Die Arbeit betrachtet in einer Längsschnittstudie die Entwicklungsverläufe von 23 Schülerinnen und Schülern beginnend mit den letzten Kindergartenwochen bis zum Einstieg in die fünften Klasse (2012–2016). Mittels des Mixed Methods Ansatzes (Kuckartz: Mixed Methods. Springer 2014) wird durch den Einsatz des OTZ (Osnabrücker Test zur Zahlbegriffsentwicklung) und HRT 1-4 (Heidelberger Rechentest) die Kenntniserweiterung der Kinder zum Zahlbegriff in den Blick genommen. Qualitative Interviews zum Beginn des 5. Schuljahres greifen darauf aufbauend zentrale Aspekte der Zahlbegriffsentwicklung auf. So besteht das Ziel der Fallstudienanalyse vornehmlich darin, Zusammenhänge zwischen (basalen) Aspekten der Zahlbegriffsentwicklung und den zum Beginn der Sekundarstufe I vorhandenen Bruchzahlvorstellungen in individuellen Entwicklungsverläufen nachzuzeichnen.:1 Einleitung 5 2 Entwicklung mathematischen Verständnisses 9 2.1 Intuitive models - interne Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Conceptual-Change-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Grundvorstellungen mathematischer Inhalte . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3 Zahlbegriffsentwicklung 19 3.1 Komponenten der vorschulischen Zahlbegriffsentwicklung . . . . . . . . 20 3.1.1 Zahlaspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.1.2 Logische Grundoperationen nach Piaget . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1.3 Zählen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.1.4 Simultanerfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.5 Teil-Ganzes-Beziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2 Zahlbegriffsentwicklungsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.1 Zahl-Größen-Verknüpfungsmodell von Krajewski . . . . . . . . . 40 3.2.2 Kompetenzentwicklungsmodell nach Fritz & Ricken . . . . . . . 44 3.2.3 Triple-Code-Modell von Dehaene . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2.4 Entwicklungsmodell von Zahlkonzept und Rechenleistung nach Dornheim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2.5 Vier-Stufen-Modell der Entwicklung zahlenverarbeitender Hirnfunktionen nach von Aster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4 Zahlbereichserweiterung 51 4.1 Grundgedanken zur Zahlbereichserweiterung . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.2 Rationale Zahlen - die Konstruktion von Q+ aus N . . . . . . . . . . . . . 52 4.3 Ganze Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5 Bruchzahlbegriffsentwicklung 57 5.1 Brucharten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.2 Bruchzahlaspekte und Grundvorstellungen zum Bruchzahlbegriff . . . . 58 5.3 Umbrüche zu den bisherigen Zahlvorstellungen aus der Grundschule . . 63 5.4 Typische Schüler*innenfehler im Bereich der Bruchzahlvorstellungen . . 65 6 Brüche im Lehrplan Sachsen 69 7 Forschungsstand 73 7.1 Studien zum Bruchzahlverständnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7.2 Zahlbegriff und Bruchzahlbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 7.3 Vorannahmen zu möglichen Zusammenhängen . . . . . . . . . . . . . . 77 7.4 Schlussfolgerungen für diese Studie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 8 Eigene Längsschnittstudie 81 8.1 Fragestellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 8.2 Methode - Datenerhebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 8.2.1 Untersuchungsdesign . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 8.2.2 Stichprobe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 8.2.3 Die Messinstrumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 8.2.4 Kritik an den Messinstrumenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 8.3 Datenaufbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 8.3.1 OTZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 8.3.2 HRT 1-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 8.3.3 Bruchzahltest begleitet durch ein Interview . . . . . . . . . . . . . 112 8.3.4 Zusammenführung der Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 8.4 Datenauswertung - Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 8.4.1 Ergebnisse OTZ - Fähigkeiten zum Zahlbegriff . . . . . . . . . . . 126 8.4.2 Ergebnisse HRT 1-4 - mathematische Basisfähigkeiten . . . . . . . 130 8.4.3 Ergebnisse im schriftlichen Teil des Tests zu Bruchzahlen . . . . . 139 8.4.4 Ergebnisse im begleiteten Interview zu Bruchzahlen . . . . . . . 141 8.4.5 Beschreibung der Zusammenhänge zwischen den einzelnen Messergebnissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 8.5 Forschungsmethodische Grenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 9 Zusammenfassung und Ausblick 209 9.1 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 9.2 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Literatur 223

This paper combines data from two different international research studies that used problem posing in analyzing elementary teacher candidates’ understanding of rational numbers. In 2007, a mathematics educator from the United States and a mathematician from Northern Ireland collaborated to investigate their respective elementary teacher candidates’ understanding of addition and division of fractions. A year later, the same US mathematics educator collaborated with a mathematics educator from South Africa on a similar research project that focused solely on the addition of fractions. The results of both studies show that elementary teacher candidates from the three different continents share similar misconceptions regarding the addition of fractions. The misconceptions that emerged were analyzed and used in designing teaching strategies intended to improve elementary teacher candidates’ understanding of rational numbers. The research also suggests that problem posing may improve their understanding of addition of fractions.

This paper combines data from two different international research studies that used problem posing in analyzing elementary teacher candidates’ understanding of rational numbers. In 2007, a mathematics educator from the United States and a mathematician from Northern Ireland collaborated to investigate their respective elementary teacher candidates’ understanding of addition and division of fractions. A year later, the same US mathematics educator collaborated with a mathematics educator from South Africa on a similar research project that focused solely on the addition of fractions. The results of both studies show that elementary teacher candidates from the three different continents share similar misconceptions regarding the addition of fractions. The misconceptions that emerged were analyzed and used in designing teaching strategies intended to improve elementary teacher candidates’ understanding of rational numbers. The research also suggests that problem posing may improve their understanding of addition of fractions.