Ce mémoire étudie la théorie de la représentation des algèbres de Temperley-Lieb à couture Bn,k (β) et plus particulièrement la famille exceptionnelle des algèbres à couture Bn,l (β). Les algèbres à couture sont paramétrées par deux entiers positifs et un paramètre complexe q ∈ ℂˣ tel que β = q + q⁻¹. La famille Bn,l (β) fait intervenir un entier positif l satisfaisant q²ˡ = 1. Les algèbres à couture ont été introduites par Morin-Duchesne, Rasmussen et Ridout et elles ont été étudiés par Langlois-Rémillard et Saint-Aubin lorsqu'elles ne font pas partie d'une certaine famille dite exceptionnelle. Il a été souligné par Morin-Duchesne, Rasmussen et Ridout que la famille manquante nécessiterait probablement une analyse particulière. Ce mémoire a comme objectif d'introduire des outils servant au traitement de la famille manquante. Plus particulièrement, en réinterprétant les relations définissant les algèbres à couture, l'algèbre Bn,l (β) est identifiée à un quotient de l'algèbre à une frontière par un idéal nilpotent engendré par un élément généralisant les projecteurs de Wenzl-Jones. / This thesis studies the representation theory of the Temperley-Lieb seam algebras Bn,k (β), more specifically the exceptionnal family of seam algebras Bn,l (β). The seam algebras are parametrized by two positive integers and one complex parameter q ∈ ℂˣ such that β = q + q⁻¹. The family Bn,l (β) involves a positive integer l satisfying q²ˡ = 1. The seam algebras were introduced by Morin-Duchesne, Rasmussen and Ridout and they were studied by Langlois-Rémillard and Saint-Aubin when they are not part of a particular case which is called exceptionnal. It was highlighted by Morin-Duchesne, Rasmussen and Ridout that the missing cases would probably need a separate analysis. This thesis has the objective of introducing tools which render the study of those missing cases possible. More specifically, by reinterpreting the defining relations of the seam algebras, the algebras Bn,l (β) are redefined as a quotient of the one boundary algebras by a nilpotent ideal generated by an element which generalises the Wenzl-Jones projectors.

Ce mémoire porte sur la structure des centralisateurs de l'action de l'extension de Lusztig LUqsl2 du groupe quantique Uqsl2 sur les produits tensoriels de la forme \(M\otimes L_q(1)^{\otimes n}\) en q une racine de l'unité. Ici, n est un entier positif, Lq(1) est la représentation fondamentale de dimension 2 de LUqsl2 et M est un LUqsl2-module simple ou projectif. Dans le cas des modules simples, on analyse l'action du groupe de tresses de type B sur les modules \(L_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n}\) via les matrices R et on identifie sa structure comme quotient de l'algèbre de Temperley-Lieb à une frontière TLbn. Dans le cas des modules projectifs, on utilise les idempotents de (l,p)-Jones--Wenzl [BLS19, MS22, STWZ23] pour exprimer \(\text{End}_{\mathcal{L}U_q(\mathfrak{sl}_2)}(P_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n})\) comme une algèbre de Temperley-Lieb valencée [Spe21]. Le chapitre 1 introduit les algèbres de Temperley-Lieb et de Temperley-Lieb à une frontière, par générateurs et relations et de façon diagrammatique, en faisant le lien avec le langage des algèbres cellulaires. Le chapitre 2 présente, après une courte introduction au langage des algèbres de Hopf, le groupe quantique Uqsl2 et l'extension de Lusztig LUqsl2 en q une racine de l'unité. Une partie de sa théorie de la représentation est présentée, ainsi que les matrices R et la dualité de Schur-Weyl quantique. Le chapitre 3 se penche sur l'étude de l'algèbre \(\text{End}_{\mathcal{L}U_q(\mathfrak{sl}_2)}(L_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n})\). En particulier, il montre que l'action du groupe de tresses de type B sur cet espace se factorise par l'algèbre TLbn, puis montre que le noyau de cette représentation est un idéal engendré par un préidempotent de Jones-Wenzl. Le chapitre 4 présente la construction des idempotents de (l,p)-Jones-Wenzl et la preuve de leurs propriétés clés. Il fait ensuite le lien avec l'algèbre \(\text{End}_{\mathcal{L}U_q(\mathfrak{sl}_2)}(P_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n})\) et montre qu'elle est isomorphe à un sandwich de l'algèbre de Temperley-Lieb par ces idempotents. / This thesis studies the structure of the centralizers of the action of Lusztig's extension LUqsl2 of the quantum group Uqsl2 on tensor products of the form \(M\otimes L_q(1)^{\otimes n}\) when q is a root of unity. Here, n is a positive integer, Lq(1) is the 2-dimensional fundamental representation of LUqsl2 and M is a simple or projective module over LUqsl2. In the case of simple modules, we analyze the action of the type B braid group on the modules \(L_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n}\) via the R-matrices and we identify its structure as a quotient of the one-boundary Temperley-Lieb algebra TLbn. In the case of projective modules, we use the (l,p)-Jones-Wenzl idempotents [BLS19, MS22, STWZ23] to write \(\text{End}_{\mathcal{L}U_q(\mathfrak{sl}_2)}(P_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n})\) as a valenced Temperley-Lieb algebra [Spe21]. Chapter 1 introduces the Temperley-Lieb algebras and the one-boundary Temperley-Lieb algebras, both by generators and relations and diagrammatically, also exhibiting their cellular structure. Chapter 2 gives an introduction to the language of Hopf algebras, then presents the quantum group Uqsl2 and Lusztig's extension LUqsl2 at q a root of unity. Part of its representation theory is given, as well as its R-matrices and quantum Schur-Weyl duality. Chapter 3 focuses on the study of the algebra \(\text{End}_{\mathcal{L}U_q(\mathfrak{sl}_2)}(L_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n})\). In particular, it shows that the type B braid group action factorizes through the algebra TLbn, then shows that the kernel of this representation is an ideal generated by a Jones-Wenzl preidempotent. Chapter 4 gives the construction of (l,p)-Jones-Wenzl idempotents and proves their key properties. It then makes explicitly the link with the algebra \(\text{End}_{\mathcal{L}U_q(\mathfrak{sl}_2)}(P_q(i)\otimes L_q(1)^{\otimes n})\) and shows that it is isomorphic to a sandwich of the Temperley-Lieb algebra by those idempotents.