Dans cette thèse, nous étudions une classe d'hypersurfaces de $\mathbb{C}^3$, dites \emph{hypersurfaces de Danielewski}. Ce sont les hypersurfaces $X_{Q,n}$ définies par une équation de la forme $x^ny=Q(x,z)$ avec $n\in\mathbb{N}_{\geq1}$ et $\deg_z(Q(x,z))\geq2$. Nous établissons leurs classifications complètes à isomorphisme près, et à équivalence via un automorphisme de $\mathbb{C}^3$ près. Pour cela, nous introduisons le concept de forme standard et montrons que toute hypersurface de Danielewski est isomorphe, par un procédé algorithmique, à une hypersurface sous forme standard. Cette terminologie est justifiée par le fait que tout isomorphisme entre deux formes standards s'étend en un automorphisme de l'espace ambiant (ce qui n'est pas<br>vrai pour des hypersurfaces de Danielewski quelconques).<br>Nous étudions aussi les problèmes de l'équivalence stable et de l'équivalence analytique. Nous construisons notamment des exemples de polynômes $P,Q\in\mathbb{C}[x,y,z]$ pour lesquels il n'existe aucun automorphisme algébrique de $\mathbb{C}[x,y,z]$ qui envoie $P$ sur $Q$, bien que ces polynômes soient équivalents via un automorphisme de $\mathbb{C}[x,y,z,w]$.<br>La plupart de ces résultats reposent sur la description précise, grâce aux techniques développées par Makar-Limanov, des dérivations localement nilpotentes sur les algèbres des fonctions régulières des hypersurfaces $X_{Q,n}$.

Pour une variété affine S définie sur un corps k de caracteristique nulle, il y a une correspondence bijective entre les actions algébriques du groupe additif k+=(k,+) sur S et les dérivations localement nilpotentes de l'algèb re des fonctions régulières sur S. Dans cette thèse, nous transposons cette équi valence entre actions et dérivations à la situation plus générale où π:S → X est un schéma de base X donnée, admettant des actions d'un fibré en droites p:L → X sur X. Nous étudions en détail une sous-classe de schémas S de ce type, ayant la propriété d'être muni d'une structure de fibré principal homogène sous l'action d'un second fibré en droites p':L' → Y sur un X-schéma δ:Y → X, de telle sorte que l'action de δ*L sur S se factorise via celle de L'. Nous les appelons schémas de Danielewski-Fieseler. Nous donnons plusieurs procédés de construction de ces schémas. En particulier, lorsque X est affine, nous décrivons un algorithmique permettant d'obtenir des plongements explicites d'un schéma de ce type dans un espace affine relatif de base X. Dans un second temps, nous étudions la situation où le schéma de base X est une droite affine sur un corps k de caractéristique nulle. Dans ce cas, nous établissons qu'un sc héma de Danielewski-Fieseler X est déterminé de manière unique par la donnée combinatoire d'un arbre pondéré. Nous donnons une classification de ces schémas en fonction des arbres associés. Finalement, nous caractérisons les schémas de ce type qui admettent plusieurs actions du groupe additif k+ avec orbites générales distinctes.

Une T-variété est une variété algébrique munie d'une action effective d'un tore algébrique T. Cette thèse est consacrée à l'étude de deux aspects des T-variétés normales affines : les actions du groupe additif et la caractérisation des singularités. Soit X = Spec A une T-variété affine normale et soit D une dérivation homogène localement nilpotente de l'algèbre affine intègre Z^n-graduée A, alors D engendre une action du groupe additif dans X. On donne une classification complète des couples (X, D) dans trois cas : pour les variétés toriques, dans le cas de complexité un, et dans le cas où D est de type fibre. Comme application, on calcule l'invariant de Makar-Limanov (ML) homogène de ces variétés. On en déduit que toute variété d'invariant de ML trivial est birationnelle à Y × P^2 , pour une certaine variété Y . Inversement, pour toute variété Y , il existe une T-variété affine X d'invariant de ML trivial birationnelle a Y × P2. Dans la seconde partie concernant les singularités d'une T-variété X, on calcule les images directes supérieures du faisceau structural d'une désingularisation de X. Comme conséquence, on donne un critère pour qu'une T-variété ait des singularités rationnelles. On présente aussi une condition pour qu'une T-variété soit de Cohen-Macaulay. Comme application, on caractérise les singularités elliptiques des surfaces quasi-homogènes.

A toute variété algébrique on peut associer différents objets algébrico-géométriques qui rendent compte en particulier des singularités de la variété. Cette thèse traite de l'interaction entre l'étude des singularités, le schéma des arcs et le module des dérivations dans le cadre des courbes algébriques affines planes. Elle démontre que les d-tissus quasi-homogènes incomplets sont linéarisables pour d > 3 en utilisant un théorème d'Alain Hénaut. Enfin, dans un dernier chapitre, cette thèse introduit le formalisme des fonctions zêta motiviques associées à une 1-forme locale. / To any algebraic variety one can associate several algebraic-geometric objets which in particular provide information on the singularities of the variety. This thesis deals with the interaction between the study of singularities, arc spaces and derivations module in the context of affine algebraic plane curves. Using a theorem of Alain Hénaut, we show that quasi-homogeneous incomplete d-webs are linearizable for d > 3. Finally, in the last chapter, this thesis intoduces the formalism of motivic zêta function of a local 1-form.

Thèse réalisée en cotutelle avec l'Université Paris Diderot (Paris 7) / Cette thèse porte sur l’élaboration d’un modèle de structuration des relations lexicales, fondé sur les fonctions lexicales de la Théorie Sens-Texte [Mel’cuk, 1997]. Les relations lexicales considérées sont les dérivations sémantiques et les collocations telles qu’elles sont définies dans le cadre de la Lexicologie Explicative et Combinatoire [Mel’cuk et al., 1995]. En partant du constat que ces relations lexicales ne sont pas décrites ni présentées de façon satisfaisante dans les bases de données lexicales, nous posons la nécessité d’en créer un modèle de structuration. Nous justifions l’intérêt de créer un système de fonctions lexicales puis détaillons les quatre perspectives du système que nous avons mises au point : une perspective sémantique, une perspective axée sur la combinatoire des éléments d’une relation lexicale, une perspective centrée sur leurs parties du discours, ainsi qu’une perspective mettant en avant l’élément sur lequel se focalise la relation. Le système intègre l’ensemble des fonctions lexicales, y compris les fonctions lexicales non standard, dont nous proposons une normalisation de l’encodage. Le système a été implémenté dans la base de données lexicale du DiCo. Nous présentons trois applications dans lesquelles il peut être exploité. Premièrement, il est possible d’en dériver des interfaces de consultation pour les bases de données lexicales de type DiCo. Le système peut également être directement consulté en tant qu’assistant à l’encodage des relations lexicales. Enfin, il sert de référence pour effectuer un certain nombre de calculs sur les informations lexicographiques, qui pourront, par la suite, être implémentés pour automatiser la rédaction de certains champs de fiches lexicographiques. / This thesis proposes a model for structuring lexical relations, based on the concept of lexical functions (LFs) proposed in Meaning-Text Theory [Mel’cuk, 1997]. The lexical relations taken into account include semantic derivations and collocations as defined within this theoretical framework, known as Explanatory and Combinatorial Lexicology [Mel’cuk et al., 1995]. Considering the assumption that lexical relations are neither encoded nor made available in lexical databases in an entirely satisfactory manner, we assume the necessity of designing a new model for structuring them. First of all, we justify the relevance of devising a system of lexical functions rather than a simple classification. Next, we present the four perspectives developped in the system: a semantic perspective, a combinatorial one, another one targetting the parts of speech of the elements involved in a lexical relation, and, finally, a last one emphasizing which element of the relation is focused on. This system covers all LFs, even non-standard ones, for which we have proposed a normalization of the encoding. Our system has already been implemented into the DiCo relational database. We propose three further applications that can be developed from it. First, it can be used to build browsing interfaces for lexical databases such as the DiCo. It can also be directly consulted as a tool to assist lexicographers in encoding lexical relations by means of lexical functions. Finally, it constitutes a reference to compute lexicographic information which will, in future work, be implemented in order to automatically fill in some fields within the entries in lexical databases.

Le sujet de cette thèse porte sur la résolution d'équations d'opérateurs dans l'algèbre B(H) des opérateurs linéaires bornés sur un espace de Hilbert H. Nous étudié celles qui sont associées aux dérivations généralisées. Mon sujet de thèse explore aussi des équations beaucoup plus générales comme celles du type AXB - XD = E ou AXB - CXD = E où A, B, C, D et E appartiennent à B(H). Plus précisément il s'agit de donner une description des solutions de ces équations pour E appartenant à une famille précise(autoadjoint, normal, rang un, rang fini, compact, couple de Fuglède Putnam) et pour des opérateurs A, B, C et D appartenant à des bonnes classes d'opérateurs ( celles qui interviennent dans les applications, notamment en physique) comme les opérateurs autoadjoints, les opérateurs normaux, sous normaux,... En dehors du cas où les spectres de A et B sont disjoints, il n'existe pas de méthode générale pour construire de manière effective l'ensemble des solutions de l'équation de Sylvester AX - XB = C à partir des opérateurs A, B et C. Un des objectifs de mon travail de thèse est de fournir une méthode constructive dans le cas où A, B et C appartiennent à des bonnes classes d'opérateurs. Une étude spectrale des solutions est également faite. A coté de cette étude qualitative, il y a aussi une étude quantitative.Il s'agit d'obtenir aussi des estimations précises de la norme d'opérateur(ou norme de Schatten) des solutions en fonction des normes des opérateurs correspondants aux données. Ceci nous a d'ailleurs conduit à des résultats concernant quelques inégalités intéressantes pour les dérivations généralisées, et enfin quelques résultats concernant les opérateurs dans un espace de Banach sont également donnés / The subject of this thesis focuses on the resolution of operator equationsin B(H) algebra of bounded linear operators on a Hilbert space. We studythose associated with generalized derivations. In this thesis, we also exploremore general equations such as the type AXB - XD = E or AXB -CXD = E where A, B, C, D and E belong to B(H). Specifically it is adescription of the solutions of these equations for E belongs in a precisefamily (Self-adjoint, normal, rank one, finite rank, compact, pair of FugledePutnam) and the operators A, B, C and D belonging to the good classesof operators (Those involved in applications , especially in physics) as theself-adjoint operators, normal operators, subnormal operators... Apart fromthe case where the spectra of A and B are disjoint, there is not any generalmethod for constructing effectively all solutions of the Sylvester equationAX - XB = C from the given operators A, B and C. One objective of thisthesis is to provide a constructive approach in when A, B and C belong toconventional families of operators. A spectral study of the solutions is alsostudied. Besides this qualitative study, there is also a quantitative study.It is also to obtain accurate estimates of the operator norm (or norm ofSchatten) of the solutions in terms of operator norms corresponding to data.This also led us to obtain results concerning some interesting inequalitiesfor generalized derivations, and finally some examples and properties ofoperators on a Banach space are also given

Cette thèse porte sur l’élaboration d’un modèle de structuration des relations lexicales, fondé sur les fonctions lexicales de la Théorie Sens-Texte [Mel’cuk, 1997]. Les relations lexicales considérées sont les dérivations sémantiques et les collocations telles qu’elles sont définies dans le cadre de la Lexicologie Explicative et Combinatoire [Mel’cuk et al., 1995]. En partant du constat que ces relations lexicales ne sont pas décrites ni présentées de façon satisfaisante dans les bases de données lexicales, nous posons la nécessité d’en créer un modèle de structuration. Nous justifions l’intérêt de créer un système de fonctions lexicales puis détaillons les quatre perspectives du système que nous avons mises au point : une perspective sémantique, une perspective axée sur la combinatoire des éléments d’une relation lexicale, une perspective centrée sur leurs parties du discours, ainsi qu’une perspective mettant en avant l’élément sur lequel se focalise la relation. Le système intègre l’ensemble des fonctions lexicales, y compris les fonctions lexicales non standard, dont nous proposons une normalisation de l’encodage. Le système a été implémenté dans la base de données lexicale du DiCo. Nous présentons trois applications dans lesquelles il peut être exploité. Premièrement, il est possible d’en dériver des interfaces de consultation pour les bases de données lexicales de type DiCo. Le système peut également être directement consulté en tant qu’assistant à l’encodage des relations lexicales. Enfin, il sert de référence pour effectuer un certain nombre de calculs sur les informations lexicographiques, qui pourront, par la suite, être implémentés pour automatiser la rédaction de certains champs de fiches lexicographiques. / This thesis proposes a model for structuring lexical relations, based on the concept of lexical functions (LFs) proposed in Meaning-Text Theory [Mel’cuk, 1997]. The lexical relations taken into account include semantic derivations and collocations as defined within this theoretical framework, known as Explanatory and Combinatorial Lexicology [Mel’cuk et al., 1995]. Considering the assumption that lexical relations are neither encoded nor made available in lexical databases in an entirely satisfactory manner, we assume the necessity of designing a new model for structuring them. First of all, we justify the relevance of devising a system of lexical functions rather than a simple classification. Next, we present the four perspectives developped in the system: a semantic perspective, a combinatorial one, another one targetting the parts of speech of the elements involved in a lexical relation, and, finally, a last one emphasizing which element of the relation is focused on. This system covers all LFs, even non-standard ones, for which we have proposed a normalization of the encoding. Our system has already been implemented into the DiCo relational database. We propose three further applications that can be developed from it. First, it can be used to build browsing interfaces for lexical databases such as the DiCo. It can also be directly consulted as a tool to assist lexicographers in encoding lexical relations by means of lexical functions. Finally, it constitutes a reference to compute lexicographic information which will, in future work, be implemented in order to automatically fill in some fields within the entries in lexical databases. / Thèse réalisée en cotutelle avec l'Université Paris Diderot (Paris 7)