Soit $p in N^*$. On définit une famille d'idempotents (et de nilpotents) des algèbres de Temperley-Lieb aux racines $4p$-ième de l'unité qui généralise les idempotents de Jones-Wenzl usuels. Ces nouveaux idempotents sont associés aux représentations simples et indécomposables projectives de dimension finie du groupe quantique restreint $Uq$, où $q$ est une racine $2p$-ième de l'unité. A l'instar de la théorie des champs quantique topologique (TQFT) de [BHMV95], ils fournissent une base canonique de classes d'écheveaux coloriés pour définir des représentations des groupes de difféotopie des surfaces. Dans le cas du tore, cette base nous permet d'obtenir une correspondance partielle entre les actions de la vrille négative et du bouclage, et la représentation de $SL_2(Z)$ de [LM94] induite sur le centre de $Uq$, qui étend non trivialement de la représentation de $SL_2(Z)$ obtenue par la TQFT de [RT91]. / Let $p in N^*$. We define a family of idempotents (and nilpotents) in the Temperley-Lieb algebras at $4p$-th roots of unity which generalizes the usual Jones-Wenzl idempotents. These new idempotents correspond to finite dimentional simple and projective indecomposable representations of the restricted quantum group $Uq$, where $q$ is a $2p$-th root of unity. In the manner of the [BHMV95] topological quantum field theorie (TQFT), they provide a canonical basis in colored skein modules to define mapping class groups representations. In the torus case, this basis allows us to obtain a partial match between the negative twist and the buckling actions, and the [LM94] induced representation of $SL_2(Z)$ on the center of $Uq$, which extends non trivially the [RT91] representation of $SL_2(Z)$.

Ce mémoire porte sur la structure des centralisateurs de l'action de l'extension de Lusztig LUqsl2 du groupe quantique Uqsl2 sur les produits tensoriels de la forme \(M\otimes L_q(1)^{\otimes n}\) en q une racine de l'unité. Ici, n est un entier positif, Lq(1) est la représentation fondamentale de dimension 2 de LUqsl2 et M est un LUqsl2-module simple ou projectif. Dans le cas des modules simples, on analyse l'action du groupe de tresses de type B sur les modules \(L_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n}\) via les matrices R et on identifie sa structure comme quotient de l'algèbre de Temperley-Lieb à une frontière TLbn. Dans le cas des modules projectifs, on utilise les idempotents de (l,p)-Jones--Wenzl [BLS19, MS22, STWZ23] pour exprimer \(\text{End}_{\mathcal{L}U_q(\mathfrak{sl}_2)}(P_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n})\) comme une algèbre de Temperley-Lieb valencée [Spe21]. Le chapitre 1 introduit les algèbres de Temperley-Lieb et de Temperley-Lieb à une frontière, par générateurs et relations et de façon diagrammatique, en faisant le lien avec le langage des algèbres cellulaires. Le chapitre 2 présente, après une courte introduction au langage des algèbres de Hopf, le groupe quantique Uqsl2 et l'extension de Lusztig LUqsl2 en q une racine de l'unité. Une partie de sa théorie de la représentation est présentée, ainsi que les matrices R et la dualité de Schur-Weyl quantique. Le chapitre 3 se penche sur l'étude de l'algèbre \(\text{End}_{\mathcal{L}U_q(\mathfrak{sl}_2)}(L_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n})\). En particulier, il montre que l'action du groupe de tresses de type B sur cet espace se factorise par l'algèbre TLbn, puis montre que le noyau de cette représentation est un idéal engendré par un préidempotent de Jones-Wenzl. Le chapitre 4 présente la construction des idempotents de (l,p)-Jones-Wenzl et la preuve de leurs propriétés clés. Il fait ensuite le lien avec l'algèbre \(\text{End}_{\mathcal{L}U_q(\mathfrak{sl}_2)}(P_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n})\) et montre qu'elle est isomorphe à un sandwich de l'algèbre de Temperley-Lieb par ces idempotents. / This thesis studies the structure of the centralizers of the action of Lusztig's extension LUqsl2 of the quantum group Uqsl2 on tensor products of the form \(M\otimes L_q(1)^{\otimes n}\) when q is a root of unity. Here, n is a positive integer, Lq(1) is the 2-dimensional fundamental representation of LUqsl2 and M is a simple or projective module over LUqsl2. In the case of simple modules, we analyze the action of the type B braid group on the modules \(L_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n}\) via the R-matrices and we identify its structure as a quotient of the one-boundary Temperley-Lieb algebra TLbn. In the case of projective modules, we use the (l,p)-Jones-Wenzl idempotents [BLS19, MS22, STWZ23] to write \(\text{End}_{\mathcal{L}U_q(\mathfrak{sl}_2)}(P_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n})\) as a valenced Temperley-Lieb algebra [Spe21]. Chapter 1 introduces the Temperley-Lieb algebras and the one-boundary Temperley-Lieb algebras, both by generators and relations and diagrammatically, also exhibiting their cellular structure. Chapter 2 gives an introduction to the language of Hopf algebras, then presents the quantum group Uqsl2 and Lusztig's extension LUqsl2 at q a root of unity. Part of its representation theory is given, as well as its R-matrices and quantum Schur-Weyl duality. Chapter 3 focuses on the study of the algebra \(\text{End}_{\mathcal{L}U_q(\mathfrak{sl}_2)}(L_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n})\). In particular, it shows that the type B braid group action factorizes through the algebra TLbn, then shows that the kernel of this representation is an ideal generated by a Jones-Wenzl preidempotent. Chapter 4 gives the construction of (l,p)-Jones-Wenzl idempotents and proves their key properties. It then makes explicitly the link with the algebra \(\text{End}_{\mathcal{L}U_q(\mathfrak{sl}_2)}(P_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n})\) and shows that it is isomorphic to a sandwich of the Temperley-Lieb algebra by those idempotents.

Ce mémoire étudie la théorie de la représentation des algèbres de Temperley-Lieb à couture Bn,k (β) et plus particulièrement la famille exceptionnelle des algèbres à couture Bn,l (β). Les algèbres à couture sont paramétrées par deux entiers positifs et un paramètre complexe q ∈ ℂˣ tel que β = q + q⁻¹. La famille Bn,l (β) fait intervenir un entier positif l satisfaisant q²ˡ = 1. Les algèbres à couture ont été introduites par Morin-Duchesne, Rasmussen et Ridout et elles ont été étudiés par Langlois-Rémillard et Saint-Aubin lorsqu'elles ne font pas partie d'une certaine famille dite exceptionnelle. Il a été souligné par Morin-Duchesne, Rasmussen et Ridout que la famille manquante nécessiterait probablement une analyse particulière. Ce mémoire a comme objectif d'introduire des outils servant au traitement de la famille manquante. Plus particulièrement, en réinterprétant les relations définissant les algèbres à couture, l'algèbre Bn,l (β) est identifiée à un quotient de l'algèbre à une frontière par un idéal nilpotent engendré par un élément généralisant les projecteurs de Wenzl-Jones. / This thesis studies the representation theory of the Temperley-Lieb seam algebras Bn,k (β), more specifically the exceptionnal family of seam algebras Bn,l (β). The seam algebras are parametrized by two positive integers and one complex parameter q ∈ ℂˣ such that β = q + q⁻¹. The family Bn,l (β) involves a positive integer l satisfying q²ˡ = 1. The seam algebras were introduced by Morin-Duchesne, Rasmussen and Ridout and they were studied by Langlois-Rémillard and Saint-Aubin when they are not part of a particular case which is called exceptionnal. It was highlighted by Morin-Duchesne, Rasmussen and Ridout that the missing cases would probably need a separate analysis. This thesis has the objective of introducing tools which render the study of those missing cases possible. More specifically, by reinterpreting the defining relations of the seam algebras, the algebras Bn,l (β) are redefined as a quotient of the one boundary algebras by a nilpotent ideal generated by an element which generalises the Wenzl-Jones projectors.

Ce mémoire révèle la structure des représentations des algèbres de Temperley-Lieb affines aTLN(β) sur les espaces propres CN(q,v,d) (du spin total Sz) des chaînes de spins XXZ périodiques. En particulier, on y démontre que ces représentations, introduites dans Martin/Saleur et Morin-Duchesne/Saint-Aubin, admettent toujours une structure similaire à celle des représentations de Feigin-Fuchs de l’algèbre de Virasoro Vir et que les différentes possibilités, pour la structure d’un Vir-module de Feigin-Fuchs, sont toutes réalisées par un espace propre donné. On introduit aussi une pléthore d’applications aTLN(β)-linéaires entre différents espaces propres en considérant une action naturelle de l’extension de Lusztig LUqsl2 sur les chaînes XXZ périodiques et on caractérise entièrement le noyau ainsi que l’image de ces applications à l’aide de longues suites exactes et d’une décomposition de Clebsch-Gordan généralisée. Finalement, on identifie l’image du morphisme iNd(q,v) défini par Morin-Duchesne/Saint-Aubin et on donne également une nouvelle réalisation explicite pour les couvertures projectives de la catégorie modLUqsl2. / This master’s thesis reveals the structure of the representations of the affine Temperley-Lieb algebras aTLN(β) on the eigenspaces CN(q,v,d) (of the total spin Sz) of the periodic XXZ spin chains. In particular, we show that these representations, introduced by Martin/Saleur and Morin-Duchesne/Saint-Aubin, always admit a structure akin that of the Feigin-Fuchs representations of the Virasoro Vir algebra and that the different possibilities, for the structure of a Feigin-Fuchs Vir-module, are all realized by a given eigenspace. We also give a plethora of aTLN(β)-linear maps between different eigenspaces by considering a natural action of the Lusztig extension LUqsl2 on the periodic XXZ chains and we then fully characterize the kernel and image of these morphisms by means of long exact sequences and a generalized Clebsch-Gordan decomposition. Finally, we explicitly give the image of the intertwiner iNd(q,v) defined by Morin-Duchesne/Saint-Aubin and we also introduce a new explicit realization for the projective covers in the category modLUqsl2.

Les algèbres de Temperley–Lieb de type B, aussi appelées algèbres de Temperley–Lieb à une frontière, sont une famille d’algèbres associatives unitaires de dimension finie généralisant les algèbres de Temperley–Lieb. Elles ont été introduites en 1992 par P.P. Martin et H. Saleur pour la résolution de modèles en mécanique statistique [MS94], mais elles ont rapidement pris de l’importance en théorie de la représentation suite aux travaux de P.P. Martin et D. Woodcock [MW00] [MW03], qui montrent qu’elles s’obtiennent comme quotient d’al- gèbres de Hecke cyclotomiques et qui observent des liens profonds avec la théorie de Lie. Ces quotients sont liés aux algèbres de Khovanov–Lauda–Rouquier (KLR) par les travaux de Brundan et Kleshchev [BK09]; c’est à l’aide des algèbres KLR et de leur formulation diagrammatique que les résultats de ce mémoire seront obtenus. Elles seront maintenant appelées algèbres blob. Ce mémoire porte sur la théorie de la représentation de certains blocs des algèbres blob. Plus précisément, nous trouvons les carquois et relations décrivant les catégories de modules des blocs réguliers en caractéristique nulle. Les résultats sont obtenus par calcul diagram- matique, en utilisant la base cellulaire construite par Plaza–Ryom-Hansen [PRH14] et les idempotents primitifs de Hazi–Martin–Parker [HMP21]. Structure du mémoire: Le premier chapitre rappelle brièvement les notions algébriques qui seront utilisées. Le deuxième chapitre présente les algèbres blob de façon algébrique et diagrammatique, puis plusieurs résultats connus sur celles-ci. Les troisième et quatrième chapitres contiennent tous les résultats originaux, c’est-à-dire le calcul du carquois et relations pour les blocs réguliers. / The Temperley–Lieb algebras of type B, also known as one-boundary Temperley–Lieb al- gebras, are a family of unitary associative algebras of finite dimension that generalize the Temperley–Lieb algebras. They were introduced in 1992 by P.P Martin and H. Saleur for solving models in statistical mechanics [MS94] but they quickly became important in rep- resentation theory following the work of P.P. Martin and D. Woodcock [MW00] [MW03], who showed that they can be realized as quotients of cyclotomic Hecke algebras and observed deep connections with Lie theory. These quotients are related to Khovanov–Lauda–Rouquier (KLR) algebras through the work of Brundan and Kleshchev [BK09]; it is with the help of KLR algebras and their diagrammatic presentation that the results of this thesis will be obtained. They will now be referred to as blob algebras. This thesis focuses on the representation theory of certain blocks of blob algebras. Specif- ically, we find the quivers and relations describing the module categories of regular blocks in characteristic zero. The results are obtained through diagrammatic calculus, using the cellular basis constructed by Plaza–Ryom-Hansen [PRH14] and the primitive idempotents of Hazi–Martin–Parker [HMP21]. Structure: The first chapter briefly recalls the algebraic concepts that will be used. The second chapter presents blob algebras in both algebraic and diagrammatic ways, along with several known results about them. The third and fourth chapters contain all the original results, namely the calculation of quivers and relations for regular blocks.

Cotutelle de thèse avec Université Paris Cité / Cette thèse s'inscrit dans le vaste domaine de la théorie des représentations des groupes quantiques et des algèbres y étant reliées. Elle est divisée en trois sous-projets, tous motivés par des problèmes provenant de la théorie des systèmes intégrables quantiques et de l'étude des algèbres amassées. La thèse a donné lieu à deux articles publiés et à une prépublication. Le premier sous-projet s’intéresse à la structure algébrique d’une famille remarquable de systèmes physiques: les chaînes de spins XXZ périodiques. Le résultat central du sous-projet est la description explicite et totale de la structure de Jordan–Hölder de ces chaînes de spins pour une action naturelle des algèbres de Temperley–Lieb affines. D’autres résultats issus de ce sous-projet contiennent : une description explicite de la structure des modules projectifs de dimension finie du groupe quantique Uqsl2 (en q racine de l’unité) et une généralisation partielle de la célèbre dualité de Schur–Weyl quantique. Le second sous-projet s'intéresse à la construction de R-matrices pour la catégorie O de représentations de la sous-algèbre de Borel d'une algèbre de lacets quantique arbitraire. Les résultats principaux du projet sont la définition d'un foncteur F inversible et exact liant la catégorie O de l'algèbre de Borel Uq(b) à celle de Uq'(b) (pour q'=1/q) avec la preuve que ce foncteur F intervertit les sous-catégories O^± de Hernandez–Leclerc (tout en étant compatible avec les produits tensoriels et la simplicité des modules). Ces résultats, qui répondent à une question de Hernandez–Leclerc, permettent de construire des R-matrices pour la sous-catégorie O^+ via des R-matrices ``duales" (définies récemment par Hernandez pour O^-) et peuvent servir à déduire de nouvelles relations pour l'anneau de Grothendieck de la catégorie O. Enfin, le dernier sous-projet introduit la notion d'inflations pour les représentations des algèbres affines quantiques décalées. Ces inflations, qui sont des préimages particulières pour certains foncteurs de restriction canoniques issus des inclusions de diagrammes de Dynkin, simplifient l'étude des modules sur les algèbres affines quantiques décalées et ont, via ce fait, plusieurs applications en théorie des systèmes intégrables. Le résultat principal de ce dernier sous-projet est un théorème d'existence pour les inflations d'objets simples de la catégorie O^sh en type A–B–G (ou en tout type pour les simples de dimension finie de cette catégorie). / This thesis falls within the study of the representation theory of quantum groups and of related algebras. It is divided into three subprojects, all motivated by problems arising from the theory of quantum integrable systems and the study of cluster algebras. The thesis has resulted in two published articles and one prepublication. The first subproject focuses on the algebraic structure of a remarkable family of physical systems: the periodic XXZ spin chains. The principal result of the subproject is the explicit and complete description of the Jordan–Hölder structure of these chains for a natural action of the affine Temperley–Lieb algebras. Other results from this subproject include an explicit description of the structure of finite-dimensional projective modules for the quantum group Uqsl2 (at q a root of unity) and a partial generalization of the quantum Schur-Weyl duality. The second subproject tackles the problem of constructing R-matrices for the category O associated to the Borel subalgebra of an arbitrary quantum loop algebra. The main results of the subproject are the definition of an exact invertible functor F linking the category O of the Borel algebra Uq(b) to that of Uq'(b) (for q'=1/q) with the proof that this functor interchanges the subcategories O^± of Hernandez–Leclerc (while being also compatible with tensor products and irreducibility). These results, which answer a question of Hernandez–Leclerc, enable the construction of R-matrices for the subcategory O^+ via ``dual'' R-matrices (in O^-) and allow the deduction of new relations for the Grothendieck ring of the category O. At last, the third subproject introduces the concept of inflations for representations of shifted quantum affine algebras. These inflations, which are special preimages for canonical restriction functors coming from Dynkin diagrams inclusions, simplify the study of modules over shifted quantum affine algebras and have, by this fact, many applications in the theory of integrable systems. The central result of this final subproject is an existence theorem for inflations of simple modules of the category O^sh in type A–B–G (or in any type for finite-dimensional simple modules of this category).