Soit $p in N^*$. On définit une famille d'idempotents (et de nilpotents) des algèbres de Temperley-Lieb aux racines $4p$-ième de l'unité qui généralise les idempotents de Jones-Wenzl usuels. Ces nouveaux idempotents sont associés aux représentations simples et indécomposables projectives de dimension finie du groupe quantique restreint $Uq$, où $q$ est une racine $2p$-ième de l'unité. A l'instar de la théorie des champs quantique topologique (TQFT) de [BHMV95], ils fournissent une base canonique de classes d'écheveaux coloriés pour définir des représentations des groupes de difféotopie des surfaces. Dans le cas du tore, cette base nous permet d'obtenir une correspondance partielle entre les actions de la vrille négative et du bouclage, et la représentation de $SL_2(Z)$ de [LM94] induite sur le centre de $Uq$, qui étend non trivialement de la représentation de $SL_2(Z)$ obtenue par la TQFT de [RT91]. / Let $p in N^*$. We define a family of idempotents (and nilpotents) in the Temperley-Lieb algebras at $4p$-th roots of unity which generalizes the usual Jones-Wenzl idempotents. These new idempotents correspond to finite dimentional simple and projective indecomposable representations of the restricted quantum group $Uq$, where $q$ is a $2p$-th root of unity. In the manner of the [BHMV95] topological quantum field theorie (TQFT), they provide a canonical basis in colored skein modules to define mapping class groups representations. In the torus case, this basis allows us to obtain a partial match between the negative twist and the buckling actions, and the [LM94] induced representation of $SL_2(Z)$ on the center of $Uq$, which extends non trivially the [RT91] representation of $SL_2(Z)$.

Ce mémoire porte sur la structure des centralisateurs de l'action de l'extension de Lusztig LUqsl2 du groupe quantique Uqsl2 sur les produits tensoriels de la forme \(M\otimes L_q(1)^{\otimes n}\) en q une racine de l'unité. Ici, n est un entier positif, Lq(1) est la représentation fondamentale de dimension 2 de LUqsl2 et M est un LUqsl2-module simple ou projectif. Dans le cas des modules simples, on analyse l'action du groupe de tresses de type B sur les modules \(L_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n}\) via les matrices R et on identifie sa structure comme quotient de l'algèbre de Temperley-Lieb à une frontière TLbn. Dans le cas des modules projectifs, on utilise les idempotents de (l,p)-Jones--Wenzl [BLS19, MS22, STWZ23] pour exprimer \(\text{End}_{\mathcal{L}U_q(\mathfrak{sl}_2)}(P_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n})\) comme une algèbre de Temperley-Lieb valencée [Spe21]. Le chapitre 1 introduit les algèbres de Temperley-Lieb et de Temperley-Lieb à une frontière, par générateurs et relations et de façon diagrammatique, en faisant le lien avec le langage des algèbres cellulaires. Le chapitre 2 présente, après une courte introduction au langage des algèbres de Hopf, le groupe quantique Uqsl2 et l'extension de Lusztig LUqsl2 en q une racine de l'unité. Une partie de sa théorie de la représentation est présentée, ainsi que les matrices R et la dualité de Schur-Weyl quantique. Le chapitre 3 se penche sur l'étude de l'algèbre \(\text{End}_{\mathcal{L}U_q(\mathfrak{sl}_2)}(L_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n})\). En particulier, il montre que l'action du groupe de tresses de type B sur cet espace se factorise par l'algèbre TLbn, puis montre que le noyau de cette représentation est un idéal engendré par un préidempotent de Jones-Wenzl. Le chapitre 4 présente la construction des idempotents de (l,p)-Jones-Wenzl et la preuve de leurs propriétés clés. Il fait ensuite le lien avec l'algèbre \(\text{End}_{\mathcal{L}U_q(\mathfrak{sl}_2)}(P_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n})\) et montre qu'elle est isomorphe à un sandwich de l'algèbre de Temperley-Lieb par ces idempotents. / This thesis studies the structure of the centralizers of the action of Lusztig's extension LUqsl2 of the quantum group Uqsl2 on tensor products of the form \(M\otimes L_q(1)^{\otimes n}\) when q is a root of unity. Here, n is a positive integer, Lq(1) is the 2-dimensional fundamental representation of LUqsl2 and M is a simple or projective module over LUqsl2. In the case of simple modules, we analyze the action of the type B braid group on the modules \(L_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n}\) via the R-matrices and we identify its structure as a quotient of the one-boundary Temperley-Lieb algebra TLbn. In the case of projective modules, we use the (l,p)-Jones-Wenzl idempotents [BLS19, MS22, STWZ23] to write \(\text{End}_{\mathcal{L}U_q(\mathfrak{sl}_2)}(P_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n})\) as a valenced Temperley-Lieb algebra [Spe21]. Chapter 1 introduces the Temperley-Lieb algebras and the one-boundary Temperley-Lieb algebras, both by generators and relations and diagrammatically, also exhibiting their cellular structure. Chapter 2 gives an introduction to the language of Hopf algebras, then presents the quantum group Uqsl2 and Lusztig's extension LUqsl2 at q a root of unity. Part of its representation theory is given, as well as its R-matrices and quantum Schur-Weyl duality. Chapter 3 focuses on the study of the algebra \(\text{End}_{\mathcal{L}U_q(\mathfrak{sl}_2)}(L_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n})\). In particular, it shows that the type B braid group action factorizes through the algebra TLbn, then shows that the kernel of this representation is an ideal generated by a Jones-Wenzl preidempotent. Chapter 4 gives the construction of (l,p)-Jones-Wenzl idempotents and proves their key properties. It then makes explicitly the link with the algebra \(\text{End}_{\mathcal{L}U_q(\mathfrak{sl}_2)}(P_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n})\) and shows that it is isomorphic to a sandwich of the Temperley-Lieb algebra by those idempotents.