Dans ce travail, nous exploitons des propriétés déjà connues pour les systèmes de poids des représentations afin de les définir pour les orbites des groupes de Weyl des algèbres de Lie simples, traitées individuellement, et nous étendons certaines de ces propriétés aux orbites des groupes de Coxeter non cristallographiques. D'abord, nous considérons les points d'une orbite d'un groupe de Coxeter fini G comme les sommets d'un polytope (G-polytope) centré à l'origine d'un espace euclidien réel à n dimensions. Nous introduisons les produits et les puissances symétrisées de G-polytopes et nous en décrivons la décomposition en des sommes de G-polytopes. Plusieurs invariants des G-polytopes sont présentés. Ensuite, les orbites des groupes de Weyl des algèbres de Lie simples de tous types sont réduites en l'union d'orbites des groupes de Weyl des sous-algèbres réductives maximales de l'algèbre. Nous listons les matrices qui transforment les points des orbites de l'algèbre en des points des orbites des sous-algèbres pour tous les cas n<=8 ainsi que pour plusieurs séries infinies des paires d'algèbre-sous-algèbre. De nombreux exemples de règles de branchement sont présentés. Finalement, nous fournissons une nouvelle description, uniforme et complète, des centralisateurs des sous-groupes réguliers maximaux des groupes de Lie simples de tous types et de tous rangs. Nous présentons des formules explicites pour l'action de tels centralisateurs sur les représentations irréductibles des algèbres de Lie simples et montrons qu'elles peuvent être utilisées dans le calcul des règles de branchement impliquant ces sous-algèbres. / In this work, we exploit properties well known for weight systems of representations to define them for individual orbits of the Weyl groups of simple Lie algebras, and we extend some of these properties to orbits of non-crystallographic Coxeter groups. Points of an orbit of a finite Coxeter group G are considered as vertices of a polytope (G-polytope) centered at the origin of a real n-dimensional Euclidean space. Products and symmetrized powers of G-polytopes are introduced and their decomposition into the sums of G-polytopes is described. Several invariants of G-polytopes are found. The orbits of Weyl groups of simple Lie algebras of all types are reduced to the union of orbits of the Weyl groups of maximal reductive subalgebras of the algebra. Matrices transforming points of the orbits of the algebra into points of subalgebra orbits are listed for all cases n<=8 and for many infinite series of algebra-subalgebra pairs. Numerous examples of branching rules are shown. Finally, we present a new, uniform and comprehensive description of centralizers of the maximal regular subgroups in compact simple Lie groups of all types and ranks. Explicit formulas for the action of such centralizers on irreducible representations of the simple Lie algebras are given and shown to have application to computation of the branching rules with respect to these subalgebras.

Dans ce travail, nous exploitons des propriétés déjà connues pour les systèmes de poids des représentations afin de les définir pour les orbites des groupes de Weyl des algèbres de Lie simples, traitées individuellement, et nous étendons certaines de ces propriétés aux orbites des groupes de Coxeter non cristallographiques. D'abord, nous considérons les points d'une orbite d'un groupe de Coxeter fini G comme les sommets d'un polytope (G-polytope) centré à l'origine d'un espace euclidien réel à n dimensions. Nous introduisons les produits et les puissances symétrisées de G-polytopes et nous en décrivons la décomposition en des sommes de G-polytopes. Plusieurs invariants des G-polytopes sont présentés. Ensuite, les orbites des groupes de Weyl des algèbres de Lie simples de tous types sont réduites en l'union d'orbites des groupes de Weyl des sous-algèbres réductives maximales de l'algèbre. Nous listons les matrices qui transforment les points des orbites de l'algèbre en des points des orbites des sous-algèbres pour tous les cas n<=8 ainsi que pour plusieurs séries infinies des paires d'algèbre-sous-algèbre. De nombreux exemples de règles de branchement sont présentés. Finalement, nous fournissons une nouvelle description, uniforme et complète, des centralisateurs des sous-groupes réguliers maximaux des groupes de Lie simples de tous types et de tous rangs. Nous présentons des formules explicites pour l'action de tels centralisateurs sur les représentations irréductibles des algèbres de Lie simples et montrons qu'elles peuvent être utilisées dans le calcul des règles de branchement impliquant ces sous-algèbres. / In this work, we exploit properties well known for weight systems of representations to define them for individual orbits of the Weyl groups of simple Lie algebras, and we extend some of these properties to orbits of non-crystallographic Coxeter groups. Points of an orbit of a finite Coxeter group G are considered as vertices of a polytope (G-polytope) centered at the origin of a real n-dimensional Euclidean space. Products and symmetrized powers of G-polytopes are introduced and their decomposition into the sums of G-polytopes is described. Several invariants of G-polytopes are found. The orbits of Weyl groups of simple Lie algebras of all types are reduced to the union of orbits of the Weyl groups of maximal reductive subalgebras of the algebra. Matrices transforming points of the orbits of the algebra into points of subalgebra orbits are listed for all cases n<=8 and for many infinite series of algebra-subalgebra pairs. Numerous examples of branching rules are shown. Finally, we present a new, uniform and comprehensive description of centralizers of the maximal regular subgroups in compact simple Lie groups of all types and ranks. Explicit formulas for the action of such centralizers on irreducible representations of the simple Lie algebras are given and shown to have application to computation of the branching rules with respect to these subalgebras.

Cette thèse se divise en trois parties qui peuvent être toutes regroupées autour d'une même bannière : l'étude de structures algébriques reliées aux algèbres de type Askey–Wilson. Alors que dans la première partie on s'efforce d'obtenir des interprétations duales (au sens de Howe) de ces algèbres, dans les autres parties on étudie des généralisations de ces algèbres. Des dégénérations de l'algèbre de Sklyanin, générées par des blocs plus fondamentaux que ceux générant les algèbres de type Askey–Wilson, sont étudiées dans la deuxième partie et des généralisations de plus haut rang des algèbres de type Askey–Wilson sont étudiées dans la troisième partie. Dans la première partie, en invoquant la dualité de Howe, deux interprétations duales sont obtenues pour les algèbres de Racah, Bannai–Ito, Askey–Wilson, Higgs, Hahn, \(q\)-Hahn et dual \(-1\) Hahn. La façon dont la dualité de Howe opère est rendue explicite par l'examen de processus de réduction dimensionnelle. Un modèle superintégrable 2D de mécanique quantique superconforme dont l'algèbre de symétrie est celle de type dual \(-1\) Hahn est également introduit et solutionné. Dans la deuxième partie, des algèbres générées par des opérateurs de contiguïté et d'échelle encodant des propriétés de familles de polynômes sont étudiées. Ces opérateurs appartiennent à la classe des opérateurs de Sklyanin–Heun, qui peuvent être définis sur plusieurs grilles diverses. On découvre qu'ils génèrent des dégénérations de l'algèbre de Sklyanin. On démontre que les représentations irréductibles de dimension finie de ces algèbres ont pour base des familles de para-polynômes. Les grilles linéaires, quadratiques, exponentielles et d'Askey–Wilson sont étudiées et mènent respectivement aux polynômes orthogonaux des familles de para-Krawtchouk, para-Racah, \(q\)-para-Krawtchouk et \(q\)-para-Racah. Enfin, la façon dont les polynômes de para-Krawtchouk et d'autres familles de polynômes orthogonaux sont reliées aux représentations tridiagonales du plan de Jordan déformé est présentée. Dans la dernière partie, on explore des généralisations à plus haut rang pour les algèbres de Racah et Askey–Wilson. Pour ce faire, on étudie les réalisations de ces algèbres en termes de Casimirs intermédiaires. Le rôle de la matrice \(R\) tressée est élucidé : celle-ci permet de relier divers Casimirs intermédiaires entre eux par conjugaison. Un isomorphisme entre l'algèbre de skein du crochet de Kauffman de la sphère à 4 trous et l'algèbre engendrée par les Casimir intermédiaires dans \(U_q(\mathfrak{sl}_2)^{\otimes 3}\) est présenté et permet d'interpréter de façon diagrammatique la conjugaison par la matrice \(R\) tressée mentionnée ci-haut. Finalement, une présentation du centralisateur \(Z_n(\mathfrak{sl}_2)\) de \(U(\mathfrak{sl}_2)\) dans \(U(\mathfrak{sl}_2)^{\otimes n}\) par générateurs et relations est obtenue et on montre que ce centralisateur est isomorphe à un quotient (obtenu explicitement) de l'algèbre de Racah de plus haut rang \(R(n)\). / This thesis is divided in three parts which all orbit around the same theme: the study of algebraic structures related to the algebras of Askey–Wilson type. In the first part we obtain two interpretations that are dual in the sense of Howe for the algebras of Askey–Wilson type. Meanwhile, the other two parts are concerned with generalizations of these algebras. In the second part, we study degenerations of the Sklyanin algebra, which are built out of generators that are more fundamental than those of the Askey–Wilson algebra. In the last part, generalizations of the Askey–Wilson type algebras to higher rank are studied. In the first part, dual interpretations are obtained for the Racah, Bannai–Ito, Askey–Wilson, Higgs, Hahn, \(q\)-Higgs and dual \(-1\) Hahn algebras by invoking Howe duality. The way that this Howe duality operates is made explicit through the examination of a dimensional reduction procedure. A 2D superintegrable superconformal quantum mechanics model, whose symmetry algebra is the one of dual \(-1\) Hahn type, is also introduced and solved. In the second part, we study algebras that are generated by contiguity and ladder operators that encode properties of families of orthogonal polynomials. We show that these operators belong to the Sklyanin–Heun class of operators, which can be defined for various grids. We also show how their algebraic relations correspond to those of degenerations of the Sklyanin algebra. Then, we show how various families of para-polynomials support finite-dimensional irreducible representations of these degenerate algebras. From the linear, quadratic, exponential and Askey–Wilson grids, we are respectively led to the para-Krawtchouk, para-Racah, \(q\)-para-Krawtchouk and \(q\)-para-Racah polynomials. Later, we connect the para-Krawtchouk polynomials (and other families of orthogonal polynomials) to tridiagonal representations of the deformed Jordan plane. In the final part, we explore higher rank generalizations of the Racah and Askey–Wilson algebras. To that end, their realizations in terms of intermediate Casimir elements are studied. The role of the braided \(R\)-matrix is understood as follows: it connects various intermediate Casimir elements through conjugation. We obtain an isomorphism between the Kauffman bracket skein algebra of the four-punctured sphere and the algebra generated by the intermediate Casimir elements in \(U_q(\mathfrak{sl}_2)^{\otimes3}\). This leads to a diagrammatic interpretation of the conjugation by the braided \(R\)-matrix mentioned in the above. Lastly, a presentation of the centralizer \(Z_n(\mathfrak{sl}_2)\) of \(U(\mathfrak{sl}_2)\) in \(U(\mathfrak{sl}_2)^{\otimes n}\) by generators and relations is obtained and we show that this centralizer is isomorphic to a quotient (which we provide explicitly) of the higher rank Racah algebra \(R(n)\).

Mémoire par articles. / Ce mémoire contient trois articles reliés par l'idée sous-jacente d'une généralisation de la dualité de Schur-Weyl. L'objectif principal est d'obtenir une description algébrique du centralisateur de l'image de l'action diagonale de U_q(sl_2) dans le produit tensoriel de trois représentations irréductibles, lorsque q n'est pas une racine de l'unité. La relation entre une algèbre de Askey-Wilson étendue AW(3) et ce centralisateur est examinée à cet effet. Dans le premier article, les éléments du centralisateur de l'action de U_q(sl_2) dans son produit tensoriel triple sont définis à l'aide de la matrice R universelle de U_q(sl_2). Il est montré que ces éléments respectent les relations définissantes de AW(3). Dans le deuxième article, la matrice R universelle de la superalgèbre de Lie osp(1|2) est utilisée de manière similaire avec l'algèbre de Bannai-Ito BI(3). Dans ce cas, le formalisme de la matrice R permet de définir l'algèbre de Bannai-Ito de rang supérieur BI(n) comme le centralisateur de l'action de osp(1|2) dans son produit tensoriel n-fois. Le troisième article propose une conjecture qui établit un isomorphisme entre un quotient de AW(3) et le centralisateur de l'image de l'action diagonale de U_q(sl_2) dans le produit tensoriel de trois représentations irréductibles quelconques. La conjecture est prouvée pour plusieurs cas, et les algèbres de Temperley-Lieb, Birman-Murakami-Wenzl et Temperley-Lieb à une frontière sont retrouvées comme quotients de l'algèbre de Askey-Wilson. / This master thesis contains three articles related by the underlying idea of a generalization of the Schur-Weyl duality. The main objective is to obtain an algebraic description of the centralizer of the image of the diagonal action of U_q(sl_2) in the tensor product of three irreducible representations, when q is not a root of unity. The connection between a centrally extended Askey-Wilson algebra AW(3) and this centralizer is examined for this purpose. In the first article, the elements of the centralizer of the action of U_q(sl_2) in its threefold tensor product are defined with the help of the universal R-matrix of U_q(sl_2). These elements are shown to satisfy the defining relations of AW(3). In the second article, the universal R-matrix of the Lie superalgebra osp(1|2) is used in a similar fashion with the Bannai-Ito algebra BI(3). In this case, the formalism of the R-matrix allows to define the higher rank Bannai-Ito algebra BI(n) as the centralizer of the action of osp(1|2) in its n-fold tensor product. The third article proposes a conjecture that establishes an isomorphism between a quotient of AW(3) and the centralizer of the image of the diagonal action of U_q(sl_2) in the tensor product of any three irreducible representations. The conjecture is proved for several cases, and the Temperley-Lieb, Birman-Murakami-Wenzl and one-boundary Temperley-Lieb algebras are recovered as quotients of the Askey-Wilson algebra.