Cette thèse est composée de deux parties. La première partie utilise l’analyse stochastique pour fournir des bornes pour la probabilité de surcharge de différents systèmes grâce aux inégalités de concentration. Bien qu’ils soient généraux, nous appliquons ces résultats à des réseaux sans-fil réels tels que le WiMax et le traffic utilisateur multi-classe dans un système OFDMA. Dans la seconde partie, nous trouvons des liens entre la topologie de la couverture dans un réseau de capteur et celle du complexe simplicial correspondant. Cette analogie met en valeur de nouvelles facettes des certains objets mathématiques comme les nombres de Betti, le nombre de k-simplexes, et la caractéristique d’Euler. Puis, nous utilisons conjointement la topologie algébrique et l’analyse stochastique, en considérant que les positions des capteurs sont une réalisation d’un processus ponctuel de Poisson. Nous en déduisons les statistiques du nombre de k-simplexe et de la caractéristique d’Euler, ainsi que des bornes supérieures pour la distribution des nombres de Betti, le tout en d dimen- sions. Nous démontrons aussi que le nombre de k-simplexes converge vers une distribution Gaussienne quand la densité de capteurs tend vers l’infini à une vitesse de convergence connue. Enfin, nous nous limitons au cas unidimensionnel. Dans ce cas, le problème devient équivalent à résoudre une file M/M/1/1 préemptive. Nous obtenons ainsi des résultats analytiques pour des quantités telles que la distribution du nombre de composantes connexes et la probabilité de couverture totale. / This thesis has two main parts. Part I uses stochastic anlysis to provide bounds for the overload probability of different systems thanks to concentration inequalities. Although the results are general, we apply them to real wireless network systems such as WiMax and mutliclass user traffic in an OFDMA system. In part I I, we find more connections between the topology of the coverage of a sensor network and the topology of its corresponding simplicial complex. These connections highlight new aspects of Betti numbers, the number of k-simplices, and Euler characteristic. Then, we use algebraic topology in conjunction with stochastic analysis, after assuming that the positions of the sensors are points of a Point point process. As a consequence we obtain, in d dimensions, the statistics of the number of k-simplices and of Euler characteristic, as well as upper bounds for the distribution of Betti numbers. We also prove that the number of k-simplices tends to a Gaussian distribution as the density of sensors grows, and we specify the convergence rate. Finally, we restrict ourselves to one dimension. In this case, the problem becomes equivalent to solving a M/M/1/1 preemptive queue. We obtain analytical results for quantites such as the distribution of the number of connected components and the probability of complete coverage.

La thèse est constituée de deux parties. La première concerne la très amplitude du diviseur canonique relatif, tandis que la seconde traite de la positivité de la caractéristique d'Euler de surfaces.Dans la première partie, on se donne une courbe régulière propre sur un anneau de Dedekind (dont les corps résiduels aux points fermés sont parfaits), de fibre générique de genre plus grand ou égal à 2. Après contractions de certains diviseurs verticaux, on obtient son modèle canonique. On montre que toute puissance tensorielle supérieure ou égale à 3 du faisceau dualisant relatif sur le modèle canonique est très ample. Ceci améliore un résultat de Jongmin Lee.Dans la deuxième partie, pour tout nombre premier p différent de 2, nous montrons qu'il existe une constante positive k_p, telle que pour toute surface projective lisse X de type général définie sur un corps algébriquement clos de caractéristique p, on ait l'inégalité \xi(O_X) ≥ k_pc_1^2(X). / This thesis is divided into 2 parts. The first part concerns with the amplitude of relative canonical divisors, and the second part deals with the positivity of the Euler characteristics of surfaces.In the first part, given a minimal arithmetic surface over a Dedekind ring whose residue fields at closed points are perfect, suppose the general fibre has genus at least 2, after contracting some vertical divisor, we will obtain its canonical model. We prove in this part that 3 or more times the relative canonical divisor of this canonical model is very ample. This simplifies and generalizes a result of Jongmin Lee.In the second part, we prove that for all prime numbers p>2, there is a positive number k_p, such that \xi(O_X) ≥ k_p c_1^2(X) holds true for all algebraic surfaces X of general type in characteristic p. In particular, \xi(O_X)>0. This answers a question of N. Shepherd Barron when p>2.

Notre motivation principale dans cette thèse est de développer des méthodes d'étude des systèmes intégrables classiques qui se généralisent directement aux systèmes intégrables quantiques. Pour cela nous commençons par construire explicitement, en utilisant des outils de la géométrie algébrique et les idées de la méthode de séparation des variables, un modèle matriciel de la jacobienne affine d'une courbe spectrale d'ordre $N$ quelconque, généralisant ainsi la construction précédemment connue seulement pour le cas hyperelliptique ($N=2$). A l'aide de ce modèle nous étudions ensuite les cohomologies singulières de la jacobienne affine et nous trouvons une formule nouvelle pour sa caractéristique d'Euler. En étudiant son comportement nous montrons que la structure des cohomologies est bien plus compliquée, dans le cas général, que dans le cas hyperelliptique. Du point de vue des systèmes intégrables notre résultat principal est que l'algèbre des observables est engendrée par l'action des certains champs hamiltoniens sur un nombre fini des coefficients des cohomologies supérieures. Cette observation est surtout importante dans le cas quantique auquel touts nos résultats s'appliquent aussi, en accord avec le programme de ce travail . En effet, ceci implique que les fonctions de corrélation de n'importe quelle observable s'expriment en termes des fonctions de corrélations d'un nombre fini de coefficients des cohomologies supérieures (déformés). Finalement, en utilisant les résultats connus pour le cas hyperelliptique et des considérations semi-classiques, nous formulons une conjecture sur la structure du produit scalaire dans l'espace de Hilbert où l'algèbre des observables quantiques est représentée.

Dans ce travail, nous étudions les surfaces dont les composantes irréductibles sont des surfaces toriques. En particulier, nous donnons une formule pour calculer l'obstruction d'Euler locale de ces surfaces. Comme application de cette formule, nous calculons l'obstruction d'Euler locale pour certaines familles de surfaces déterminantales. De plus, nous définissons et donnons une formule pour calculer la caractéristique d'Euler évanescente d'une surface torique normale $X_{sigma}$. Nous montrons que ce nombre est relié à la seconde multiplicité polaire de $X_{sigma}$. Nous présentons aussi une formule pour l'obstruction d'Euler d'une fonction $f: X_{sigma} to mathbb{C}$ et pour le nombre de Brasselet d'une telle fonction. Comme application de ce résultat nous calculons l'obstruction d'Euler d'un type de polynôme sur une famille de surfaces déterminantales. / In this work we study surfaces with the property that their irreducible components are toric surfaces. In particular, we present a formula to compute the local Euler obstruction of such surfaces. As an application of this formula we compute the local Euler obstruction for some families of determinantal surfaces. Furthermore, we define the vanishing Euler characteristic of a normal toric surface $X_{sigma}$, we give a formula to compute it, and we relate this number with the second polar multiplicity of $X_{sigma}$. We also present a formula for the Euler obstruction of a function $f: X_{sigma} to mathbb{C}$ and for the Brasselet number of it. As an application of this result we compute the Euler obstruction of a type of polynomial on a family of determinantal surfaces.

Dans le premier chapitre, on démontre divers résultats sur le plus grand quotient du groupe fondamental étale premier aux caractéristiques, parmi lesquels la formule de Künneth et l'invariance par changement de corps séparablement clos pour les schémas de type fini sur un corps. Ces énoncés sont déduits de faits généraux sur les images directes de champs, une fois spécialisés au cas des torseurs sous un groupe constant fini d'ordre inversible sur la base. Des résultats analogues<br />pour le groupe fondamental modéré sont également discutés.<br /><br />Au deuxième chapitre, on déduit de la formule du conducteur, conjecturée par S. Bloch, celle de P. Deligne exprimant, dans le cas d'une singularité isolée, la dimension totale des cycles évanescents en fonction du nombre de Milnor.<br />En particulier, la formule de Deligne est établie en dimension relative un.<br /><br />Dans le troisième chapitre, on compare les 1-isomotifs de P. Deligne sur un corps avec la théorie de V. Voevodsky en dimension inférieure à 1.

Les données provenant de l'échantillonnage fin d'un processus continu (champ aléatoire) peuvent être représentées sous forme d'images. Un test statistique permettant de détecter une différence entre deux images peut être vu comme un ensemble de tests où chaque pixel est comparé au pixel correspondant de l'autre image. On utilise alors une méthode de contrôle de l'erreur de type I au niveau de l'ensemble de tests, comme la correction de Bonferroni ou le contrôle du taux de faux-positifs (FDR). Des méthodes d'analyse de données ont été développées en imagerie médicale, principalement par Keith Worsley, utilisant la géométrie des champs aléatoires afin de construire un test statistique global sur une image entière. Il s'agit d'utiliser l'espérance de la caractéristique d'Euler de l'ensemble d'excursion du champ aléatoire sous-jacent à l'échantillon au-delà d'un seuil donné, pour déterminer la probabilité que le champ aléatoire dépasse ce même seuil sous l'hypothèse nulle (inférence topologique). Nous exposons quelques notions portant sur les champs aléatoires, en particulier l'isotropie (la fonction de covariance entre deux points du champ dépend seulement de la distance qui les sépare). Nous discutons de deux méthodes pour l'analyse des champs anisotropes. La première consiste à déformer le champ puis à utiliser les volumes intrinsèques et les compacités de la caractéristique d'Euler. La seconde utilise plutôt les courbures de Lipschitz-Killing. Nous faisons ensuite une étude de niveau et de puissance de l'inférence topologique en comparaison avec la correction de Bonferroni. Finalement, nous utilisons l'inférence topologique pour décrire l'évolution du changement climatique sur le territoire du Québec entre 1991 et 2100, en utilisant des données de température simulées et publiées par l'Équipe Simulations climatiques d'Ouranos selon le modèle régional canadien du climat. / Data coming from a fine sampling of a continuous process (random field) can be represented as images. A statistical test aiming at detecting a difference between two images can be seen as a group of tests in which each pixel is compared to the corresponding pixel in the other image. We then use a method to control the type I error over all the tests, such as the Bonferroni correction or the control of the false discovery rate (FDR). Methods of data analysis have been developped in the field of medical imaging, mainly by Keith Worsley, using the geometry of random fields in order to build a global statistical test over the whole image. The expected Euler characteristic of the excursion set of the random field underlying the sample over a given threshold is used in order to determine the probability that the random field exceeds this same threshold under the null hypothesis (topological inference). We present some notions relevant to random fields, in particular isotropy (the covariance function between two given points of a field depends only on the distance between them). We discuss two methods for the analysis of non\-isotropic random fields. The first one consists in deforming the field and then using the intrinsic volumes and the Euler characteristic densities. The second one uses the Lipschitz-Killing curvatures. We then perform a study of sensitivity and power of the topological inference technique comparing it to the Bonferonni correction. Finally, we use topological inference in order to describe the evolution of climate change over Quebec territory between 1991 and 2100 using temperature data simulated and published by the Climate Simulation Team at Ouranos, with the Canadian Regional Climate Model CRCM4.2.

Les données provenant de l'échantillonnage fin d'un processus continu (champ aléatoire) peuvent être représentées sous forme d'images. Un test statistique permettant de détecter une différence entre deux images peut être vu comme un ensemble de tests où chaque pixel est comparé au pixel correspondant de l'autre image. On utilise alors une méthode de contrôle de l'erreur de type I au niveau de l'ensemble de tests, comme la correction de Bonferroni ou le contrôle du taux de faux-positifs (FDR). Des méthodes d'analyse de données ont été développées en imagerie médicale, principalement par Keith Worsley, utilisant la géométrie des champs aléatoires afin de construire un test statistique global sur une image entière. Il s'agit d'utiliser l'espérance de la caractéristique d'Euler de l'ensemble d'excursion du champ aléatoire sous-jacent à l'échantillon au-delà d'un seuil donné, pour déterminer la probabilité que le champ aléatoire dépasse ce même seuil sous l'hypothèse nulle (inférence topologique). Nous exposons quelques notions portant sur les champs aléatoires, en particulier l'isotropie (la fonction de covariance entre deux points du champ dépend seulement de la distance qui les sépare). Nous discutons de deux méthodes pour l'analyse des champs anisotropes. La première consiste à déformer le champ puis à utiliser les volumes intrinsèques et les compacités de la caractéristique d'Euler. La seconde utilise plutôt les courbures de Lipschitz-Killing. Nous faisons ensuite une étude de niveau et de puissance de l'inférence topologique en comparaison avec la correction de Bonferroni. Finalement, nous utilisons l'inférence topologique pour décrire l'évolution du changement climatique sur le territoire du Québec entre 1991 et 2100, en utilisant des données de température simulées et publiées par l'Équipe Simulations climatiques d'Ouranos selon le modèle régional canadien du climat. / Data coming from a fine sampling of a continuous process (random field) can be represented as images. A statistical test aiming at detecting a difference between two images can be seen as a group of tests in which each pixel is compared to the corresponding pixel in the other image. We then use a method to control the type I error over all the tests, such as the Bonferroni correction or the control of the false discovery rate (FDR). Methods of data analysis have been developped in the field of medical imaging, mainly by Keith Worsley, using the geometry of random fields in order to build a global statistical test over the whole image. The expected Euler characteristic of the excursion set of the random field underlying the sample over a given threshold is used in order to determine the probability that the random field exceeds this same threshold under the null hypothesis (topological inference). We present some notions relevant to random fields, in particular isotropy (the covariance function between two given points of a field depends only on the distance between them). We discuss two methods for the analysis of non\-isotropic random fields. The first one consists in deforming the field and then using the intrinsic volumes and the Euler characteristic densities. The second one uses the Lipschitz-Killing curvatures. We then perform a study of sensitivity and power of the topological inference technique comparing it to the Bonferonni correction. Finally, we use topological inference in order to describe the evolution of climate change over Quebec territory between 1991 and 2100 using temperature data simulated and published by the Climate Simulation Team at Ouranos, with the Canadian Regional Climate Model CRCM4.2.

Suite aux travaux de Zbigniew Szafraniec et Nicolas Dutertre, je me suis intéressée aux calculs de caractéristiques d'Euler de certains espaces semi-algébriques. En particulier, ceux de laforme : $ {(-1)^{varepsilon_1} G_1geq 0 }cap...cap{(-1)^{varepsilon_l} G_lgeq 0}cap W$, où $epsilon=(epsilon_1,...,epsilon_l)in{0,1}^l$, $G=(G_1,...,G_l):R^nrightarrowR^l$ polynomiale et $W:=F^{-1}(0)subsetR^n$ où $F:R^nrightarrowR^k$ et $k+lleq n$. Une fois le cas lisse traité, on intersecte ces ensembles avec ${ fgeq 0}$ ou ${ fleq 0}$, où $f$ est polynomiale telle que $f^{-1}(0)$ admette un nombre fini de singularités. J'énonce alors un théorème reliant ces caractéristiques au degré d'applications faisant intervenir les fonctions $f$, $F$ et $G$. Pour finir, on s'intéresse au cas où l'ensemble $W$ possède un lieu critique compact.Dans une autre partie, je travaille sur l'indice radial, indice défini sur des variétés singulières. J'énonce un résultat faisant le lien entre l'indice radial d'un champ de vecteurs V en une singularité avec l'indice radial de son opposé -V. Finalement, je relie l'indice radial à un indice d'intersection. / After the works of Zbigniew Szafraniec and Nicolas Dutertre, we are interested in computing Euler characteristics of some particular semialgebraic sets. In particular, the ones of the form : $ {(-1)^{varepsilon_1} G_1geq 0 }cap...cap{(-1)^{varepsilon_l} G_lgeq 0}cap W$, where $varepsilon=(varepsilon_1,...,varepsilon_l)in{0,1}^l$, $G=(G_1,...,G_l):R^nrightarrowR^l$ polynomial and $W:=F^{-1}(0)subsetR^n$ where $F:R^nrightarrowR^k$ and $k+lleq n$. Once the smooth case is treated, we intersect these sets with ${ fgeq 0}$ or ${ fleq 0}$, where $f$ is polynomial such that $f^{-1}(0)$ contains a finite number of singularities. Then we state a theorem that makes a link between these caracteristics and some degrees of mappings involving the functions $f$, $F$ and $G$. Finally, we study the case where $W$ has a compact singular set.In another part, I work with the radial index, an index defined for singular manifolds. I have a result making a link between the radial index of a vector field V and its opposite -V at a singularity. Finally, I relate that radial index to an intersection index.