Nous considérons dans cette thèse le problème de Cauchy pour des systèmes d'EDP quasilinéaires, du premier ordre. Dans le cas initialement elliptique, c'est-à-dire un spectre non-réel pour le symbole principal du système à t=0, nous prouvons un résultat d'instabilité au sens d'Hadamard. La preuve est basée sur la construction d'une famille de solutions présentant une croissance exponentielle en temps et fréquence. Cette famille invalide la régularité Hölder du flot, partant d'espaces de Gevrey vers L². Nous prouvons un résultat analogue pour différents cas de transition de l'hyperbolique vers l'elliptique, avec une restriction possible sur l'indice Gevrey pour lequel l'instabilité est observée. Dans un second temps, nous considérons le cas faiblement hyperbolique et semilinéaire. Grâce à des estimations d'énergie dans les espaces de Gevrey et à la construction d'un symétriseur adapté, nous prouvons le caractère localement bien-posé pour un tel système. Pour ce faire, nous utilisons et démontrons aussi un résultat d'action d'opérateurs pseudo-différentiels dont le symbole possède une régularité Gevrey dans la variable d'espace. / We consider the Cauchy problem for first-order, quasilinear systems of PDEs. In the initially elliptic case, that is when the principal symbol of the system has nonreal spectrum at time t=0, we prove an instability result in the sense of Hadamard. The proof is based on the construction of a family of exact solutions which exhib an exponential growth, both in time and frequency. That family leads to a defect of Hölder regularity of the flow, starting from evrey spaces to L² space. We prove analogous results for some cases of transition from hyperbolicity to ellipticity, with a potential restriction on the Gevrey index for which we may observe the instability. In a second time, we consider weakly hyperbolic systems. Thanks to an energy estimate in Gevrey spaces and the construction of a suitable symetriser, we prove local well-posedness for such a system. In doing so we use and prove a result on actions of pseudo-differential operators whose symbols have Gevrey regularity in the spatial variable

Cette thèse est consacrée à l'analyse mathématique de l'équation d'Euler incompressible à surface libre. On se concentre sur la propriété dispersive et sur la théorie de Cauchy à faible régularité. Une grande part de la thèse est consacrée à l'étude de l'équation des ondes de gravité-capillarité. On établit des critères d'explosion et la persistance de régularité dans les espaces de Sobolev. En démontrant les estimations de Strichartz pour les solutions à faible régularité, on obtient des théories de Cauchy pour les données initiales dont la vitesse peut être non-lipschitzienne. Dans une autre part de la thèse, on étudie la propriété dispersive des équations des ondes de surface. Plus précisément, on s'intéresse aux estimations de Strichartz. On démontre que, pour les solutions raisonnablement régulières, les équations des ondes de surface non linéaires obéissent aux mêmes estimations de Strichartz comme dans le cas des équations linéarisées. / This dissertation is devoted to the mathematical analysis of the water waves systems. We focus on the dispersive property and the Cauchy problem for rough initial data. One of the main objects of study is the gravity-capillary water waves system. We establish blow-up criteria and the persistence of Sobolev regularity. By proving Strichartz estimates for rough solutions, we obtain Cauchy theories for non-Lipschitz initial velocity. In another part of the dissertation, we study the dispersive property of the fully nonlinear water waves systems. More specifically, we are interested in Strichartz estimates. We prove for sufficiently smooth solutions that the nonlinear systems obey the same Strichartz estimates as their linearizations do.

Cette thèse est consacrée à l’étude théorique et numérique de plusieurs équations aux dérivées partielles non linéaires qui apparaissent dans la modélisation de la séparation de phase et des micro-systèmes électro-mécaniques (MSEM). Dans la première partie, nous étudions des modèles d’ordre élevé en séparation de phase pour lesquels nous obtenons le caractère bien posé et la dissipativité, ainsi que l’existence de l’attracteur global et, dans certains cas, des simulations numériques. De manière plus précise, nous considérons dans cette première partie des modèles de type Allen-Cahn et Cahn-Hilliard d’ordre élevé avec un potentiel régulier et des modèles de type Allen-Cahn d’ordre élevé avec un potentiel logarithmique. En outre, nous étudions des modèles anisotropes d’ordre élevé et des généralisations d’ordre élevé de l’équation de Cahn-Hilliard avec des applications en biologie, traitement d’images, etc. Nous étudions également la relaxation hyperbolique d’équations de Cahn-Hilliard anisotropes d’ordre élevé. Dans la seconde partie, nous proposons des schémas semi-discrets semi-implicites et implicites et totalement discrétisés afin de résoudre l’équation aux dérivées partielles non linéaire décrivant à la fois les effets élastiques et électrostatiques de condensateurs MSEM. Nous faisons une analyse théorique de ces schémas et de la convergence sous certaines conditions. De plus, plusieurs simulations numériques illustrent et appuient les résultats théoriques. / This thesis is devoted to the theoretical and numerical study of several nonlinear partial differential equations, which occur in the mathematical modeling of phase separation and micro-electromechanical system (MEMS). In the first part, we study higher-order phase separation models for which we obtain well-posedness and dissipativity results, together with the existence of global attractors and, in certain cases, numerical simulations. More precisely, we consider in this first part higher-order Allen-Cahn and Cahn-Hilliard equations with a regular potential and higher-order Allen-Cahn equation with a logarithmic potential. Moreover, we study higher-order anisotropic models and higher-order generalized Cahn-Hilliard equations, which have applications in biology, image processing, etc. We also consider the hyperbolic relaxation of higher-order anisotropic Cahn-Hilliard equations. In the second part, we develop semi-implicit and implicit semi-discrete, as well as fully discrete, schemes for solving the nonlinear partial differential equation, which describes both the elastic and electrostatic effects in an idealized MEMS capacitor. We analyze theoretically the stability of these schemes and the convergence under certain assumptions. Furthermore, several numerical simulations illustrate and support the theoretical results.

Cette thèse est consacrée à l'étude de la dynamique des gaz à faible nombre de Mach. Le modèle étudié provient des équations de Navier-Stokes complètes lorsque le nombre de Mach tend vers zéro. On cherche à montrer que le problème de Cauchy correspondant est bien posé. Les cas visqueux et non visqueux sont tous deux considérés. Les coefficients physiques peuvent dépendre de la densité (ou de la température) inconnue. En articulier, nous prenons en compte les effets de onductivité thermique et on autorise de grandes variations d'entropie. Rappelons qu'en absence de diffusion thermique, la limite à faible nombre de Mach implique la condition d'incompressibilité. Dans le cadre étudié ici, en introduisant un nouveau champ de vitesses à divergence nulle, le système devient un couplage non linéaire entre une équation quasi-parabolique pour la densité et un système de type Navier-Stokes (ou Euler) pour la vitesse et la pression. \\\\ Pour le cas avec viscosité, on établit le résultat classique, à savoir qu'il existe une solution forte existant localement (resp. globalement) en temps pour des données initiales grandes (resp. petites). On considère ici le problème de Cauchy avec données initiales dans des espaces de Besov critiques. Lorsque les coefficients physiques du système vérifient une relation spéciale, le système se simplifie considérablement, et on peut alors établir qu'il existe des solutions faibles globales en temps à énergie finie. Par un argument d'unicité fort-faible, on en déduit que les solutions fortes à énergie finie existent pour tous les temps positifs en dimension deux. \\\\ Pour le cas sans viscosité, on montre d'abord le caractère bien posé dans des espaces de Besov limites, qui s'injectent dans l'espace des fonctions lipschitziennes. Des critères de prolongement et des estimations du temps de vie sont établis. Si l'on suppose la donnée initiale à énergie finie dans l'espace de Besov limite à exposant de Lebesgue infini, on a également un résultat d'existence locale. En dimension deux, le temps de vie tend vers l'infini quand la densité tend vers une constante positive. \\\\ Des estimations de produits et de commutateurs, ainsi que des estimations a priori pour les équations paraboliques et pour le système de Stokes (ou d'Euler) à coefficients variables, se trouvent dans l'annexe.Ces estimations reposent sur la théorie de Littlewood-Paley et le calcul paradifférentiel.

Ce rapport de thèse est consacré à l'étude de modèles de champ de phase de type Caginalp. Nous considérons ici, deux parties : la première étant une généralisation du modèle de champ de phase de Caginalp basée sur la loi de Maxwell-Cattaneo et la seconde traite le même modèle dans sa version conservative. L'étude dans les deux parties est faite dans un domaine borné. De plus, dans la première partie on distingue les cas de conditions aux bords de type Dirichlet ainsi que Neumann, tandis que dans la deuxième partie le modèle est étudié uniquement avec les conditions Dirichlet (avec un potentiel régulier puis un potentiel singulier). Tout d'abord, l'existence, l'unicité, et la régularité des solutions sont analysées aux moyens d'arguments classiques. Ensuite, l'existence d'ensembles bornés absorbants est établie. Enfin, dans certains cas, l'existence de l'attracteur global et d'attracteurs exponentiels sont analysés. / This thesis report is devoted to the study of Caginalp type phase-field Models. Here, we consider two parts : the first is a generalization of the Caginalp type phase-field model based on a generalization of the Maxwell-Cattaneo law and the second with the same model in its conservative version. The study in the two parts is made in a bounded domain. In addition, in the first part we distinguish cases of boundary conditions of Dirichlet and Neumann, while in the second part the model is studied only with Dirichlet conditions (with a regular potential and a singular potential). First, the existence, uniqueness, and regularity of solutions are analyzed by means of classical arguments. Then, the existence of bounded absorbing sets is established. Finally, in some cases, the existence of the global attractor and exponential attractors are analyzed.