Dans la présente thèse de doctorat, les C*-algèbres des groupes de Lie connexes réels nilpotents de pas deux et du groupe de Lie SL(2,R) sont caractérisées. En outre, comme préparation à une analyse de sa C*-algèbre, la topologie du spectre du produit semi-direct U(n) x H_n est décrite, où H_n dénote le groupe de Lie de Heisenberg et U(n) le groupe unitaire qui agit sur H_n par automorphismes. Pour la détermination des C*-algèbres de groupes, la transformation de Fourier à valeurs opérationnelles est utilisée pour appliquer chaque C*-algèbre dans l'algèbre de tous les champs d'opérateurs bornés sur son spectre. On doit trouver les conditions que satisfait l'image de cette C*-algèbre sous la transformation de Fourier et l'objectif est de la caractériser par ces conditions. Dans cette thèse, il est démontré que les C*-algèbres des groupes de Lie connexes réels nilpotents de pas deux et la C*-algèbre de SL(2,R) satisfont les mêmes conditions, des conditions appelées «limites duales sous contrôle normique». De cette manière, ces C*-algèbres sont décrites dans ce travail et les conditions «limites duales sous contrôle normique» sont explicitement calculées dans les deux cas. Les méthodes utilisées pour les groupes de Lie nilpotents de pas deux et pour le groupe SL(2,R) sont très différentes l'une de l'autre. Pour les groupes de Lie nilpotents de pas deux, on regarde leurs orbites coadjointes et on utilise la théorie de Kirillov, alors que pour le groupe SL(2,R), on peut mener les calculs plus directement / In this doctoral thesis, the C*-algebras of the connected real two-step nilpotent Lie groups and the Lie group SL(2,R) are characterized. Furthermore, as a preparation for an analysis of its C*-algebra, the topology of the spectrum of the semidirect product U(n) x H_n is described, where H_n denotes the Heisenberg Lie group and U(n) the unitary group acting by automorphisms on H_n. For the determination of the group C*-algebras, the operator valued Fourier transform is used in order to map the respective C*-algebra into the algebra of all bounded operator fields over its spectrum. One has to find the conditions that are satisfied by the image of this C*-algebra under the Fourier transform and the aim is to characterize it through these conditions. In the present thesis, it is proved that both the C*-algebras of the connected real two-step nilpotent Lie groups and the C*-algebra of SL(2,R) fulfill the same conditions, namely the “norm controlled dual limit” conditions. Thereby, these C*-algebras are described in this work and the “norm controlled dual limit” conditions are explicitly computed in both cases. The methods used for the two-step nilpotent Lie groups and the group SL(2,R) are completely different from each other. For the two-step nilpotent Lie groups, one regards their coadjoint orbits and uses the Kirillov theory, while for the group SL(2,R) one can accomplish the calculations more directly

Le sujet de cette thèse porte sur la résolution d'équations d'opérateurs dans l'algèbre B(H) des opérateurs linéaires bornés sur un espace de Hilbert H. Nous étudié celles qui sont associées aux dérivations généralisées. Mon sujet de thèse explore aussi des équations beaucoup plus générales comme celles du type AXB - XD = E ou AXB - CXD = E où A, B, C, D et E appartiennent à B(H). Plus précisément il s'agit de donner une description des solutions de ces équations pour E appartenant à une famille précise(autoadjoint, normal, rang un, rang fini, compact, couple de Fuglède Putnam) et pour des opérateurs A, B, C et D appartenant à des bonnes classes d'opérateurs ( celles qui interviennent dans les applications, notamment en physique) comme les opérateurs autoadjoints, les opérateurs normaux, sous normaux,... En dehors du cas où les spectres de A et B sont disjoints, il n'existe pas de méthode générale pour construire de manière effective l'ensemble des solutions de l'équation de Sylvester AX - XB = C à partir des opérateurs A, B et C. Un des objectifs de mon travail de thèse est de fournir une méthode constructive dans le cas où A, B et C appartiennent à des bonnes classes d'opérateurs. Une étude spectrale des solutions est également faite. A coté de cette étude qualitative, il y a aussi une étude quantitative.Il s'agit d'obtenir aussi des estimations précises de la norme d'opérateur(ou norme de Schatten) des solutions en fonction des normes des opérateurs correspondants aux données. Ceci nous a d'ailleurs conduit à des résultats concernant quelques inégalités intéressantes pour les dérivations généralisées, et enfin quelques résultats concernant les opérateurs dans un espace de Banach sont également donnés / The subject of this thesis focuses on the resolution of operator equationsin B(H) algebra of bounded linear operators on a Hilbert space. We studythose associated with generalized derivations. In this thesis, we also exploremore general equations such as the type AXB - XD = E or AXB -CXD = E where A, B, C, D and E belong to B(H). Specifically it is adescription of the solutions of these equations for E belongs in a precisefamily (Self-adjoint, normal, rank one, finite rank, compact, pair of FugledePutnam) and the operators A, B, C and D belonging to the good classesof operators (Those involved in applications , especially in physics) as theself-adjoint operators, normal operators, subnormal operators... Apart fromthe case where the spectra of A and B are disjoint, there is not any generalmethod for constructing effectively all solutions of the Sylvester equationAX - XB = C from the given operators A, B and C. One objective of thisthesis is to provide a constructive approach in when A, B and C belong toconventional families of operators. A spectral study of the solutions is alsostudied. Besides this qualitative study, there is also a quantitative study.It is also to obtain accurate estimates of the operator norm (or norm ofSchatten) of the solutions in terms of operator norms corresponding to data.This also led us to obtain results concerning some interesting inequalitiesfor generalized derivations, and finally some examples and properties ofoperators on a Banach space are also given

Dans ce travail, nous nous intéressons à l’analyse spectrale des systèmes d’opérateurs pseudodifférentiels semi-classiques. Dans la première partie, nous étudions la généralisation du théorème d’Egorov en temps longs dans le cas où l’Hamiltonien quantique qui génère l’évolution en temps et l’observable quantique initiale sont deux opérateurs pseudodifférentiels semiclassiques associés à des symboles à valeurs matricielles. Sous une condition d’hyperbolicité sur le symbole principal de l’Hamiltonien qui assure l’existence des projecteurs semi-classiques, et pour une classe d’observables "semi-classiquement" diagonales par blocs par rapport à ces projecteurs, nous démontrons un théorème de type Egorov valable pour un temps long d’ordre log(h-1) connu comme le temps d’Ehrenfest. Ici h 0 est le paramètre semi-classique. Dans la deuxième partie, nous nous intéressons à la théorie spectrale et la théorie de la diffusion pour des systèmes d’opérateurs pseudodifférentiels auto-adjoints. Nous développons une approche stationnaire pour l’étude de la fonction de décalage spectral associée à une paire d’opérateurs de Schrödinger semi-classiques à potentiels matriciels. Une asymptotique de type Weyl avec reste optimal sur la fonction de décalage spectral est établie, et sous l’hypothèse d’existence d’une fonction fuite scalaire, un développement asymptotique complet en puissancesde h au sens fort sur sa dérivée est obtenu. Ce dernier résultat est une généralisation au cas matriciel d’un résultat de Robert et Tamura établi dans le cas scalaire près des énergies non-captives. Notre méthode indépendante du temps nous permet de traiter certains potentiels avec des croisements des valeurs propres. / In this work, we are interested in the spectral analysis of systems of semiclassical pseudodifferentialoperators. In the first part, we study the extension of the long time semiclassical Egorovtheorem in the case where the quantum Hamiltonian which generates the time evolution andthe initial quantum observable are two semiclassical pseudodifferential operators with matrixvaluedsymbols. Under an hyperbolicity condition on the principal symbol of the Hamiltonianwhich ensures the existence of the semiclassical projections, and for a class of observable thatare "semi-classically" block-diagonal with respect to these projections, we prove an Egorov theoremvalid in a large time interval of order log(h-1) known as the Ehrenfest time. Here h & 0is the semiclassical parameter.In the second part, we are interested in the spectral and scattering theories for self-adjointsystems of pseudodifferential operators. We develop a stationary approach for the study of thespectral shift function (SSF) associated to a pair of self-adjoint semiclassical Schrödinger operatorswith matrix-valued potentials. We prove a Weyl-type asymptotics with sharp remainderestimate on the SSF, and under the existence of a scalar escape function, a pointwise completeasymptotic expansion on its derivative. This last result is a generalisation in the matrix-valuedcase of a result of Robert and Tamura established in the scalar case near non-trapping energies.Our time-independent method allows us to treat certain potentials with energy-level crossings

Les matériaux de Dirac constituent une classe intéressante de systèmes pouvant subir une transition de phase quantique à température nulle, lorsqu’un paramètre non-thermique atteint un point critique quantique. À l’approche d’un tel point, les observables physiques sont affectées par les importantes fluctuations thermiques et quantiques. Dans ce mémoire, on utilise des techniques de théorie conforme des champs afin d’étudier le tenseur de conductivité électrique dans des théories en 2 + 1 dimensions contenant des fermions de Dirac près d’un point critique quantique. À basse énergie, ces dernières décrivent de façon adéquate de nombreux matériaux de Dirac ainsi que leur transition de phase quantique. La conductivité est étudiée dans le régime des hautes fréquences, à température non-nulle et lorsque le paramètre non-thermique est près de sa valeur critique. Dans ce projet, l’emphase est mise sur les points critiques quantiques invariants sous la parité et le renversement du temps. Dans ce cas, l’expansion de produit d’opérateurs (Operator product expansion en anglais) ainsi que la théorie des perturbations conforme permettent d’obtenir une expression générale pour l’expansion à grandes fréquences des conductivités longitudinales et transverses (de Hall) lorsque le point critique quantique est déformé par un opérateur scalaire relevant. Grâce à ces dernières, nous sommes en mesure de déduire des règles de somme exactes pour ces deux quantités. À titre d’exemple, nos résultats généraux sont appliqués dans le cadre du modèle interagissant de Gross-Neveu, où nous obtenons l’expansion des deux conductivités ainsi que les règles de somme pour un nombre de saveurs de fermions de Dirac N arbitraire. Ces mêmes expressions sont ensuite obtenues par un calcul explicite à N = infini, permettant la comparaison avec les résultats pour un N quelconque. Par la suite, des résultats généraux similaires sont obtenus dans le cas où le point critique quantique est déformé par un opérateur pseudoscalaire relevant. Ces derniers sont finalement appliqués à une théorie de fermions de Dirac libres perturbée par un terme de masse. / Dirac materials constitute an interesting class of systems that can undergo a quantum phase transition at zero temperature, when a non-thermal parameter reaches a quantum critical point. As we approach such a point, physical observables are altered by the important thermal and quantum fluctuations. In this thesis, conformal field theory techniques are used to study the electrical conductivity tensor in theories with Dirac fermions in 2+1 dimensions close to a quantum critical point. At low energies, these adequately describe various Dirac materials as well as their quantum phase transition. In this project, we focus on theories that have a quantum critical point invariant under parity and time-reversal. In this case, the operator product expansion and conformal perturbation theory allow to obtain a general expression for the large frequency expansion of the longitudinal and transverse (Hall) conductivities when the quantum critical point is deformed by a relevant scalar operator. Using these, we are able to deduce exact sum rules for both quantities. As an example, our general results are applied to the Gross-Neveu model, where we obtain the large frequency expansion for both conductivities and the associated sum rules for an arbitrary number of Dirac fermion flavors N. The same expressions are then obtained by an explicit calculation at N = infinity, allowing to compare with our results for any N. Afterwards, analogous general results are obtained for theories where the quantum critical point is deformed by a relevant pseudoscalar. These are finally applied to a theory of massless free Dirac fermions perturbed by a mass term.