Les sujets abordés, qui peuvent a priori sembler disparates, sont tous liés à la modélisation numérique, et les applications concernent principalement les matériaux non-newtoniens. Deux classes de lois de comportement très différentes sont abordées : les fluides viscoélastiques et les fluides à seuil, appelés également fluides viscoplastiques. L'étude de ces deux classes constitue les deux premières parties de ce travail. Après avoir présenté l'algorithmique numérique de ces modèles, j'aborde dans une troisième partie l'aspect lié au génie logiciel : la spécification et le développement de librairies pour ce type de problèmes. Les calculs numériques des écoulements de fluides viscoélastiques rencontrent de fortes difficultés lorsque le nombre de Weissenberg, lié à l'élasticité du fluide, devient grand. Je propose une méthode de décomposition d'opérateur qui permet de contourner les principales difficultés dans ce type de simulation. Les applications concernent des fluides viscoélastiques d'Oldroyd et de Phan-Thien et Tanner, pouvant représenter des polymères en solution ou bien des mélanges de polymères. Je montre que j'ai pu atteindre pour la première fois le comportement asymptotique pour les grands nombres de Weissenberg dans un écoulement en contraction brusque. La détermination précise des zones rigides dans les problèmes de viscoplasticité est un problème délicat. Les erreurs de calcul peuvent provenir de la perte de régularité de la solution à la traversée de la surface libre enveloppant les zones rigides, ou bien de la régularisation du modèle. En combinant deux méthodes classiques, à savoir une méthode de Lagrangien augmenté et l'adaptation de maillage pour capturer l'enveloppe des zones rigides, je montre qu'il est possible de résoudre à présent avec précision cette classe de problèmes. Enfin, je présente la spécification et la réalisation d'une librairie pour les méthodes variationnelles de type éléments finis. Cette librairie intègre notamment les concepts précédents d'adaptation de maillage.

Au cours des dernières années, la disponibilité toujours croissante de données de télédétection multi-source de l'océan a été un facteur clé pour améliorer notre compréhension des dynamiques de la surface de l'océan. A cet égard, il est essentiel de mettre au point des approches efficaces pour exploiter ces ensembles de données. En particulier, la décomposition des processus géophysiques en modes pertinents est une question clé pour les problèmes de caractérisation, de prédiction et de reconstruction. Inspirés par des progrès récents en séparation aveugle des sources, nous visons, dans la première partie de cette thèse, à étendre les modèles de séparation aveugle de sources sous contraintes de non-négativité au problème de la caractérisation et décomposition d'opérateurs ou fonctions de transfert entre variables d'intérêt. Nous développons des schémas computationnels efficaces reposant sur des fondations mathématiques solides. Nous illustrons la pertinence des modèles de décomposition proposés dans différentes applications impliquant l'analyse et la prédiction de dynamiques géophysiques. Par la suite, étant donné que la disponibilité toujours croissante d'ensembles de données multi-sources supporte l'exploration des approches pilotées par les données en tant qu'alternative aux formulations classiques basées sur des modèles, nous explorons des approches basées sur les données récemment introduits pour l'interpolation des champs géophysiques à partir d'observations satellitaires irrégulièrement échantillonnées. De plus, en vue de la future mission SWOT, la première mission satellitaire à produire des observations d'altimétrie par satellite complètement bidimensionnelles et à large fauchée, nous nous intéressons à évaluer dans quelle mesure les données SWOT permettraient une meilleure reconstruction des champs altimétriques. / In the last few decades, the ever-growing availability of multi-source ocean remote sensing data has been a key factor for improving our understanding of upper ocean dynamics. In this regard, developing efficient approaches to exploit these datasets is of major importance. Particularly, the decomposition of geophysical processes into relevant modes is a key issue for characterization, forecasting and reconstruction problems. Inspired by recent advances in blind source separation, we aim, in the first part of this thesis dissertation, at extending non-negative blind source separation models to the problem of the observation-based characterization and decomposition of linear operators or transfer functions between variables of interest. We develop mathematically sound and computationally efficient schemes. We illustrate the relevance of the proposed decomposition models in different applications involving the analysis and forecasting of geophysical dynamics. Subsequently, given that the ever-increasing availability of multi-source datasets supports the exploration of data-driven alternatives to classical model-driven formulations, we explore recently introduced data-driven models for the interpolation of geophysical fields from irregularly sampled satellite-derived observations. Importantly, with a view towards the future SWOT mission, the first satellite mission to produce complete two-dimensional wide-swath satellite altimetry observations, we focus on assessing the extent to which SWOT data may lead to an improved reconstruction of altimetry fields.

En mécanique des fluides numérique, un enjeu est le développement de méthodes d'approximation d'ordre élevé, comme celles de Galerkin Discontinues (GD). Si ces méthodes permettent d'envisager la simulation d'écoulements complexes en alternative aux méthodes usuelles d'ordre deux, elles souffrent cependant d'une forte restriction sur le pas de temps lorsqu'elles sont associées à une discrétisation explicite en temps. Ce travail de thèse consiste à mettre en œuvre une stratégie d'intégration temporelle explicite-implicite efficace, associée à une discrétisation spatiale GD d'ordre élevé, pour les écoulements instationnaires à convection dominante de fluides visqueux compressibles modélisés par le système des équations de Navier-Stokes. La discrétisation spatiale de la méthode GD est associée à des flux numériques de fluides parfaits et visqueux à stencil compact. En présence de frontières matérielles courbes, l'ordre élevé est garanti par la discrétisation du domaine de calcul à l'aide d'une représentation iso-paramétrique. La stratégie d'intégration temporelle repose sur une décomposition d'opérateurs de Strang, où les termes de convection sont résolus explicitement et ceux de diffusion implicitement. Son efficacité résulte d'une simplification du schéma implicite, où le calcul de la matrice implicite est approché avec une méthode sans jacobienne et où les degrés de liberté du schéma sont découplés. De fait, la taille du système linéaire à résoudre et le temps de calcul de la résolution sont significativement réduits. Enfin, la validation et l'évaluation des performances du schéma numérique sont réalisées à travers cinq cas tests bien référencés en deux dimensions d'espace.