In this thesis we study the central limit theorem (CLT) for nonuniformly hyperbolic dynamical systems. We examine cases in which polynomial decay of correlations leads to a CLT with a non-standard scaling factor of √ n ln n. We also formulate an explicit expression for the the diffusion constant σ in situations where a return time function on the system is a certain class of supermartingale. We then demonstrate applications by exhibiting the CLT for the return time function in four classes of dynamical billiards, including one previously unproven case, the skewed stadium, as well as for the linked twist map. Finally, we introduce a new class of billiards which we conjecture are ergodic, and we provide numerical evidence to support that claim.

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With the development of the society, people are more willing to focus on their leisure activities. A growing number of new equipment are created nowadays. For example, automatic mahjong machine in China. Inspired by the automatic mahjong machine, we propose to add some devices on the billiard table to achieve sorting balls automatically. It includes recognition system, ball-separating system, and sorting system. We use Autodesk Inventor 2012 to model the billiards table. Some complex calculations and nonlinear analysis are completed by Matlab. Through our method, we can achieve the purpose of sorting balls automatically. / Med utvecklingen av samhället, människor är mer villiga att fokusera på sina fritidsaktiviteter. Ett växande antal av ny utrustning skapas nuförtiden. Till exempel, automatisk mahjong maskin i Kina. Inspirerad av den automatiska mahjong maskin, föreslår vi att lägga till några enheter på biljardbordet för att uppnå sorterings bollar automatiskt. Den innehåller igenkänningssystem, boll-separerar systemet, och sorteringssystem. Vi använder Autodesk Inventor 2012 för att modellera tabellen biljard. Vissa komplexa beräkningar och olinjär analys är klara med Matlab. Genom vår metod kan vi uppnå syftet att sortera bollar automatiskt.

L'objectif de cette thèse est d'étudier les comportements typiques d'une famille de transformations du cylindre discret Z×T (où T=R/Z est le cercle de longueur un). Appliquez une rotation à chaque cercle du cylindre puis coupez tous les cercles en deux et déplacez une moitié de chaque cercle d'un niveau vers le bas et une moitié d'un niveau vers le haut. Nous utilisons pour cela des résultats existants en théorie des échanges d'intervalles et en théorie des surfaces de translation compactes. Tout d'abord, nous avons prouvé que pour presque toute suite bi-infinie de rotations, le système obtenu est conservatif (c'est à dire il n'y a pas d'ensemble errant de mesure strictement positive). Ensuite, nous avons prouvé que pour un ensemble Gδ-dense de paramètres, le système est en même temps conservatif, minimal et ergodique. Ce système a un rapport heuristique avec une famille de billards planaires, ainsi qu'une traduction dans des flots sur des surfaces de translation de genre infini. Cela est expliqué dans la thèse. / The main objective of this thesis is the study of the typical dynamical behaviour of a family of transformations on the discrete cylinder Z×T (where T=R/Z is the length one circle). Apply a rotation to every single circle of the cylinder then cut every circle in two and move half of each circle one level down and the other half one level up. To achieve this goal, we use existing results about interval exchange transformations and about compact translation surfaces. First, we proved that for almost every bi-infinite sequence of rotations, the obtained system is conservative (i.e. there is not wandering set of positive measure). Next, we proved that for a Gδ-dense set of parameters, the described system is ergodic, minimal and conservative. This system is heuristically related to a family of planar billiards, it has also a translation into flows on infinite genus translation surfaces.

Investigaremos algumas propriedades dinâmicas e de transporte para um conjunto de partículas clássicas não interagentes em diversos sistemas físicos. Os sistemas descritos aqui, em sua maioria, apresentam estrutura mista no espaço de fase no sentido de que curvas invariantes do tipo spanning, mares de caos e ilhas periódicas estão presentes. A descrição de cada sistema será feita utilizando mapeamentos discretos não lineares. Detalharemos a forma de obter os mapeamentos assim como discutiremos algumas de suas propriedades dinâmicas. Expoentes de Lyapunov serão utilizados para caracterizar a região de caos nos sistemas. Hipóteses de escala são usadas para provar que certos observáveis, por exemplo a energia média ao longo de mares de caos, são invariantes de escala. Consideraremos também que quando uma partícula, ou de forma equivalente um conjunto delas atinge uma determinada altura no espaço de fases, ela pode escapar. Ao estudar o escape de partículas, vemos que o histograma do número de partículas que atingem uma certa altura (ou energia) h no espaço de fases em uma dada iterada n, ao qual observamos ser invariante de escala, cresce rapidamente até atingir um máximo e então tende à zero para n grande. Quando a altura h varia proporcionalmente a posição da primeira curva invariante spanning, podemos confirmar uma invariância de escala do histograma de frequências. O mesmo ocorre para a probabilidade de sobrevivência da partícula à dinâmica. Neste contexto, abordaremos os seguintes problemas: (1) Um guia de ondas senoidalmente corrugado; (2) Uma família de mapas Hamiltonianos bidimensionais que recupera diversos modelos; (3) Partículas confinadas em uma caixa com potenciais infinitos nas bordas e contendo em seu interior um poço de potencial dependente periodicamente do tempo; (4) Analisaremos um bilhar ovóide com dependência temporal introduzida através de giro, onde para certas condições observamos que este não apresenta um aparente crescimento ilimitado de energia (aceleração de Fermi), desta forma sendo um possível contra-exemplo da conjectura LRA. Esta tese é um resumo de 8 artigos que foram publicados em revistas internacionais. / We investigate some dynamical and transport properties for a set of non-interacting classical particles. The systems here described, for the most part, present mixed structure in the phase space in the sense that invariant spanning curves, chaotic seas and periodic islands are present. The dynamics of each model is described by using non-linear mappings. We show all the details to construct the mappings and discuss some of their dynamical properties including fixed points stability among others. Lyapunov exponents will be obtained to characterize the chaotic dynamics observed in the phase space. Moreover some scaling hypotheses are used to prove that certain observables, including the average energy, are scaling invariant. We consider also that when a particle or an ensemble of them reach a certain portion of the phase space, they can escape. When studying the escape, we see that the histogram for the number of particles that reach certain height (or energy) h in the phase space for the iteration n, for which we observe to be scaling invariant, grows quickly until reaching a maximum and then goes towards zero for large enough n. When changing the height h proportionally to the position of the first invariant spanning curve, we can confirm the scaling invariance. The same happens for the survival probability for a particle in the chaotic dynamics. In this way, we will discuss the following problems: (1) A corrugated waveguide; (2) A family of two-dimensional Hamiltonian mappings which can reproduce different scaling exponents; (3) Particles confined to bounce in the interior of a time-dependent potential well; (4) We will analyse a rotating oval billiard, where for certain conditions we observed that this system does not present the unbounded energy growth (Fermi acceleration), in this way it is a possible counterexample of the LRA conjecture. This thesis is as summary of eight papers already published.

Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / O estudo de propriedades caÃticas de alguns sistemas complexos vem se desenvolvendo amplamente a partir do avanÃo tecnolÃgico proporcionado pelos computadores. Dentre esses sistemas, podemos ressaltar os bilhares, que devido à sua simplicidade e enorme aplicabilidade vem se destacando dentre os demais modelos. Neste trabalho, estudamos as propriedades de alguns bilhares sujeitos à aÃÃo de um campo externo. Aqui, o campo externo à representado por meio de um campo de velocidade que à obtido a partir do escoamento de um fluido. Este fluido exerce uma forÃa de arrasto sobre a partı́cula que encontra-se confinada pela fronteira que define o bilhar. Ao contrÃrio dos outros trabalhos realizados com bilhares, propomos uma abordagem totalmente numÃrica levandoem consideraÃÃo vÃrios fatores que poderiam influenciar na dinÃmica da partı́cula, como por exemplo, a forÃa elÃstica que a partı́cula sofre ao colidir com a fronteira, o regime de escoamento do fluido e o efeito do arraste na trajetÃria da partı́cula, causado por uma forÃa que à proporcinal a uma potÃncia da velocidade na forma F ∝ v γ . A partir desta abordagem, foi possı́vel observar um decaimento na energia da partı́cula, que se deu de forma linear (γ = 1.0), polinomial do segundo grau (γ = 1.5) e exponencial (γ = 2.0). AlÃm disso, quando analisamos o espaÃo de fase dos sistemas (bilhares), o efeito do parÃmetro dissipativo contribuiu para o surgimento de um mar de caos em alguns casos, e ainda, para o surgimento de um atrator, cujo efeito à oriundo tambÃm da aÃÃo do campo externo. / The study of the chaotic properties of some complex systems has been largely developed from the technological advancement provided by computers. Among these systems, we can highlight the billiards, which, due to their simplicity and enormous applicability, they have stood out among the other models. In this work, we study the properties of some billiards, when subject to the action of an external field. Here the external field is represented by a velocity field, wich is obtained from the flow of a fluid. Such fluid exerts a drag force on the particle bounded by the boundary defining the billiard. In contrast to the other works done with billiards, we propose a totally numerical approach, taking into account several factors that could exercise influence on the particle dynamics, such as the elastic force that the particle suffers when it collides with the boundary, the outflow regime of the fluid, and the drag effect on the trajectory of the particle, caused by a force that is proportional to a potential of the velocity in the form F ∝ v γ . From this aproach we could observe a decay on the energy of the particle, which occurred in a linear form (γ= 1.0), polynomial of the second degree (γ = 1.5) and exponential (γ = 2.0). Moreover, as we analyzed the phase space of the systems (billiards), the effect of the dissipation parameter contributed to the emerging of a sea of chaos in some cases, and also to the appearance of an attractor, whose effect also originates from the action of the external field.

Investigaremos algumas propriedades dinâmicas e de transporte para um conjunto de partículas clássicas não interagentes em diversos sistemas físicos. Os sistemas descritos aqui, em sua maioria, apresentam estrutura mista no espaço de fase no sentido de que curvas invariantes do tipo spanning, mares de caos e ilhas periódicas estão presentes. A descrição de cada sistema será feita utilizando mapeamentos discretos não lineares. Detalharemos a forma de obter os mapeamentos assim como discutiremos algumas de suas propriedades dinâmicas. Expoentes de Lyapunov serão utilizados para caracterizar a região de caos nos sistemas. Hipóteses de escala são usadas para provar que certos observáveis, por exemplo a energia média ao longo de mares de caos, são invariantes de escala. Consideraremos também que quando uma partícula, ou de forma equivalente um conjunto delas atinge uma determinada altura no espaço de fases, ela pode escapar. Ao estudar o escape de partículas, vemos que o histograma do número de partículas que atingem uma certa altura (ou energia) h no espaço de fases em uma dada iterada n, ao qual observamos ser invariante de escala, cresce rapidamente até atingir um máximo e então tende à zero para n grande. Quando a altura h varia proporcionalmente a posição da primeira curva invariante spanning, podemos confirmar uma invariância de escala do histograma de frequências. O mesmo ocorre para a probabilidade de sobrevivência da partícula à dinâmica. Neste contexto, abordaremos os seguintes problemas: (1) Um guia de ondas senoidalmente corrugado; (2) Uma família de mapas Hamiltonianos bidimensionais que recupera diversos modelos; (3) Partículas confinadas em uma caixa com potenciais infinitos nas bordas e contendo em seu interior um poço de potencial dependente periodicamente do tempo; (4) Analisaremos um bilhar ovóide com dependência temporal introduzida através de giro, onde para certas condições observamos que este não apresenta um aparente crescimento ilimitado de energia (aceleração de Fermi), desta forma sendo um possível contra-exemplo da conjectura LRA. Esta tese é um resumo de 8 artigos que foram publicados em revistas internacionais. / We investigate some dynamical and transport properties for a set of non-interacting classical particles. The systems here described, for the most part, present mixed structure in the phase space in the sense that invariant spanning curves, chaotic seas and periodic islands are present. The dynamics of each model is described by using non-linear mappings. We show all the details to construct the mappings and discuss some of their dynamical properties including fixed points stability among others. Lyapunov exponents will be obtained to characterize the chaotic dynamics observed in the phase space. Moreover some scaling hypotheses are used to prove that certain observables, including the average energy, are scaling invariant. We consider also that when a particle or an ensemble of them reach a certain portion of the phase space, they can escape. When studying the escape, we see that the histogram for the number of particles that reach certain height (or energy) h in the phase space for the iteration n, for which we observe to be scaling invariant, grows quickly until reaching a maximum and then goes towards zero for large enough n. When changing the height h proportionally to the position of the first invariant spanning curve, we can confirm the scaling invariance. The same happens for the survival probability for a particle in the chaotic dynamics. In this way, we will discuss the following problems: (1) A corrugated waveguide; (2) A family of two-dimensional Hamiltonian mappings which can reproduce different scaling exponents; (3) Particles confined to bounce in the interior of a time-dependent potential well; (4) We will analyse a rotating oval billiard, where for certain conditions we observed that this system does not present the unbounded energy growth (Fermi acceleration), in this way it is a possible counterexample of the LRA conjecture. This thesis is as summary of eight papers already published.

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Neste trabalho, apresentamos resultados para um sistema dinâmico denominado como bilhar, que descreve a dinâmica de uma partícula de massa m, livre da influência de qualquer potencial externo, no interior de uma região delimitada por uma fronteira que pode ser estática ou móvel. A partícula é lançada de uma determinada posição no interior do bilhar, de modo a sofrer colisões elásticas ou inelásticas com a fronteira do modelo. Após a ocorrência de uma colisão, a partícula sofre uma reflexão especular com a fronteira, de modo que seu ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. Para o caso em que as colisões são elásticas e a fronteira estática, o módulo da velocidade da partícula permanece constante ao longo de todas as colisões, entretanto, se uma perturbação temporal for introduzida na fronteira do sistema, é permitida a variação no módulo da velocidade da partícula durante o impacto. Nesta tese, vamos estudar a dinâmica de um ensemble de partículas não-interagentes em um bilhar ovóide sob duas configurações diferentes. Inicialmente, a fronteira será assumida como estática e a partir de um mapeamento bidimensional que descreve a dinâmica do sistema, demonstramos que para esse tipo de bilhar o espaço de fases é do tipo misto, onde pode ser observado a coexistência de um mar de caos, ilhas de estabilidade e um conjunto de curvas invariantes do tipo spanning. Ainda para esse caso, introduzimos orifícios ao longo da fronteira do bilhar para estudar o comportamento do escape das partículas, via análise da probabilidade de sobrevivência P(n) que um conjunto de partículas no interior do sistema exibe, conforme o número de colisões n é aumentado. Através de simulações numéricas, verificamos que P(n) decai em média de forma exponencial com um expoente de decaimento dado aproximadamente pela razão entre a extensão do orifício h e o comprimento total da fronteira do bilhar. Ao longo deste estudo, observamos que devido a natureza mista do espaço de fases, existem regiões preferenciais para a visitação de partículas, o que pode fornecer pistas para a verificação da maximização ou minimização do escape no sistema. Posterior a isso, introduzimos uma perturbação temporal na fronteira do bilhar ovóide, e descrevemos todas as equações necessárias para a obtenção do mapeamento quadrimensional não-linear, que reproduzirá o movimento de uma partícula no interior do modelo com fronteiras oscilantes. O objetivo dessa análise, é a verificação da difusão ilimitada de energia por parte das partículas, conhecido como Aceleração de Fermi. Além de discutir todo o mecanismo envolvido nesse fenômeno, também analisamos formas possíveis para provocar a supressão desse crescimento ilimitado de energia exibido pelas partículas. Por último, propomos uma conexão entre os resultados referentes ao bilhar ovóide dependente do tempo com conceitos ligados à Termodinâmica. / In this work, we present some results for a dynamical system denoted as a billiard that describes the dynamics of a free particle of mass m inside of a region delimited by a boundary that might be static or time-dependent. The particle is launched from a region inside of the billiard and can experiences either elastic or inelastic collisions with the boundary. After a collision, the particle exhibits a specular reflection with the border, in such way that the incidence angle is equal to the reflected angle. When elastic collisions are taken into account the speed of the particle remains constant along all collisions. When a time-dependence is introduced on the boundary, then the particle may gain or lose energy upon collision. In this thesis, we will study the dynamics of an ensemble of non-interacting particles inside an oval billiard, under two different configurations. Initially, the boundary is considered as static and via a two-dimensional and nonlinear mapping, the dynamics of each particle is investigated. We show that for the static case the phase space is of mixing type with the coexistence of a chaotic sea, stability islands and a set of invariant spanning curves over the phase space. We then introduce holes along the boundary of the billiard allowing the particles to escape through them. We analyze the survivor probability P(n) that an ensemble of particles exhibits inside of the billiard as a function of n. Our results show that P(n) decays in average exponentially with a decay exponent given approximately by the size of the hole h over the total length of the boundary. Along this study, we observed that, due to the mixing structure of the phase space, there are preferential regions for the visitation of particles, which might be useful for the verification of the maximization or minimizations of the escape in the system. After that, we introduced a time-dependence on the boundary of the oval billiard and describe all the equations to obtained the nonlinear four-dimensional mapping used to reproduce the movement of particle inside of the billiard. The main goal of this analysis is the verification of the unlimited diffusion of energy from the particles, known as Fermi Acceleration. We discuss all the mechanism involved in such a phenomenon and discuss possibilities to promote the suppression of the unlimited energy growth in the billiard. Finally, we discuss a possible connection of the time-dependent oval billiard with concepts linked with Thermodynamics.

The structure of wavefunctions of quantum systems strongly depends on the underlying classical dynamics. In this text a selection of articles on eigenfunctions in systems with fully chaotic dynamics and systems with a mixed phase space is summarized. Of particular interest are statistical properties like amplitude distribution and spatial autocorrelation function and the implication of eigenfunction structures on transport properties. For systems with a mixed phase space the separation into regular and chaotic states does not always hold away from the semiclassical limit, such that chaotic states may completely penetrate into the region of the regular island. The consequences of this flooding are discussed and universal aspects highlighted.