L’objet de cette thèse est l’étude des propriétés qualitatives des solutions de quelques équations de la mécanique de fluides incompressibles. Elle est divisée en trois chapitres. Le premier chapitre est consacré à la question d’existence locale est d’unité pour le système d’Euler 2D incompressible. On montre un théorème d’existence locale et d’unité dans un espace large de tourbillons initiaux. Ceci généralise la partie existence locale du travail de Bernicot Keraani [2] sur le sujet. Une lois de compositions dans ces espaces (avec les homéomorphisme préservant la mesure de Lebesgue) est donnée et utilisée pour la preuve du théorème principal de ce chapitre. Le deuxième chapitre est consacré à la décomposition en profils pour le système de Navier-Stokes fractionnaire en 3D dans la boule maximale d’existence globale. On montre un théorème de structures qui mettent en évidence le rôle du groupe des invariances de ce système et on l’utilise pour établir des propriétés qualitatives des solutions globales. Enfin, dans le dernier chapitre, on utilise une décomposition en profil plus générale pour établir des résultats sur le comportement asymptotiques des solutions du Navier-Stokes fractionnaire en 3D. On montre que la norme de Sobolev critique des solutions globales converge vers 0 et que celle des solutions singulières explose en s’approchant du temps d’explosion fini. / The purpose of this thesis is to study the qualitative properties of the solutions of some systems of incompressible fluids mechanics. This thesis is divided into three chapters, the first chapter is dedicated to the issue of local existence and uniqueness of a solution to the 2D Euler incompressible system. We prove a theorem of local existence and uniqueness in a large space of initial vorticities. This extends the results (the local existence part more precisely) by Bernicot and Keraani [2] on the subject. Some laws of composition in these spaces (with Lebesgue measure preserving homeomorphisms) are given and used to prove the principal theorem of this chapter. The second chapter is concerned with the profile decomposition for the 3D fractional Navier-Stokes system. We prove some structure theorem which highlights the role of the invariances group of this system and we use it to establish some qualitative properties of the global solutions of fractional Navier-Stokes. In the last chapter, we study the asymptotic behavior of the solutions of fractional 3D Navier-Stokes. We prove that the critical Sobolev norm of the solution vanishes at infinity if it is global and blows up if it develops singularities at the finite time. A suitable profile decomposition is the main tool for our analysis throughout this chapter.

Cette thèse est consacrée à l'étude de la dynamique des gaz à faible nombre de Mach. Le modèle étudié provient des équations de Navier-Stokes complètes lorsque le nombre de Mach tend vers zéro. On cherche à montrer que le problème de Cauchy correspondant est bien posé. Les cas visqueux et non visqueux sont tous deux considérés. Les coefficients physiques peuvent dépendre de la densité (ou de la température) inconnue. En articulier, nous prenons en compte les effets de onductivité thermique et on autorise de grandes variations d'entropie. Rappelons qu'en absence de diffusion thermique, la limite à faible nombre de Mach implique la condition d'incompressibilité. Dans le cadre étudié ici, en introduisant un nouveau champ de vitesses à divergence nulle, le système devient un couplage non linéaire entre une équation quasi-parabolique pour la densité et un système de type Navier-Stokes (ou Euler) pour la vitesse et la pression. \\\\ Pour le cas avec viscosité, on établit le résultat classique, à savoir qu'il existe une solution forte existant localement (resp. globalement) en temps pour des données initiales grandes (resp. petites). On considère ici le problème de Cauchy avec données initiales dans des espaces de Besov critiques. Lorsque les coefficients physiques du système vérifient une relation spéciale, le système se simplifie considérablement, et on peut alors établir qu'il existe des solutions faibles globales en temps à énergie finie. Par un argument d'unicité fort-faible, on en déduit que les solutions fortes à énergie finie existent pour tous les temps positifs en dimension deux. \\\\ Pour le cas sans viscosité, on montre d'abord le caractère bien posé dans des espaces de Besov limites, qui s'injectent dans l'espace des fonctions lipschitziennes. Des critères de prolongement et des estimations du temps de vie sont établis. Si l'on suppose la donnée initiale à énergie finie dans l'espace de Besov limite à exposant de Lebesgue infini, on a également un résultat d'existence locale. En dimension deux, le temps de vie tend vers l'infini quand la densité tend vers une constante positive. \\\\ Des estimations de produits et de commutateurs, ainsi que des estimations a priori pour les équations paraboliques et pour le système de Stokes (ou d'Euler) à coefficients variables, se trouvent dans l'annexe.Ces estimations reposent sur la théorie de Littlewood-Paley et le calcul paradifférentiel.