Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés à la métastabilité de certains systèmes dynamiques stochastiques. Plus précisément, nous avons étudié des équations différentielles ou des équations aux dérivées partielles perturbées par un bruit blanc additif dans l'asymptotique du bruit faible. Nous avons donné l'expression et le calcul de l'espérance de temps des transitions métastables pour certains types de modèles (formule dite d'Eyring-Kramers). Dans un premier temps, nous avons généralisé des résultats connus pour des diffusions d'Itô dont la dérive est le gradient d'un potentiel. Nous donnons une équivalence entre la géométrie du paysage décrit par le potentiel et des circuits électriques qui nous permet de donner des expressions simples pour le calcul des temps de transition entre des minima du potentiel. Nous utilisons la théorie du potentiel et les capacités dans le calcul de ces temps. Le principal résultat de cette thèse concerne des équations aux dérivées partielles stochastiques scalaires, paraboliques, semi-linéaires et perturbées par un bruit blanc espace-temps sur un intervalle borné réel comme l'équation d'Allen-Cahn. Ce modèle constitue un analogue infini-dimensionnel aux diffusions en dimension finie. Nous avons considéré deux types de conditions au bord, Dirichlet et Neumann, et discutons le cas des conditions périodiques. Sous certaines hypothèses, nous donnons l'expression, analogue à la dimension finie, des temps transitions. La preuve utilise une discrétisation par différence finie de l'équation et un couplage nous permettant d'appliquer les estimations pour la dimension finie. Il a fallu notamment contrôler uniformément ces estimations en fonction de la dimension pour passer à la limite et récupérer le système infini-dimensionnel.

Les travaux de cette thèse portent sur l’étude de la métastabilité du modèle de Blume-Capel. Il s’agit d’un modèle introduit en 1966 dans lequel évoluent au cours du temps des spins à trois états +1, -1, 0, représentant respectivement une particulechargée positivement, négativement, et l’absence de particule, sur un réseau. La thèse est structurée en deux parties. La première partie contient un travail en collaboration avec C. Landim qui est paru dans la revue Journal of Statistical Physics. L’article traite du comportement métastable du modèle de Blume-Capel lorsque la température tend vers 0, dans le cas où la taille du domaine dans lequel vit le processus est fixée durant l’évolution. La seconde partie est consacrée à l’extension des résultats du premier papier au cas où la taille de la boite croît exponentiellement vite vers +1 lorsque la température décroît vers 0. Pour ce modèle, sur une très grande échelle de temps, trois états métastables subsistent, à savoir les états où le tore est respectivement remplis par des spins négatifs, positifs, ou "nuls". Il est démontré qu’avec probabilité 1, partant de la configuration n’ayant que des spins négatifs, le processus visite la configuration n’ayant que des spins "nuls" avant de visiter la configuration n’ayant que des spins positifs.Les résultats de la thèse consistent notamment à caractériser les configurations critiques et à fournir des estimations précises des temps d’atteinte des états stables. / This thesis is about the study of the metastability of the Blume-Capel model. This model, introduced in 1966, is a nearest-neighbor spin system where the single spin variable takes three possible values +1, -1, 0. One can interpret it as a system ofparticles with spins. The value 0 of the spin corresponds to the absence of particle, whereas the values ± correspond to the presence of a particle with the respective spin. The thesis is divided in two parts. The first part is an article published in Journal of Statistical Physics with C. Landim. We prove the metastable behavior of the Blume-Capel model when the temperature decreases to 0 on a fixed size torus.The second part is dedicated to the generalization of these results to the case of a torus which size increases to +1 as the temperature decreases to 0. For this model, three metastable states -1, 0,+1 remain on a very large time scale, where -1, 0,+1 stand for the configuration where the torus is respectively filled with -1’s, 0’s and +1’s. We prove that starting from -1, the process visits 0 before reaching +1 with very high probability. We also caracterize the critical configurations and provide sharp estimates of the transition times.

Dans le cadre de la mise au point d'un moteur à détonation pulsée aérobie, nous nous intéressons au système d'initiation répétitive de la détonation. Cette initiation consiste en la création de la détonation à partir d'un allumage basse énergie par Transition Déflagration Détonation (TDD) et à sa transmission à la chambre de combustion de plus grande dimension.<br />Dans une première partie, nous avons cherché à réduire le temps et la longueur de TDD (LTDD et tTDD), dans un tube de faible dimension (d=26mm) par l'introduction d'obstacles répétitifs. Nous avons étudié la TDD de mélanges réactifs à base d'hydrogène ou d'hydrocarbures possédant la même taille de cellule de détonation (λ~10mm). Nous avons montré que le paramètre contrôlant tTDD est la vitesse fondamentale de flamme, et que celui contrôlant LTDD est λ (LTDD/λ~30 ±25% en première approximation). <br />Dans une seconde partie, nous avons cherché à réduire le critère classique dc=13λ de transmission de la détonation depuis un tube (d=26mm) jusque dans la chambre de combustion (Dch=200mm). Nous avons étudié la diffraction d'une onde de détonation autonome et stationnaire au travers soit (i) d'un cône avec un obstacle central (de demi angle au sommet α de 5 à 55°), soit (ii) d'un saut de section fini (D/d=1,5 ou 2), ou soit (iii) de deux réflexions normales successives dans des tubes de diamètres croissants (D puis Dch, D/d=2 – 3 ou 3,85). Pour (i) et (ii), le critère de transmission diminue avec respectivement α et D/d, jusqu'à dc=4,4λ pour D/d=1,5 et dc=2,2λ pour α=5°. Nous montrons qu'avec la géométrie (iii) et le passage des deux réflexions (soit Dch/d=7,69), le critère de transmission devient dc=2,2λ quelque soit D, soit un gain de plus de 80% par rapport à la transmission à l'espace libre.