On s'intéresse dans cette thèse à l'étude de variables aléatoires sur les groupes de Lie compacts classiques. On donne une déformation du calcul de Weingarten tel qu'il a été introduit par B. Collins et P. Sniady. On fait une étude asymptotique du mouvement brownien sur les groupes de Lie compacts de grande dimension en obtenant des nouveaux résultats de fluctuations. Deux nouveaux objets, que l'on appelle champ maître gaussien planaire et champ maître orienté planaire, sont introduits pour décrire le comportement asymptotique des mesures de Yang-Mills pour des groupes de structure de grande dimension.

On s'intéresse dans cette thèse à l'étude de variables aléatoires sur les groupes de Lie compacts classiques. On donne une déformation du calcul de Weingarten tel qu'il a été introduit par B. Collins et P. Sniady. On fait une étude asymptotique du mouvement brownien sur les groupes de Lie compacts de grande dimension en obtenant des nouveaux résultats de fluctuations. Deux nouveaux objets, que l'on appelle champ maître gaussien planaire et champ maître orienté planaire, sont introduits pour décrire le comportement asymptotique des mesures de Yang-Mills pour des groupes de structure de grande dimension. / In the following text, we are interested in the study of Lie-groups valued random variables. We give a deformation of the Weingarten calculus introduced by Benoît Collins and Piotr Sniady. We study the asymptotic behavior of Brownian motion on compact Lie groups in high dimensions and obtain new fluctuations results. Two new objects called the planar gaussian master field and the planar oriented master field are introduced here to describe the asymptotic behavior of the Yang-Mills measure as the dimension of the structure group is large.

Cette thèse porte sur les phénomènes critiques survenant dans les modèles bidimensionnels sur réseau. Les résultats sont l'objet de deux articles : le premier porte sur la mesure d'exposants critiques décrivant des objets géométriques du réseau et, le second, sur la construction d'idempotents projetant sur des modules indécomposables de l'algèbre de Temperley-Lieb pour la chaîne de spins XXZ. Le premier article présente des expériences numériques Monte Carlo effectuées pour une famille de modèles de boucles en phase diluée. Baptisés "dilute loop models (DLM)", ceux-ci sont inspirés du modèle O(n) introduit par Nienhuis (1990). La famille est étiquetée par les entiers relativement premiers p et p' ainsi que par un paramètre d'anisotropie. Dans la limite thermodynamique, il est pressenti que le modèle DLM(p,p') soit décrit par une théorie logarithmique des champs conformes de charge centrale c(\kappa)=13-6(\kappa+1/\kappa), où \kappa=p/p' est lié à la fugacité du gaz de boucles \beta=-2\cos\pi/\kappa, pour toute valeur du paramètre d'anisotropie. Les mesures portent sur les exposants critiques représentant la loi d'échelle des objets géométriques suivants : l'interface, le périmètre externe et les liens rouges. L'algorithme Metropolis-Hastings employé, pour lequel nous avons introduit de nombreuses améliorations spécifiques aux modèles dilués, est détaillé. Un traitement statistique rigoureux des données permet des extrapolations coïncidant avec les prédictions théoriques à trois ou quatre chiffres significatifs, malgré des courbes d'extrapolation aux pentes abruptes. Le deuxième article porte sur la décomposition de l'espace de Hilbert \otimes^nC^2 sur lequel la chaîne XXZ de n spins 1/2 agit. La version étudiée ici (Pasquier et Saleur (1990)) est décrite par un hamiltonien H_{XXZ}(q) dépendant d'un paramètre q\in C^\times et s'exprimant comme une somme d'éléments de l'algèbre de Temperley-Lieb TL_n(q). Comme pour les modèles dilués, le spectre de la limite continue de H_{XXZ}(q) semble relié aux théories des champs conformes, le paramètre q déterminant la charge centrale. Les idempotents primitifs de End_{TL_n}\otimes^nC^2 sont obtenus, pour tout q, en termes d'éléments de l'algèbre quantique U_qsl_2 (ou d'une extension) par la dualité de Schur-Weyl quantique. Ces idempotents permettent de construire explicitement les TL_n-modules indécomposables de \otimes^nC^2. Ceux-ci sont tous irréductibles, sauf si q est une racine de l'unité. Cette exception est traitée séparément du cas où q est générique. Les problèmes résolus par ces articles nécessitent une grande variété de résultats et d'outils. Pour cette raison, la thèse comporte plusieurs chapitres préparatoires. Sa structure est la suivante. Le premier chapitre introduit certains concepts communs aux deux articles, notamment une description des phénomènes critiques et de la théorie des champs conformes. Le deuxième chapitre aborde brièvement la question des champs logarithmiques, l'évolution de Schramm-Loewner ainsi que l'algorithme de Metropolis-Hastings. Ces sujets sont nécessaires à la lecture de l'article "Geometric Exponents of Dilute Loop Models" au chapitre 3. Le quatrième chapitre présente les outils algébriques utilisés dans le deuxième article, "The idempotents of the TL_n-module \otimes^nC^2 in terms of elements of U_qsl_2", constituant le chapitre 5. La thèse conclut par un résumé des résultats importants et la proposition d'avenues de recherche qui en découlent. / This thesis is concerned with the study of critical phenomena for two-dimensional models on the lattice. Its results are contained in two articles: A first one, devoted to measuring geometric exponents, and a second one to the construction of idempotents for the XXZ spin chain projecting on indecomposable modules of the Temperley-Lieb algebra. Monte Carlo experiments, for a family of loop models in their dilute phase, are presented in the first article. Coined "dilute loop models (DLM)", this family is based upon an O(n) model introduced by Nienhuis (1990). It is defined by two coprime integers p,p' and an anisotropy parameter. In the continuum limit, DLM(p,p') is expected to yield a logarithmic conformal field theory of central charge c(\kappa)=13-6(\kappa+1/\kappa), where the ratio \kappa=p/p' is related to the loop gas fugacity \beta=-2\cos\pi/\kappa. Critical exponents pertaining to valuable geometrical objects, namely the hull, external perimeter and red bonds, were measured. The Metropolis-Hastings algorithm, as well as several methods improving its efficiency, are presented. Despite the extrapolation of curves presenting large slopes, values as close as three to four digits from the theoretical predictions were attained through rigorous statistical analysis. The second article describes the decomposition of the XXZ spin chain Hilbert space \otimes^nC^2 using idempotents. The model of interest (Pasquier & Saleur (1990)) is described by a parameter-dependent Hamiltonian H_{XXZ}(q), q\in C^\times, expressible as a sum of elements of the Temperley-Lieb algebra TL_n(q). The spectrum of H_{XXZ}(q) in the continuum limit is also believed to be related to conformal field theories whose central charge is set by q. Using the quantum Schur-Weyl duality, an expression for the primitive idempotents of End_{TL_n}\otimes^nC^2, involving U_qsl_2 elements, is obtained. These idempotents allow for the explicit construction of the indecomposable TL_n-modules of \otimes^nC^2, all of which are irreducible except when q is a root of unity. This case, and the case where q is generic, are treated separately. Since a wide variety of results and tools are required to tackle the problems stated above, this thesis contains many introductory chapters. Its layout is as follows. The first chapter introduces theoretical concepts common to both articles, in particular an overview of critical phenomena and conformal field theory. Before proceeding to the article entitled \emph{Geometric Exponents of Dilute Loop Models} constituting Chapter 3, the second chapter deals briefly with logarithmic conformal fields, Schramm-Loewner evolution and the Metropolis-Hastings algorithm. The fourth chapter defines some algebraic concepts used in the second article, "The idempotents of the TL_n-module \otimes^nC^2 in terms of elements of U_qsl_2" of Chapter 5. A summary of the main results, as well as paths to unexplored questions, are suggested in a final chapter.

Cette thèse porte sur les phénomènes critiques survenant dans les modèles bidimensionnels sur réseau. Les résultats sont l'objet de deux articles : le premier porte sur la mesure d'exposants critiques décrivant des objets géométriques du réseau et, le second, sur la construction d'idempotents projetant sur des modules indécomposables de l'algèbre de Temperley-Lieb pour la chaîne de spins XXZ. Le premier article présente des expériences numériques Monte Carlo effectuées pour une famille de modèles de boucles en phase diluée. Baptisés "dilute loop models (DLM)", ceux-ci sont inspirés du modèle O(n) introduit par Nienhuis (1990). La famille est étiquetée par les entiers relativement premiers p et p' ainsi que par un paramètre d'anisotropie. Dans la limite thermodynamique, il est pressenti que le modèle DLM(p,p') soit décrit par une théorie logarithmique des champs conformes de charge centrale c(\kappa)=13-6(\kappa+1/\kappa), où \kappa=p/p' est lié à la fugacité du gaz de boucles \beta=-2\cos\pi/\kappa, pour toute valeur du paramètre d'anisotropie. Les mesures portent sur les exposants critiques représentant la loi d'échelle des objets géométriques suivants : l'interface, le périmètre externe et les liens rouges. L'algorithme Metropolis-Hastings employé, pour lequel nous avons introduit de nombreuses améliorations spécifiques aux modèles dilués, est détaillé. Un traitement statistique rigoureux des données permet des extrapolations coïncidant avec les prédictions théoriques à trois ou quatre chiffres significatifs, malgré des courbes d'extrapolation aux pentes abruptes. Le deuxième article porte sur la décomposition de l'espace de Hilbert \otimes^nC^2 sur lequel la chaîne XXZ de n spins 1/2 agit. La version étudiée ici (Pasquier et Saleur (1990)) est décrite par un hamiltonien H_{XXZ}(q) dépendant d'un paramètre q\in C^\times et s'exprimant comme une somme d'éléments de l'algèbre de Temperley-Lieb TL_n(q). Comme pour les modèles dilués, le spectre de la limite continue de H_{XXZ}(q) semble relié aux théories des champs conformes, le paramètre q déterminant la charge centrale. Les idempotents primitifs de End_{TL_n}\otimes^nC^2 sont obtenus, pour tout q, en termes d'éléments de l'algèbre quantique U_qsl_2 (ou d'une extension) par la dualité de Schur-Weyl quantique. Ces idempotents permettent de construire explicitement les TL_n-modules indécomposables de \otimes^nC^2. Ceux-ci sont tous irréductibles, sauf si q est une racine de l'unité. Cette exception est traitée séparément du cas où q est générique. Les problèmes résolus par ces articles nécessitent une grande variété de résultats et d'outils. Pour cette raison, la thèse comporte plusieurs chapitres préparatoires. Sa structure est la suivante. Le premier chapitre introduit certains concepts communs aux deux articles, notamment une description des phénomènes critiques et de la théorie des champs conformes. Le deuxième chapitre aborde brièvement la question des champs logarithmiques, l'évolution de Schramm-Loewner ainsi que l'algorithme de Metropolis-Hastings. Ces sujets sont nécessaires à la lecture de l'article "Geometric Exponents of Dilute Loop Models" au chapitre 3. Le quatrième chapitre présente les outils algébriques utilisés dans le deuxième article, "The idempotents of the TL_n-module \otimes^nC^2 in terms of elements of U_qsl_2", constituant le chapitre 5. La thèse conclut par un résumé des résultats importants et la proposition d'avenues de recherche qui en découlent. / This thesis is concerned with the study of critical phenomena for two-dimensional models on the lattice. Its results are contained in two articles: A first one, devoted to measuring geometric exponents, and a second one to the construction of idempotents for the XXZ spin chain projecting on indecomposable modules of the Temperley-Lieb algebra. Monte Carlo experiments, for a family of loop models in their dilute phase, are presented in the first article. Coined "dilute loop models (DLM)", this family is based upon an O(n) model introduced by Nienhuis (1990). It is defined by two coprime integers p,p' and an anisotropy parameter. In the continuum limit, DLM(p,p') is expected to yield a logarithmic conformal field theory of central charge c(\kappa)=13-6(\kappa+1/\kappa), where the ratio \kappa=p/p' is related to the loop gas fugacity \beta=-2\cos\pi/\kappa. Critical exponents pertaining to valuable geometrical objects, namely the hull, external perimeter and red bonds, were measured. The Metropolis-Hastings algorithm, as well as several methods improving its efficiency, are presented. Despite the extrapolation of curves presenting large slopes, values as close as three to four digits from the theoretical predictions were attained through rigorous statistical analysis. The second article describes the decomposition of the XXZ spin chain Hilbert space \otimes^nC^2 using idempotents. The model of interest (Pasquier & Saleur (1990)) is described by a parameter-dependent Hamiltonian H_{XXZ}(q), q\in C^\times, expressible as a sum of elements of the Temperley-Lieb algebra TL_n(q). The spectrum of H_{XXZ}(q) in the continuum limit is also believed to be related to conformal field theories whose central charge is set by q. Using the quantum Schur-Weyl duality, an expression for the primitive idempotents of End_{TL_n}\otimes^nC^2, involving U_qsl_2 elements, is obtained. These idempotents allow for the explicit construction of the indecomposable TL_n-modules of \otimes^nC^2, all of which are irreducible except when q is a root of unity. This case, and the case where q is generic, are treated separately. Since a wide variety of results and tools are required to tackle the problems stated above, this thesis contains many introductory chapters. Its layout is as follows. The first chapter introduces theoretical concepts common to both articles, in particular an overview of critical phenomena and conformal field theory. Before proceeding to the article entitled \emph{Geometric Exponents of Dilute Loop Models} constituting Chapter 3, the second chapter deals briefly with logarithmic conformal fields, Schramm-Loewner evolution and the Metropolis-Hastings algorithm. The fourth chapter defines some algebraic concepts used in the second article, "The idempotents of the TL_n-module \otimes^nC^2 in terms of elements of U_qsl_2" of Chapter 5. A summary of the main results, as well as paths to unexplored questions, are suggested in a final chapter.

Ce mémoire révèle la structure des représentations des algèbres de Temperley-Lieb affines aTLN(β) sur les espaces propres CN(q,v,d) (du spin total Sz) des chaînes de spins XXZ périodiques. En particulier, on y démontre que ces représentations, introduites dans Martin/Saleur et Morin-Duchesne/Saint-Aubin, admettent toujours une structure similaire à celle des représentations de Feigin-Fuchs de l’algèbre de Virasoro Vir et que les différentes possibilités, pour la structure d’un Vir-module de Feigin-Fuchs, sont toutes réalisées par un espace propre donné. On introduit aussi une pléthore d’applications aTLN(β)-linéaires entre différents espaces propres en considérant une action naturelle de l’extension de Lusztig LUqsl2 sur les chaînes XXZ périodiques et on caractérise entièrement le noyau ainsi que l’image de ces applications à l’aide de longues suites exactes et d’une décomposition de Clebsch-Gordan généralisée. Finalement, on identifie l’image du morphisme iNd(q,v) défini par Morin-Duchesne/Saint-Aubin et on donne également une nouvelle réalisation explicite pour les couvertures projectives de la catégorie modLUqsl2. / This master’s thesis reveals the structure of the representations of the affine Temperley-Lieb algebras aTLN(β) on the eigenspaces CN(q,v,d) (of the total spin Sz) of the periodic XXZ spin chains. In particular, we show that these representations, introduced by Martin/Saleur and Morin-Duchesne/Saint-Aubin, always admit a structure akin that of the Feigin-Fuchs representations of the Virasoro Vir algebra and that the different possibilities, for the structure of a Feigin-Fuchs Vir-module, are all realized by a given eigenspace. We also give a plethora of aTLN(β)-linear maps between different eigenspaces by considering a natural action of the Lusztig extension LUqsl2 on the periodic XXZ chains and we then fully characterize the kernel and image of these morphisms by means of long exact sequences and a generalized Clebsch-Gordan decomposition. Finally, we explicitly give the image of the intertwiner iNd(q,v) defined by Morin-Duchesne/Saint-Aubin and we also introduce a new explicit realization for the projective covers in the category modLUqsl2.

Ce mémoire porte sur la structure des centralisateurs de l'action de l'extension de Lusztig LUqsl2 du groupe quantique Uqsl2 sur les produits tensoriels de la forme \(M\otimes L_q(1)^{\otimes n}\) en q une racine de l'unité. Ici, n est un entier positif, Lq(1) est la représentation fondamentale de dimension 2 de LUqsl2 et M est un LUqsl2-module simple ou projectif. Dans le cas des modules simples, on analyse l'action du groupe de tresses de type B sur les modules \(L_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n}\) via les matrices R et on identifie sa structure comme quotient de l'algèbre de Temperley-Lieb à une frontière TLbn. Dans le cas des modules projectifs, on utilise les idempotents de (l,p)-Jones--Wenzl [BLS19, MS22, STWZ23] pour exprimer \(\text{End}_{\mathcal{L}U_q(\mathfrak{sl}_2)}(P_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n})\) comme une algèbre de Temperley-Lieb valencée [Spe21]. Le chapitre 1 introduit les algèbres de Temperley-Lieb et de Temperley-Lieb à une frontière, par générateurs et relations et de façon diagrammatique, en faisant le lien avec le langage des algèbres cellulaires. Le chapitre 2 présente, après une courte introduction au langage des algèbres de Hopf, le groupe quantique Uqsl2 et l'extension de Lusztig LUqsl2 en q une racine de l'unité. Une partie de sa théorie de la représentation est présentée, ainsi que les matrices R et la dualité de Schur-Weyl quantique. Le chapitre 3 se penche sur l'étude de l'algèbre \(\text{End}_{\mathcal{L}U_q(\mathfrak{sl}_2)}(L_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n})\). En particulier, il montre que l'action du groupe de tresses de type B sur cet espace se factorise par l'algèbre TLbn, puis montre que le noyau de cette représentation est un idéal engendré par un préidempotent de Jones-Wenzl. Le chapitre 4 présente la construction des idempotents de (l,p)-Jones-Wenzl et la preuve de leurs propriétés clés. Il fait ensuite le lien avec l'algèbre \(\text{End}_{\mathcal{L}U_q(\mathfrak{sl}_2)}(P_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n})\) et montre qu'elle est isomorphe à un sandwich de l'algèbre de Temperley-Lieb par ces idempotents. / This thesis studies the structure of the centralizers of the action of Lusztig's extension LUqsl2 of the quantum group Uqsl2 on tensor products of the form \(M\otimes L_q(1)^{\otimes n}\) when q is a root of unity. Here, n is a positive integer, Lq(1) is the 2-dimensional fundamental representation of LUqsl2 and M is a simple or projective module over LUqsl2. In the case of simple modules, we analyze the action of the type B braid group on the modules \(L_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n}\) via the R-matrices and we identify its structure as a quotient of the one-boundary Temperley-Lieb algebra TLbn. In the case of projective modules, we use the (l,p)-Jones-Wenzl idempotents [BLS19, MS22, STWZ23] to write \(\text{End}_{\mathcal{L}U_q(\mathfrak{sl}_2)}(P_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n})\) as a valenced Temperley-Lieb algebra [Spe21]. Chapter 1 introduces the Temperley-Lieb algebras and the one-boundary Temperley-Lieb algebras, both by generators and relations and diagrammatically, also exhibiting their cellular structure. Chapter 2 gives an introduction to the language of Hopf algebras, then presents the quantum group Uqsl2 and Lusztig's extension LUqsl2 at q a root of unity. Part of its representation theory is given, as well as its R-matrices and quantum Schur-Weyl duality. Chapter 3 focuses on the study of the algebra \(\text{End}_{\mathcal{L}U_q(\mathfrak{sl}_2)}(L_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n})\). In particular, it shows that the type B braid group action factorizes through the algebra TLbn, then shows that the kernel of this representation is an ideal generated by a Jones-Wenzl preidempotent. Chapter 4 gives the construction of (l,p)-Jones-Wenzl idempotents and proves their key properties. It then makes explicitly the link with the algebra \(\text{End}_{\mathcal{L}U_q(\mathfrak{sl}_2)}(P_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n})\) and shows that it is isomorphic to a sandwich of the Temperley-Lieb algebra by those idempotents.

Mémoire par articles. / Ce mémoire contient trois articles reliés par l'idée sous-jacente d'une généralisation de la dualité de Schur-Weyl. L'objectif principal est d'obtenir une description algébrique du centralisateur de l'image de l'action diagonale de U_q(sl_2) dans le produit tensoriel de trois représentations irréductibles, lorsque q n'est pas une racine de l'unité. La relation entre une algèbre de Askey-Wilson étendue AW(3) et ce centralisateur est examinée à cet effet. Dans le premier article, les éléments du centralisateur de l'action de U_q(sl_2) dans son produit tensoriel triple sont définis à l'aide de la matrice R universelle de U_q(sl_2). Il est montré que ces éléments respectent les relations définissantes de AW(3). Dans le deuxième article, la matrice R universelle de la superalgèbre de Lie osp(1|2) est utilisée de manière similaire avec l'algèbre de Bannai-Ito BI(3). Dans ce cas, le formalisme de la matrice R permet de définir l'algèbre de Bannai-Ito de rang supérieur BI(n) comme le centralisateur de l'action de osp(1|2) dans son produit tensoriel n-fois. Le troisième article propose une conjecture qui établit un isomorphisme entre un quotient de AW(3) et le centralisateur de l'image de l'action diagonale de U_q(sl_2) dans le produit tensoriel de trois représentations irréductibles quelconques. La conjecture est prouvée pour plusieurs cas, et les algèbres de Temperley-Lieb, Birman-Murakami-Wenzl et Temperley-Lieb à une frontière sont retrouvées comme quotients de l'algèbre de Askey-Wilson. / This master thesis contains three articles related by the underlying idea of a generalization of the Schur-Weyl duality. The main objective is to obtain an algebraic description of the centralizer of the image of the diagonal action of U_q(sl_2) in the tensor product of three irreducible representations, when q is not a root of unity. The connection between a centrally extended Askey-Wilson algebra AW(3) and this centralizer is examined for this purpose. In the first article, the elements of the centralizer of the action of U_q(sl_2) in its threefold tensor product are defined with the help of the universal R-matrix of U_q(sl_2). These elements are shown to satisfy the defining relations of AW(3). In the second article, the universal R-matrix of the Lie superalgebra osp(1|2) is used in a similar fashion with the Bannai-Ito algebra BI(3). In this case, the formalism of the R-matrix allows to define the higher rank Bannai-Ito algebra BI(n) as the centralizer of the action of osp(1|2) in its n-fold tensor product. The third article proposes a conjecture that establishes an isomorphism between a quotient of AW(3) and the centralizer of the image of the diagonal action of U_q(sl_2) in the tensor product of any three irreducible representations. The conjecture is proved for several cases, and the Temperley-Lieb, Birman-Murakami-Wenzl and one-boundary Temperley-Lieb algebras are recovered as quotients of the Askey-Wilson algebra.