 et 0.2 démontrés aux Chapitres 4 à 8. Au Chapitre 9, on présente un résultat sur la majoration des mesures de Jensen par les mesures harmoniques. Par le fait même, on affaiblit l'hypothèse sur la borne inférieure locale dans un résultat de B. Cole et T. Ransford (le résultat principal de Jensen measures and harmonie measures, J. Reine Angew. Math. 541 (2001), 29-53). Au chapitre 10, on présente une application à l'analyse complexe dans laquelle on améliore un résultat de Khabibullin sur la question de savoir, étant donné une suite (an) de nombres complexes et une fonction continue M : C -> R+ , s'il existe une fonction entière / ^ 0 qui s'annule en chaque an et dont le module est inférieur à M. Finalement, au chapitre 10, il est question d'une troisième caractérisation des mesures de Jensen extrémales en termes d'approximation par les fonctions (J-surharmoniques.

Ce travail s'inscrit dans le cadre général de la théorie des espaces de fonctions holomorphes du disque unité. Depuis son apparution au début du 20e siècle cette théorie a retenu l 'attention des analystes. Grâce à leurs travaux, les propriétés et les connexions de ces espaces avec des sujets variés en analyse complexe et en théorie des opérateurs sont maintenant largement connues. Malgré tous les progrès faits, il reste encore des problèmes ouverts par rapport à ces espaces qui sont faciles à énoncer mais extrêmement difficiles à résoudre. La première partie de cette thèse porte sur les moyennes intégrales des dérivées logarithmiques des produits de Blaschke. Plus précisément , nous allons établir de nouvelles estimations pour les moyennes de Hardy et de Bergman pondérées du rapport B(ℓ) / B d 'un produit de Blaschke B qui divise sa ℓ > ou = 1, lorsque les zéros de B satisfont une condition de séparation de type hyperbolique. Ensuite, nous allons montrer que nos estimations entraînent et généralisent les résultats classiques connus sur ces moyennes. Notre approche est basée sur une technique qui a été récemment dévéloppée par Javad Mashreghi , mon directeur de thèse, et Emmanuel Fricain. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous allons aborder la question de la caractérisation des zéros de Pespace de Dirichlet classique V. En fait, cette question est extrêmement difficile et reste toujours ouverte. Cependant, en procédant par une nouvelle approche, nous allons obtenir des conditions suffisantes pour qu'une suite soit une suite de zéros pour V. De plus, nous allons donner une caractérisation de certains sous-ensembles du cercle unité, appelés les enselnbles de Carleson , en termes de leurs sous-suites convergentes. Cette caractérisation donne lieu à quelques résultats intéressants sur les zéros de V. Dans un premier temps, nous allons obtenir une caractérisation des sous-ensembles E du cercle unité qui ont la propriété suivante: toute suite de points dont les arguments sont dans E et qui est une suite de Blaschke, est nécessairement une suite de zéros pour V. Dans un deuxième temps, nous allons obtenir un nouveau critère pour les ensembles de Blaschke de V.

La thèse se compose de quatre articles. Dans l'article I, " Hardy spaces for the Laplacian with lower order perturbations ", on considère les espaces de Hardy des fonctions harmoniques pour le Laplacien avec une perturbation de type gardient ou de Schrödinger, sous des conditions de Kato. On y montre le théorème de représentation pour les espaces de Hardy sur les domaines bornés au bord lisse dans l'espace euclidien. L'article II, " On hardy spaces ", traite des caractérisations des espaces de Hardy et des espaces de Hardy conditionnels du Laplacien et du Laplacien fractionnaire à l'aide des identités de Hardy-Stein. Dans l'article III, " Boundary behavior of alpha-harmonic functions on the complement of the sphere and hyperplane ", on étudie les fonctions harmoniques pour le Laplacien fractionnaire sur l'espace euclidien privé d'une sphère ou d'un hyperplan. On obtient les théorèmes de représentation pour les espaces de Hardy ainsi que les théorèmes de Fatou. On établit également la formule explicite pour le noyau de Martin sur l'espace euclidien privé d'une sphère et pour la fonction de Green, le noyau de Martin et la mesure harmonique sur l'espace euclidien privé d'un hyperplan. L'article IV, " Martin représentation, Relative Fatou Theorem and Hardy spaces for fractional Laplacian with a gardient perturbation ", concerne la théorie du potentiel pour le Laplacien fractionnaire avec une perturbation de type gardient. On y montre l'existence de noyau de Martin pour les domaines bornés au bord lisse ainsi que la représentation de Martin pour les fonctions harmoniques. Le théorème de Fatou relatif et le théorème de représentation pour les espaces de Hardy y sont également établis.

Les travaux de cette thèse portent sur l’étude de la métastabilité du modèle de Blume-Capel. Il s’agit d’un modèle introduit en 1966 dans lequel évoluent au cours du temps des spins à trois états +1, -1, 0, représentant respectivement une particulechargée positivement, négativement, et l’absence de particule, sur un réseau. La thèse est structurée en deux parties. La première partie contient un travail en collaboration avec C. Landim qui est paru dans la revue Journal of Statistical Physics. L’article traite du comportement métastable du modèle de Blume-Capel lorsque la température tend vers 0, dans le cas où la taille du domaine dans lequel vit le processus est fixée durant l’évolution. La seconde partie est consacrée à l’extension des résultats du premier papier au cas où la taille de la boite croît exponentiellement vite vers +1 lorsque la température décroît vers 0. Pour ce modèle, sur une très grande échelle de temps, trois états métastables subsistent, à savoir les états où le tore est respectivement remplis par des spins négatifs, positifs, ou "nuls". Il est démontré qu’avec probabilité 1, partant de la configuration n’ayant que des spins négatifs, le processus visite la configuration n’ayant que des spins "nuls" avant de visiter la configuration n’ayant que des spins positifs.Les résultats de la thèse consistent notamment à caractériser les configurations critiques et à fournir des estimations précises des temps d’atteinte des états stables. / This thesis is about the study of the metastability of the Blume-Capel model. This model, introduced in 1966, is a nearest-neighbor spin system where the single spin variable takes three possible values +1, -1, 0. One can interpret it as a system ofparticles with spins. The value 0 of the spin corresponds to the absence of particle, whereas the values ± correspond to the presence of a particle with the respective spin. The thesis is divided in two parts. The first part is an article published in Journal of Statistical Physics with C. Landim. We prove the metastable behavior of the Blume-Capel model when the temperature decreases to 0 on a fixed size torus.The second part is dedicated to the generalization of these results to the case of a torus which size increases to +1 as the temperature decreases to 0. For this model, three metastable states -1, 0,+1 remain on a very large time scale, where -1, 0,+1 stand for the configuration where the torus is respectively filled with -1’s, 0’s and +1’s. We prove that starting from -1, the process visits 0 before reaching +1 with very high probability. We also caracterize the critical configurations and provide sharp estimates of the transition times.

Ces vingt dernières années les constructeurs d'automobiles ont réduit progressivement le bruit émis par les véhicules par une action portant sur les sources d'origine mécanique (réduction du bruit du moteur, meilleure conception des transmissions, amélioration des silencieux...). Il s'avère maintenant que le bruit de contact pneumatique/chaussée est la source principale des nuisances sonores à plus de 50 Km/h. La génération du bruit de contact a comme sources de nombreux phénomènes impliquant des mécanismes compliqués. L'un des principaux phénomènes étant les vibrations du pneumatique dues à la rugosité de la chaussée. Pour modéliser les vibrations du pneumatique, il faut connaître d'une part le comportement vibratoire du pneumatique et d'autre part les forces de contact. Le problème de contact entre un pneumatique et une chaussée est un contact dynamique tridimensionnel qui est difficile à modéliser dans toute sa généralité. Les modèles de contact avec la chaussée utilisés font appel à une modélisation simple en 2D et les modèles de contact existant en 3D sont trop lourds pour le calcul. Dans ce mémoire on apporte une contribution à l'étude des forces de contact engendrées par l'influence de la rugosité de la chaussée et ceci afin d'avoir une bonne approximation des sources de vibrations du pneumatique et prédire le bruit de roulement. On a développé un modèle semi analytique 3D qu'on a validé expérimentalement pour un contact ponctuel élastique et viscoélastique avec différentes formes de pointes de contact. La validation expérimentale et numérique du modèle pour un contact multipoints élastique a été abordée. On a terminé par une application de la méthode pour résoudre un problème de contact sur des profils de chaussées modèles.

L'étude des marches aléatoires fait apparaître des connexions entre leurs propriétés algébriques, géométriques ou encore combinatoires et leurs propriétés stochastiques. Si les marches aléatoires sur les groupes - ou sur des espaces homogènes - fournissent beaucoup d'exemples, il serait appréciable d'obtenir de tels résultats de rigidité sur des structures algébriques plus faibles telles celles de semi-groupoide ou de groupoide. Dans cette thèse il est considéré un exemple de semi-groupoide et un exemple de groupoide, tous les deux sont définis a partir de sous-graphes contraints du graphe de Cayley d'un groupe - le premier graphe est dirige alors que le second ne l'est pas. Pour ce premier exemple, on précise un résultat de Campanino et Petritis (ils ont montre que la marche aléatoire simple était transiente pour cet exemple de graphe dirigé) en déterminant la frontière de Martin associée à cette marche et établissant sa trivialité Dans le second exemple apparaissant dans ce manuscrit, on considère des pavages quasi-périodiques de l'espace euclidien obtenus à l'aide de la méthode de coupe et projection. Nous considérons la marche aléatoire simple le long des arêtes des polytopes constituant le pavage, et nous répondons a la question du type de celle-ci, c'est-à-dire nous déterminons si elle est récurrente ou transiente. Nous montrons ce résultat en établissant des inégalités isopérimétriques Cette stratégie permet d'obtenir des estimées de la vitesse de décroissance du noyau de la chaleur, ce que n'aurait pas permis l'utilisation d'un critère de type Nash-Williams.