Un problème fondamental à résoudre en Automatique réside dans la commande des systèmes incertains qui présentent des contraintes sur les variables de l’entrée, de l’état ou la sortie. Ce problème peut être théoriquement résolu au moyen d’une commande optimale. Cependant la commande optimale par principe n’est pas une commande par retour d’état ou retour de sortie et offre seulement une trajectoire optimale le plus souvent par le biais d’une solution numérique.Par conséquent, dans la pratique, le problème peut être approché par de nombreuses méthodes, tels que”commande over-ride” et ”anti-windup”. Une autre solution, devenu populaire au cours des dernières décennies est la commande prédictive. Selon cette méthode, un problème de la commande optimale est résolu à chaque instant d’échantillonnage, et le composant du vecteur de commande destiné à l’échelon curant est appliquée. En dépit de la montée en puissance des architecture de calcul temps-réel, la commande prédictive est à l’heure actuelle principalement approprié lorsque l’ordre est faible, bien connu, et souvent pour des systèmes linéaires. La version robuste de la commande prédictive est conservatrice et compliquée à mettre en œuvre, tandis que la version explicite de la commande prédictive donnant une solution affine par morceaux implique une compartimentation de l’état-espace en cellules polyédrales, très compliquée.Dans cette thèse, une solution élégante et peu coûteuse en temps de calcul est présentée pour des systèmes linéaire, variant dans le temps ou incertains. Les développements se concentre sur les dynamiques en temps discret avec contraintes polyédriques sur l’entrée et l’état (ou la sortie) des vecteurs, dont les perturbations sont bornées. Cette solution est basée sur l’interpolation entre un correcteur pour la région extérieure qui respecte les contraintes sur l’entrée et de l’état, et un autre pour la région intérieure, ce dernier plus agressif, conçue par n’importe quelle méthode classique, ayant un ensemble robuste positivement invariant associé à l’intérieur des contraintes. Une simple fonction de Lyapunov est utilisée afin d’apporter la preuve de la stabilité en boucle fermée. / A fundamental problem in automatic control is the control of uncertain plants in the presence of input and state or output constraints. An elegant and theoretically most satisfying framework is represented by optimal control policies which, however, rarely gives an analytical feedback solution, and oftentimes builds on numerical solutions (approximations).Therefore, in practice, the problem has seen many ad-hoc solutions, such as override control, anti-windup, as well as modern techniques developed during the last decades usually based on state space models. One of the popular example is Model Predictive Control (MPC) where an optimal control problem is solved at each sampling instant, and the element of the control vector meant for the nearest sampling interval is applied. In spite of the increased computational power of control computers, MPC is at present mainly suitable for low-order, nominally linear systems. The robust version of MPC is conservative and computationally complicated, while the explicit version of MPC that gives an affine state feedback solution involves a very complicated division of the state space into polyhedral cells.In this thesis a novel and computationally cheap solution is presented for linear, time-varying or uncertain, discrete-time systems with polytopic bounded control and state (or output) vectors, with bounded disturbances. The approach is based on the interpolation between a stabilizing, outer controller that respects the control and state constraints, and an inner, more aggressive controller, designed by any method that has a robustly positively invariant set within the constraints. A simple Lyapunov function is used for the proof of closed loop stability.In contrast to MPC, the new interpolation based controller is not necessarily employing an optimization criterion inspired by performance. In its explicit form, the cell partitioning is simpler that the MPC counterpart. For the implicit version, the on-line computational demand can be restricted to the solution of one linear program or quadratic program. Several simulation examples are given, including uncertain linear systems with output feedback and disturbances. Some examples are compared with MPC. The control of a laboratory ball-and-plate system is also demonstrated. It is believed that the new controller might see wide-spread use in industry, including the automotive industry, also for the control of fast, high-order systems with constraints.

Un problème fondamental à résoudre en Automatique réside dans la commande des systèmes incertains qui présentent des contraintes sur les variables de l'entrée, de l'état ou la sortie. Ce problème peut être théoriquement résolu au moyen d'une commande optimale. Cependant la commande optimale par principe n'est pas une commande par retour d'état ou retour de sortie et offre seulement une trajectoire optimale le plus souvent par le biais d'une solution numérique.Par conséquent, dans la pratique, le problème peut être approché par de nombreuses méthodes, tels que"commande over-ride" et "anti-windup". Une autre solution, devenu populaire au cours des dernières décennies est la commande prédictive. Selon cette méthode, un problème de la commande optimale est résolu à chaque instant d'échantillonnage, et le composant du vecteur de commande destiné à l'échelon curant est appliquée. En dépit de la montée en puissance des architecture de calcul temps-réel, la commande prédictive est à l'heure actuelle principalement approprié lorsque l'ordre est faible, bien connu, et souvent pour des systèmes linéaires. La version robuste de la commande prédictive est conservatrice et compliquée à mettre en œuvre, tandis que la version explicite de la commande prédictive donnant une solution affine par morceaux implique une compartimentation de l'état-espace en cellules polyédrales, très compliquée.Dans cette thèse, une solution élégante et peu coûteuse en temps de calcul est présentée pour des systèmes linéaire, variant dans le temps ou incertains. Les développements se concentre sur les dynamiques en temps discret avec contraintes polyédriques sur l'entrée et l'état (ou la sortie) des vecteurs, dont les perturbations sont bornées. Cette solution est basée sur l'interpolation entre un correcteur pour la région extérieure qui respecte les contraintes sur l'entrée et de l'état, et un autre pour la région intérieure, ce dernier plus agressif, conçue par n'importe quelle méthode classique, ayant un ensemble robuste positivement invariant associé à l'intérieur des contraintes. Une simple fonction de Lyapunov est utilisée afin d'apporter la preuve de la stabilité en boucle fermée.

Ce travail porte sur l'étude de la propriété d'(A,B)-invariance de polyèdres convexes et son application à la commande sous contraintes et au problème l 1. D'abord, nous proposons une caractérisation explicite de l'(A,B)-invariance de polyèdres convexes pour des systèmes en temps discret. Cette caractérisation se traduit par des conditions nécessaires et suffisantes sous la forme de relations matricielles linéaires, et présente deux avantages majeurs vis-à-vis de celles rencontrées dans la littérature : elle s'applique à tous les polyèdres convexes et elle ne nécessite pas le calcul de sommets. Ces avantages se font sentir notamment dans le calcul du domaine (A,B)-invariant suprémal inclus dans un polyèdre donné, pour lequel nous proposons une méthode numérique. Le problème de calculer une loi de commande rendant positivement invariant en boucle fermée un polyèdre (A,B)-invariant est également traité. Les relations d'(A,B)-invariance sont alors généralisées à des systèmes soumis à des contraintes linéaires sur la commande et à des systèmes soumis à des perturbations additives bornées. Puis, les résultats obtenus en temps discret sont étendus aux systèmes en temps continu. Ensuite, le problème d'atténuation de perturbations additives persistantes, connu dans la littérature comme problème l 1, est étudié. Les domaines (A,B)-invariants intérieurement stabilisables sont d'abord caractérisés. Puis, nous proposons une approche décomposée pour le calcul du domaine intérieurement stabilisable suprémal inclus dans le polyèdre défini par les contraintes de performance l 1. Un niveau de performance donné est atteignable si et seulement si ce domaine suprémal n'est pas vide. Cette approche géométrique permet notamment de déterminer directement la solution du problème l 1 pour une classe importante de systèmes. Enfin, nous étendons l'étude de l'(A,B)-invariance de polyèdres à des systèmes dont le modèle est soumis à des incertitudes d u type structuré.

Cette thèse adresse le problème de la commande prédictive non linéaire (CPNL) appliquée aux systèmes à dynamiques rapides. Pour ces systèmes, le temps de calcul disponible peut s'avérer insuffisant pour la résolution des problèmes d'optimisation fortement non linéaires et contraints. Dans ce contexte, l'approche paramétrique utilisée dans cette thèse peut s'avérer un choix pertinent pour résoudre ce type de problèmes. Deux exemples d'application sont présentés pour souligner les avantages de la méthode paramétrique: le circuit d'air d'un moteur diesel et le système des pendules jumeaux sur un chariot. Une validation expérimentale sur les deux procédés est aussi proposée pour montrer l'efficacité des solutions proposées.

Le thème principal de ce mémoire est la commande sous contraintes pour des systèmes à retard, en tenant compte de la problématique d’échantillonnage (où les informations concernant le système en temps continu sont, par exemple, envoyées par un réseau de communication) et de la présence de contraintes sur les trajectoires du système et sur l’entrée de commande. Pendant le processus d’échantillonnage, le retard variable dans le temps peut être traité comme une incertitude, le but étant de confiner cette variation dans un polytope, de façon à couvrir toutes les variations possibles du retard. Pour stabiliser des systèmes à retard, nous nous sommes basés sur la théorie de Lyapunov. En utilisant cette méthode, nous pouvons trouver un retour d’état qui stabilise le système malgré la présence du retard variable dans la boucle. Une autre possibilité est l’utilisation des candidates de Lyapunov-Krasovskii. La théorie des ensembles invariants est largement utilisée dans ce manuscrit, car il est souhaitable d’obtenir une région de ≪ sûreté ≫, ou le comportement du système est connu, en dépit de la présence du retard (variable) et des contraintes sur les trajectoires du système. Lorsqu’ils sont obtenus dans l’espace d’état augmenté, les ensembles invariants sont très complexes, car la dimension de l’espace Euclidien sera proportionnelle à la taille du système mais aussi à la taille du retard. Le concept de D-invariance est ainsi proposé. La commande prédictive (en anglais MPC) est présentée, pour tenir compte des contraintes sur les trajectoires et appliquer une commande optimale à l’entrée du système. / The main interest of the present thesis is the constrained control of time-delay system, more specifically taking into consideration the discretization problem (due to, for example, a communication network) and the presence of constraints in the system’s trajectories and control inputs. The effects of data-sampling and modeling problem are studied in detail, where an uncertainty is added into the system due to additional effect of the discretization and delay. The delay variation with respect to the sampling instants is characterized by a polytopic supra-approximation of the discretization/delay induced uncertainty. Some stabilizing techniques, based on Lyapunov’s theory, are then derived for the unconstrained case. Lyapunov-Krasovskii candidates were also used to obtain LMI conditions for a state feedback, in the ``original” state-space of the system. For the constrained control purposes, the set invariance theory is used intensively, in order to obtain a region where the system is ``well-behaviored”, despite the presence of constraints and (time-varying) delay. Due to the high complexity of the maximal delayed state admissible set obtained in the augmented state-space approach, in the present manuscript we proposed the concept of set invariance in the ``original” state-space of the system, called D-invariance. Finally, in the las part of the thesis, the MPC scheme is presented, in order to take into account the constraints and the optimality of the control solution.