Cette texte est consacrée au système d'Euler de Kato, construit à partir des unités modulaires, et à son image par l'application exponentielle duale (loi de réciprocité explicite de Kato). La présentation que nous en donnons est sensiblement différente de la présentation originelle de Kato.

La résolution numérique du système d'équations pleinement compressibles en vue de son utilisation pour des applications en Prévision Numérique du Temps (PNT) soulève de nombreuses questions. L'une d'elles porte sur le choix des schémas de discrétisation temporelle à mettre en oeuvre afin de résoudre ce système de la manière la plus efficace possible, pour permettre la continuelle amélioration qualitative des prévisions. Jusqu'alors, les schémas de discrétisation temporelle basés sur des techniques semi-implicites (SI) étaient les plus couramment employés PNT, compte tenu de leur robustesse et de leur grande propriété de stabilité. Mais avec l'émergence des machines massivement parallèles à mémoire distribuée, l'efficacité de ces techniques est actuellement remise en question, car leur confortable plage de stabilité est obtenue au prix de l'inversion d'un problème elliptique tri-dimensionnel très gourmand en communications. Ce travail thèse vise à explorer d'autres méthodes de discrétisation temporelle, en remplacemant des méthodes SI, s'appuyant sur des approches de type Horizontalement Explicite et Verticalement Implicite (HEVI). D'une part, ces approches s'affranchissent de la contrainte numérique imposée sur le pas de temps par la propagation verticales des ondes rapides supportées par le système, grâce au traitement implicite des processus verticaux. D'autre part, elles exploitent le paradigme de programmation voulant que chaque colonne verticale du modèle numérique soit traitée par un unique processeur. Ainsi, le traitement implicite de cette direction n'engendre aucunes communications entre les processeurs. Cependant, bien que ces ap- proches HEVI apparaissent comme une solution attractive, rien ne garanti que leurs efficacités puissent être aussi compétitives que celles des sché- mas SI. Pour ce faire, ces schémas HEVI doivent permettre l'utilisation de pas de temps raisonnables pour une application en PNT. L'objectif de ce travail de thèse est d'élaborer un schéma de discrétisation temporelle HEVI le plus efficace possible pour une utilisation en PNT, c'est à dire, un schéma qui autorise le plus long pas de temps possible. Dans cette optique, deux voies ont été explorées : la première, issue des méthodes à pas de temps fractionné, a permis de revisiter et d'améliorer un schéma de discrétisation temporelle déjà proposé mais dont l'examen n'a jamais été approfondi dans la littérature ; il s'agit du schéma d'avance temporelle saute-moutons trapézo\"idal. Il a été mis en évidence que l'ajout d'un simple filtre temporel d'usage commun en PNT, améliore grandement la stabilité de ce schéma, lui permettant ainsi à moindre coût de rivaliser en terme de stabilité avec le schéma Runge-Kutta explicite d'ordre 3. La seconde voie, plus récente, c'est avérée la plus prometteuse. Elle repose sur l'utilisation des méthodes Runge-Kutta Implicite-Explicite (RK-IMEX) HEVI. Au cours l'étude, il a été tout d'abord mis en évidence certains problèmes de stabi- lité des schémas initialement suggérés dans la littérature en présence des processus d'advection. Puis, une nouvelle classe de schéma RK-IMEX HEVI s'appuyant sur un traitement temporel spécifique des termes d'ajustement horizontaux a été proposé / The use non-hydrostatic fully compressible modelling system in the perspective of Numerical Weather Prediction (NWP) raises many challenging questions, among which the choice time discretization scheme. It is commonly acknowledge that the ideal time marching algorithms to integrate the fully compressible system should both overcome the stability constraint imposed on time-step by the fast propagating waves supported by the system, and be scalable enough for efficiently computing on massively parallel computer machine. The assumed poor scalability property of Semi-implicit (SI) time schemes, currently favoured in NWP, is quite a drawback as they require global communications to solve a full three-dimensional elliptic problem. Because it is considered as the best compromise between stability, accuracy and scalability the properties of various classes of Horizontally Explicit Vertically Implicit (HEVI) schemes have been deeply explore in this work in a view of solving the fully system in mass-based coordinate. This class of time discretization approach eliminates all the problems linked to the implicit treatment of horizontal high-frequency forcings by coupling multi-step or multi-stage explicit methods for the horizontal propagation of fast waves to an implicit scheme for the treatment of vertically prop- agating elastic disturbances. The limitation in time-steps compared to SI schemes would be compensated by a much more economical algorithm per time-step. However, it is not firmly established that the efficiency of such a HEVI schemes could compete with one of the semi-implicit schemes. The main objective of this Phd thesis work is to elaborate an efficient HEVI time scheme allowing usable time-step for NWP applications. For this purpose, the so-called explicit time-splitting technique and the recently suggested Runge-Kutta IMEX (RK-IMEX) schemes have been explored un- der HEVI approach. Firstly, the superiority in term of stability of the RK-IMEX methods in respect with the time-splitting approach has been con- firmed. However, in presence of advection processes some unstable numerical behaviour of these schemes has been pointed out. To circumvent this problem a new class of RK-IMEX HEVI schemes has been proposed. This new class of HEVI time schemes reveals to be very attractive since they provide both good stability and accuracy properties. Secondly, in a side aspect of the HEVI approach, the stability impact of the temporal treatment of the terrain following coordinate non-linear metric terms has been demonstrated. Numerical analyses on simplified framework indicate that there might be a benefit to deal with these specific terms in the implicit part of the HEVI schemes. All the theoretical studies have been confirmed by nu- merical testing through the use of a Cartesian vertical plane fully compressible model cast in a mass-based coordinate.

Nous nous étudions ici le problème d'Euler avec surface libre sur un fond non plat et dans un régime fortement non linéaire où l'hypothèse de faible amplitude de l'équation de KdV n'est pas vérifiée. On sait que, pour un tel régime, une généralisation de l'équation de KdV peut être dérivée et justifiée lorsque le fond est plat. Nous généralisons ici ces résultats en proposant une nouvelle classe d'équations prenant en compte des topographies variables. Nous démontrons également que ces nouveaux modèles sont bien posés. Nous les étudions aussi numériquement. Ensuite, nous améliorons quelques résultats sur l'existence des équations de Green-Naghdi (GN) dans le cas 1D. Dans le cas de 2D, nous dérivons et étudions un nouveau système de la même précision que les équations de GN usuelles, mais avec un meilleur comportement mathématique.

Cette thèse concerne deux systèmes d'équations différents utilisés dans la modélisation mathématique des semi-conducteurs et des plasmas.<br />Dans une première partie, nous considérons un modèle hydrodynamique appelé système d'Euler-Poisson. En utilisant une technique de développement asymptotique, nous étudions les limites en zéro, dans le cas stationnaire pour un flot potentiel, des trois paramètres physiques de ce système : la masse d'électrons, le temps de relaxation et la longueur de Debye. Pour chacune de ces limites, nous démontrons l'existence et l'unicité des profils ainsi que des estimations d'erreur.<br />Dans une seconde partie, nous considérons le système de dérive-diffusion quantique. Nous démontrons dans un premier temps l'existence de solutions (pour un profil de dopage général) ainsi que la limite de quasi-neutralité (pour un profil de dopage nul), dans le modèle évolutif bipolair uni-dimensionnel. Dans un second temps, nous montrons de nouvelles propriétés de régularité des solutions de l'équation obtenue dans la limite de quasi-neutralité. Ces nouvelles propriétés nous permettent de démontrer, de plus, la stricte positivité des solutions de cette équation pour des temps suffisamment grands.

Nous nous étudions ici le problème d'Euler avec surface libre sur un fond non plat et dans un régime fortement non linéaire où l'hypothèse de faible amplitude de l'équation de KdV n'est pas vérifiée. On sait que, pour un tel régime, une généralisation de l'équation de KdV peut être dérivée et justifiée lorsque le fond est plat. Nous généralisons ici ces résultats en proposant une nouvelle classe d'équations prenant en compte des topographies variables. Nous démontrons également que ces nouveaux modèles sont bien posés. Nous les étudions aussi numériquement. Ensuite, nous améliorons quelques résultats sur l'existence des équations de Green-Naghdi (GN) dans le cas 1D. Dans le cas de 2D, nous dérivons et étudions un nouveau système de la même précision que les équations de GN usuelles, mais avec un meilleur comportement mathématique. / We study here the water-waves problem for uneven bottoms in a highly nonlinear regime where the small amplitude assumption of the KdV equation is enforced. It is known, that for such regimes, a generalization of the KdV equation can be derived and justified when the bottom is flat. We generalize here this result with a new class of equations taking into account variable bottom topographies. We also demonstrate that these new models are well-posed. We then proceed to study them numerically and compare their behavior with the Boussinesq equations over uneven bottoms. Regimes with stronger nonlinearities than the KdV/Boussinesq regime are then investigated. In particular, a variable coefficient generalization of a Camassa-Holm type equation is derived and justified. Wealso study the Green-Naghdi equations that are commonly used in coastal oceanography todescribe the propagation of large amplitude surface waves. We improve previous results on the well posedness of these equations in the case of one dimensional surface waves. In the $2D$ case, we derive and study a new system of the same accuracy as the standard $2D $ Green-Naghdi equations, but with better mathematical behavior.

Cette thèse est consacrée à l'étude de la dynamique des gaz à faible nombre de Mach. Le modèle étudié provient des équations de Navier-Stokes complètes lorsque le nombre de Mach tend vers zéro. On cherche à montrer que le problème de Cauchy correspondant est bien posé. Les cas visqueux et non visqueux sont tous deux considérés. Les coefficients physiques peuvent dépendre de la densité (ou de la température) inconnue. En particulier, nous prenons en compte les effets de conductivité thermique et on autorise de grandes variations d'entropie. Rappelons qu'en absence de diffusion thermique, la limite à faible nombre de Mach implique la condition d'incompressibilité. Dans le cadre étudié ici, en introduisant un nouveau champ de vitesses à divergence nulle, le système devient un couplage non linéaire entre une équation quasi-parabolique pour la densité et un système de type Navier-Stokes (ou Euler) pour la vitesse et la pression. Pour le cas avec viscosité, on établit le résultat classique, à savoir qu'il existe une solution forte existant localement (resp. globalement) en temps pour des données initiales grandes (resp. petites). On considère ici le problème de Cauchy avec données initiales dans des espaces de Besov critiques. Lorsque les coefficients physiques du système vérifient une relation spéciale, le système se simplifie considérablement, et on peut alors établir qu'il existe des solutions faibles globales en temps à énergie finie. Par un argument d'unicité fort-faible, on en déduit que les solutions fortes à énergie finie existent pour tous les temps positifs en dimension deux. Pour le cas sans viscosité, on montre d'abord le caractère bien posé dans des espaces de Besov limites, qui s'injectent dans l'espace des fonctions lipschitziennes. Des critères de prolongement et des estimations du temps de vie sont établis. Si l'on suppose la donnée initiale à énergie finie dans l'espace de Besov limite à exposant de Lebesgue infini, on a également un résultat d'existence locale. En dimension deux, le temps de vie tend vers l'infini quand la densité tend vers une constante positive. Des estimations de produits et de commutateurs, ainsi que des estimations a priori pour les équations paraboliques et pour le système de Stokes (ou d'Euler) à coefficients variables, se trouvent dans l'annexe. Ces estimations reposent sur la théorie de Littlewood-Paley et le calcul paradifférentiel

Cette thèse est consacrée à l'étude de la dynamique des gaz à faible nombre de Mach. Le modèle étudié provient des équations de Navier-Stokes complètes lorsque le nombre de Mach tend vers zéro. On cherche à montrer que le problème de Cauchy correspondant est bien posé. Les cas visqueux et non visqueux sont tous deux considérés. Les coefficients physiques peuvent dépendre de la densité (ou de la température) inconnue. En particulier, nous prenons en compte les effets de conductivité thermique et on autorise de grandes variations d'entropie. Rappelons qu'en absence de diffusion thermique, la limite à faible nombre de Mach implique la condition d'incompressibilité. Dans le cadre étudié ici, en introduisant un nouveau champ de vitesses à divergence nulle, le système devient un couplage non linéaire entre une équation quasi-parabolique pour la densité et un système de type Navier-Stokes (ou Euler) pour la vitesse et la pression. Pour le cas avec viscosité, on établit le résultat classique, à savoir qu'il existe une solution forte existant localement (resp. globalement) en temps pour des données initiales grandes (resp. petites). On considère ici le problème de Cauchy avec données initiales dans des espaces de Besov critiques. Lorsque les coefficients physiques du système vérifient une relation spéciale, le système se simplifie considérablement, et on peut alors établir qu'il existe des solutions faibles globales en temps à énergie finie. Par un argument d'unicité fort-faible, on en déduit que les solutions fortes à énergie finie existent pour tous les temps positifs en dimension deux. Pour le cas sans viscosité, on montre d'abord le caractère bien posé dans des espaces de Besov limites, qui s'injectent dans l'espace des fonctions lipschitziennes. Des critères de prolongement et des estimations du temps de vie sont établis. Si l'on suppose la donnée initiale à énergie finie dans l'espace de Besov limite à exposant de Lebesgue infini, on a également un résultat d'existence locale. En dimension deux, le temps de vie tend vers l'infini quand la densité tend vers une constante positive. Des estimations de produits et de commutateurs, ainsi que des estimations a priori pour les équations paraboliques et pour le système de Stokes (ou d'Euler) à coefficients variables, se trouvent dans l'annexe. Ces estimations reposent sur la théorie de Littlewood-Paley et le calcul paradifférentiel / This thesis is devoted to the study of the dynamics of the gases with small Mach number. The model comes from the complete Navier-Stokes equations when the Mach number goes to zero, and we aim at showing that it is well-posed. The viscous and inviscid cases are both considered. The physical coefficients may depend on the unknown density (or on the unknown temperature).In particular, we consider the effects of the thermal conductivity and hence large variations of entropy are allowed. Recall that if there is no thermal diffusion, then the low Mach number limit just implies the incompressibility condition. In the framework considered here, by introducing a new solenoidal velocity field, the system becomes a nonlinear coupling between a quasi-parabolic equation for the density and an evolutionary Stokes (or Euler) system for the velocity and the pressure. For the case with viscosity, we establish classical results, namely the strong solutions exist locally (resp. globally) in time for big (resp. small) initial data. We consider the Cauchy problem in the critical Besov spaces with the lowest regularity. Under a special relationship between the two physical coefficients, the system recasts in a simpler form and one may prove that there exist weak solutions with finite energy. In dimension two, this implies that strong solutions with finite energy exist for all positive times. In the inviscid case, we first prove the well-posedness result in endpoint Besov spaces, which can be embedded into the set of Lipschitzian functions. Continuation criterions and estimates for the lifespan are both established.If we suppose the initial data to be in the borderline Besov spaces with infinite Lebesgue exponent and to be of finite energy, we also have a local existence result. In dimension two, the lifespan goes to infinity when the density tends to a positive constant. Estimates for products and commutators, together with a priori estimates for the parabolic equations and the Stokes (or Euler) system with variable coefficients, are postponed in the appendix. These estimates are based on the Littlewood-Paley theory and the paradifferential calculus

Cette thèse est consacrée à l'étude de la dynamique des gaz à faible nombre de Mach. Le modèle étudié provient des équations de Navier-Stokes complètes lorsque le nombre de Mach tend vers zéro. On cherche à montrer que le problème de Cauchy correspondant est bien posé. Les cas visqueux et non visqueux sont tous deux considérés. Les coefficients physiques peuvent dépendre de la densité (ou de la température) inconnue. En articulier, nous prenons en compte les effets de onductivité thermique et on autorise de grandes variations d'entropie. Rappelons qu'en absence de diffusion thermique, la limite à faible nombre de Mach implique la condition d'incompressibilité. Dans le cadre étudié ici, en introduisant un nouveau champ de vitesses à divergence nulle, le système devient un couplage non linéaire entre une équation quasi-parabolique pour la densité et un système de type Navier-Stokes (ou Euler) pour la vitesse et la pression. \\\\ Pour le cas avec viscosité, on établit le résultat classique, à savoir qu'il existe une solution forte existant localement (resp. globalement) en temps pour des données initiales grandes (resp. petites). On considère ici le problème de Cauchy avec données initiales dans des espaces de Besov critiques. Lorsque les coefficients physiques du système vérifient une relation spéciale, le système se simplifie considérablement, et on peut alors établir qu'il existe des solutions faibles globales en temps à énergie finie. Par un argument d'unicité fort-faible, on en déduit que les solutions fortes à énergie finie existent pour tous les temps positifs en dimension deux. \\\\ Pour le cas sans viscosité, on montre d'abord le caractère bien posé dans des espaces de Besov limites, qui s'injectent dans l'espace des fonctions lipschitziennes. Des critères de prolongement et des estimations du temps de vie sont établis. Si l'on suppose la donnée initiale à énergie finie dans l'espace de Besov limite à exposant de Lebesgue infini, on a également un résultat d'existence locale. En dimension deux, le temps de vie tend vers l'infini quand la densité tend vers une constante positive. \\\\ Des estimations de produits et de commutateurs, ainsi que des estimations a priori pour les équations paraboliques et pour le système de Stokes (ou d'Euler) à coefficients variables, se trouvent dans l'annexe.Ces estimations reposent sur la théorie de Littlewood-Paley et le calcul paradifférentiel.

Cette thèse est essentiellement composée de deux parties traitant des problèmes de Cauchy ou des problèmes périodiques. Dans la première partie, on étudie la stabilité de solutions régulières au voisinage d'états d'équilibre non constants pour un système d'Euler-Maxwell isentropique compressible bipolaire. Par des estimations d'énergie classiques et un argument de récurrence sur l'ordre des dérivées des solutions, on montre l'existence globale et l'unicité des solutions régulières du système lorsque les données initiales sont proches des états d'équilibre. On obtient aussi le comportement asymptotique des solutions quand le temps tend vers l'infini. Dans la deuxième partie, on considère la stabilité en temps long des solutions régulières de systèmes d'Euler-Maxwell et de Navier-Stokes-Maxwell compressibles dans le cas non isentropique lorsque les états d'équilibre sont constants. Grâce à des choix convenables de symétriseurs des systèmes et à des estimations d'énergie, on montre l'existence globale et l'unicité des solutions régulières des systèmes avec données initiales petites. De plus, par le principe de Duhamel et l'outil d'analyse de Fourier, on obtient des taux de décroissance des solutions quand le temps tend vers l'infini. / This thesis is essentially composed of two parts dealing with Cauchy problems and periodic problems. In the first part, we study the stability of smooth solutions near non constant equilibrium states for a two-fluid isentropic compressible Euler-Maxwell system.By classical energy estimates together with an induction argument on the order of the derivatives of solutions, we prove the existence and uniqueness of global solutions to the system when the given initial data are near the equilibrium states. We also obtain the asymptotic behavior of solutions when the time goes to infinity. In the second part, we consider the long time stability of the global smooth solutions for compressible Euler-Maxwell and Navier-Stokes-Maxwell systems in non isentropic case when the equilibrium solutions are constants. With the help of suitable choices of symmetrizers and energy estimates, we prove the existence and uniqueness of global solutions to the systems with given small initial data. Furthermore, using the Duhamel principle and the Fourier analysis tool, we obtain the decay rates of smooth solutions as the time goes to infinity.