Dans cette thèse nous étudierons plusieurs problèmes de la théorie du contrôle portant sur des modèles non-linéaires issus de la mécanique des fluides. Dans le chapitre un, nous étudions l'équation de Camassa-Holm sur un intervalle compact de R. Après avoir introduit de bonnes conditions aux bords et une notion de solution faible, nous montrons un théorème d'existence et un théorème d'unicité fort-faible pour le problème mixte. Dans une seconde partie nous fournissons une loi de retour pour les données aux bords qui nous permet de stabiliser asymptotiquement l'état stationnaire naturel de l'équation.\par Dans le chapitre deux, nous étudions le problème de la contrôlabilité exacte d'une loi de conservation scalaire à flux convexe, posée sur un intervalle compact et dans le cadre des solutions entropiques. On fournit des conditions suffisantes sur des fonctions de BV pour qu'elles soient atteignables en temps arbitraire depuis n'importe quelle donnée initiale. On contrôle l'équation via les données aux bords et aussi grâce à un terme source agissant uniformément en espace.\par Enfin le chapitre trois est consacré au problème de la stabilisation asymptotique des états stationnaires constants d'une loi de conservation scalaire à flux convexe, posée sur un intervalle compact et dans le cadre des solutions entropiques. On contrôle à nouveau l'équation via les données aux bords et un terme source agissant uniformément en espace. Nous fournissons deux lois de retour stationnaires (suivant que l'état à stabiliser est de vitesse critique ou non) qui nous permettent de montrer la stabilisation asymptotique globale.

In this thesis we employ two recent analytical approaches to investigate the possible classes of traveling wave solutions of some members of recently derived integrable family of generalized Camassa-Holm (GCH) equations. In the first part, a novel application of phase-plane analysis is employed to analyze the singular traveling wave equations of four GCH equations, i.e. the possible non-smooth peakon, cuspon and compacton solutions. Two of the GCH equations do no support singular traveling waves. We generalize an existing theorem to establish the existence of peakon solutions of the third GCH equation. This equation is found to also support four segmented, non-smooth M-wave solutions. While the fourth supports both solitary (peakon) and periodic (cuspon) cusp waves in different parameter regimes. In the second part of the thesis, smooth traveling waves of the four GCH equations are considered. Here, we use a recent technique to derive convergent multi-infinite series solutions for the homoclinic and heteroclinic orbits of their traveling-wave equations, corresponding to pulse and front (kink or shock) solutions respectively of the original PDEs. Unlike the majority of unaccelerated convergent series, high accuracy is attained with relatively few terms. Of course, the convergence rate is not comparable to typical asymptotic series. However, asymptotic solutions for global behavior along a full homoclinic/heteroclinic orbit are currently not available.

Le sujet de cette thèse est la formation de singularités pour certaines équations d'évolution dispersives et/ou dissipatives non-linéaires. Notre travail est axé sur les problèmes de Cauchy, généralement avec des conditions aux limites périodiques ou dans tout $\mathbb{R}^n$. Notre objectif est de fournir les conditions nécessaires ou suffisantes (ou les deux) sur les données initiales $u_0(x)$, garantissant que la durée de vie $T^{*}$ de la solution résultant de $u_0$ est finie ou non. Nous étudions deux types d'équations : une équation parabolique non linéaires et une classe d'équations d'ondes dispersives. La première équation étudiée est un modèle $1D$ de propagation d’ondes non-linéaires, qui apparaît par exemple dans l'étude des vagues dans un canal ou des déformations d’une barre hyper-élastique. L'une des contributions décisives de notre travail sera celle-ci : la seule solution forte globale périodique du problème de Cauchy de la barre hyper-élastique qui s’annule en au moins un point est la solution identiquement nulle. Nous établissons également l'analogue de ce résultat dans le cas des solutions non-périodiques définies sur toute la droite réelle, avec limite nulle à l'infini. Notre analyse repose sur l'application de nouveaux critères d'explosion "locaux en espace” (local-in-space blowup criteria). Une deuxième équation étudiée est une généralisation de l'équation de la barre hyperélastique qui a été proposée par H. Holden et X. Raynaud. Cette généralisation peut couvrir de nombreux autres types d'équations avec des propriétés mathématiques intéressantes. Nous établirons alors des critères d'explosion locaux en espace pour les solutions de ce modèle. Plus précisément, il s'agira de critères qui ne font intervenir que les propriétés de la condition initiale $u_0$ au voisinage d'un seul point. Ils simplifient et étendent de précédents critères d'explosion pour cette équation. Ensuite, nous nous sommes intéressés à une famille d'équations connue dans la littérature sous le nom $b$-family equations. L'un des cas les plus notables de cette famille d'équations est l'équation de Degasperis-Procesi. Pour cette famille, nous avons obtenu des résultats similaires à ceux décris précédemment. Enfin, dans la dernière partie, il s'agit d'étudier le caractère bien posé, local ou global en temps, dans des espaces fonctionnels issus de l'analyse harmonique et ayant les bonnes propriétés d'invariance par rapport aux changements d'échelle. Nous étudions le problème de Cauchy non linéaire de l'équation de la chaleur. Après avoir établi une extension du résultat d'Y. Meyer sur l’existence de solutions globales à données petites dans les espaces de Besov homogènes $\dot{B}_{p}^{-\sigma, \infty}(\mathbb{R}^{3})$, où $3 < p < 9$ et $\sigma=1-3/p$, nous prouvons que les données initiales $u_0\in \mathcal{S}(\mathbb{R}^{3})$, arbitrairement petites dans ${\dot B^{-2/3,\infty}_{9}}(\mathbb{R}^{3})$, peuvent produire des solutions qui explosent en temps fini. En outre, cette explosion peut se produire après un temps arbitrairement court / The subject of this thesis is the formation of singularities for some nonlinear evolution equations of dissipative and/or dispersive type. Our work is focused on the Cauchy problems, usually with periodic boundary conditions or on the whole $\mathbb{R}^{n}$. Our aim is to provide the necessary or sufficient conditions (or both) on the initial data $u_0 (x)$, ensuring that the lifetime $T^{*}$ of the solution resulting from $u_0$ is finite or not. We study two types of equations: a nonlinear parabolic equation and a class of dispersive wave equations. In the first case, we study a one-dimensional model which describe the propagation of nonlinear waves in a channel or the deformations of a hyper-elastic rod. One decisive contibutions of our work will be this: the only global strong periodic solution of the rod equation vanishing in at least one point is the identically zero solution. We also establish the analogue of this result in the case of non-periodic solutions defined on the whole real line which vanish at infinity. Our analysis is based on the application of new local-in-space blowup criteria. The second equation that we consider is a generalization of the rod equation which was proposed by H. Holden and X. Raynaud. This generalization covers many other equations with interesting mathematical properties. We will establish criteria for the blowup in finite time that involve only the properties of the data $u_0$ in a neighborhood of a single point, thus simplifying and extending earlier blowup criteria for this equation. After, we study family of equations known in the literature as the $b$-family equations. One of the most notable cases of this family of equations is the Degasperis-Procesi equation. For this family we obtain similar results as those described above. Finally, the last part, we study the well-posedness, locally or globally in time of the nonlinear heat equation, in functional spaces having appropriate invariance properties relative to scale changes. After extending Y. Meyer's result establishing the existence of global solutions, under a smallness condition of the initial data in the homogeneous Besov spaces $\dot{B}_{p}^{-\sigma, \infty}(\mathbb{R}^{3})$, where $3 < p < 9$ and $\sigma=1-3/p$, we prove that initial data $u_0\in \mathcal{S}(\mathbb{R}^{3})$, arbitrarily small in ${\dot B^{-2/3,\infty}_{9}}(\mathbb{R}^{3})$, can produce solutions that explode in finite time. In addition, the blowup may occur after an arbitrarily short time.

Nous nous étudions ici le problème d'Euler avec surface libre sur un fond non plat et dans un régime fortement non linéaire où l'hypothèse de faible amplitude de l'équation de KdV n'est pas vérifiée. On sait que, pour un tel régime, une généralisation de l'équation de KdV peut être dérivée et justifiée lorsque le fond est plat. Nous généralisons ici ces résultats en proposant une nouvelle classe d'équations prenant en compte des topographies variables. Nous démontrons également que ces nouveaux modèles sont bien posés. Nous les étudions aussi numériquement. Ensuite, nous améliorons quelques résultats sur l'existence des équations de Green-Naghdi (GN) dans le cas 1D. Dans le cas de 2D, nous dérivons et étudions un nouveau système de la même précision que les équations de GN usuelles, mais avec un meilleur comportement mathématique.

Les travaux présentés dans ce mémoire, portent essentiellement sur la théorie géométrique des systèmes dynamiques. Ils sont regroupés dans deux sections distinctes qui couvrent l'essentiel de mes recherches :<ul><li> L'étude de la dynamique et de la morphologie des homéomorphismes des surfaces,</li><li>L'utilisation de méthodes géométriques dans l'étude de certaines équations aux dérivées partielles apparaissant en mécanique et en hydrodynamique.</li></ul>Ce mémoire récapitule les travaux de dix-neuf articles groupés par thèmes et présentés dans l'ordre chronologique de leur élaboration.

Nous nous étudions ici le problème d'Euler avec surface libre sur un fond non plat et dans un régime fortement non linéaire où l'hypothèse de faible amplitude de l'équation de KdV n'est pas vérifiée. On sait que, pour un tel régime, une généralisation de l'équation de KdV peut être dérivée et justifiée lorsque le fond est plat. Nous généralisons ici ces résultats en proposant une nouvelle classe d'équations prenant en compte des topographies variables. Nous démontrons également que ces nouveaux modèles sont bien posés. Nous les étudions aussi numériquement. Ensuite, nous améliorons quelques résultats sur l'existence des équations de Green-Naghdi (GN) dans le cas 1D. Dans le cas de 2D, nous dérivons et étudions un nouveau système de la même précision que les équations de GN usuelles, mais avec un meilleur comportement mathématique. / We study here the water-waves problem for uneven bottoms in a highly nonlinear regime where the small amplitude assumption of the KdV equation is enforced. It is known, that for such regimes, a generalization of the KdV equation can be derived and justified when the bottom is flat. We generalize here this result with a new class of equations taking into account variable bottom topographies. We also demonstrate that these new models are well-posed. We then proceed to study them numerically and compare their behavior with the Boussinesq equations over uneven bottoms. Regimes with stronger nonlinearities than the KdV/Boussinesq regime are then investigated. In particular, a variable coefficient generalization of a Camassa-Holm type equation is derived and justified. Wealso study the Green-Naghdi equations that are commonly used in coastal oceanography todescribe the propagation of large amplitude surface waves. We improve previous results on the well posedness of these equations in the case of one dimensional surface waves. In the $2D$ case, we derive and study a new system of the same accuracy as the standard $2D $ Green-Naghdi equations, but with better mathematical behavior.

Un outil puissant dans le cadre des solutions algébro-géométriques des équations intégrables est l'identité de Fay sur des surfaces de Riemann compactes. Cette relation généralise une identité bien connue pour la fonction birapport dans le plan complexe. Elle permet d'établir des relations entre les fonctions theta et leurs dérivées. Cela offre une approche complémentaire aux solutions algébro-géométriques des équations intégrables avec certains avantages par rapport à l'utilisation des fonctions de Baker-Akhiezer. Cette méthode a été appliquée avec succès par Mumford et al. aux équations Korteweg-de Vries, Kadomtsev-Petviashvili et sine-Gordon. Selon cette approche, nous construisons des solutions algébro-géométriques des équations de Camassa-Holm et de Dym, ainsi que des solutions de l'équation de Schrödinger non linéaire à plusieurs composantes et des équations de Davey-Stewartson. Les limites solitoniques de ces solutions sont étudiées lorsque le genre de la surface de Riemann associée tombe à zéro. De plus, nous présentons une évaluation numérique des solutions algébro-géométriques des équations intégrables lorsque la surface de Riemann associée est réelle. / Fay's identity on Riemann surfaces is a powerful tool in the context of algebro-geometric solutions to integrable equations. This relation generalizes a well-known identity for the cross-ratio function in the complex plane. It allows to establish relations between theta functions and their derivatives. This offers a complementary approach to algebro-geometric solutions of integrable equations with certain advantages with respect to the use of Baker-Akhiezer functions. It has been successfully applied by Mumford et al. to the Korteweg-de Vries, Kadomtsev-Petviashvili and sine-Gordon equations. Following this approach, we construct algebro-geometric solutions to the Camassa-Holm and Dym type equations, as well as solutions to the multi-component nonlinear Schrödinger equation and the Davey-Stewartson equations. Solitonic limits of these solutions are investigated when the genus of the associated Riemann surface drops to zero. Moreover, we present a numerical evaluation of algebro-geometric solutions of integrable equations when the associated Riemann surface is real.