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Affine-Scaling Methods for Nonlinear Minimization Problems and Nonlinear Systems of Equations with Bound Constraints / Affine Skalierungsverfahren für nichtlineare Optimierungsaufgaben und nichtlineare Gleichungssyteme mit Box-Restriktionen

Klug, Andreas January 2006 (has links) (PDF)
In this thesis affine-scaling-methods for two different types of mathematical problems are considered. The first type of problems are nonlinear optimization problems subject to bound constraints. A class of new affine-scaling Newton-type methods is introduced. The methods are shown to be locally quadratically convergent without assuming strict complementarity of the solution. The new methods differ from previous ones mainly in the choice of the scaling matrix. The second type of problems are semismooth system of equations with bound constraints. A new affine-scaling trust-region method for these problems is developed. The method is shown to have strong global and local convergence properties under suitable assumptions. Numerical results are presented for a number of problems arising from different areas. / In dieser Arbeit werden affine Skalierungsverfahren fuer zwei verschiedene mathematische Problemstellungen untersucht. Der erste Problemtyp sind nichtlineare Optimierungsaufgaben mit Box-Restriktionen. Hierfuer wird eine neue Klasse von affinen Skalierungsverfahren eingefuehrt. Fuer diese Verfahren kann lokale quadratische Konvergenz ohne eine strikte Komplementaritaetsannahme bewiesen werde. Die neuen Methoden unterscheiden sich von den bisherigen durch die Wahl der Skalierungsmatrix. Probleme vom zweiten Typ sind semismoothe nichtlineare Gleichungssysteme mit Box-Restriktionen. Ein neues affine Skalierungs Trust-Region-Verfahren fuer diese Probleme wird vorgestellt. Das Verfahren besitzt starke globale und lokale Konvergenzeigenschaften unter ueblichen Voraussetzungen. Fuer eine Vielzahl von Problemstellungen werden numerische Ergebnisse beschrieben.
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Value-distribution of the Riemann zeta-function and related functions near the critical line / Werteverteilung der Riemannschen Zetafunktion und verwandter Funktionen nahe der kritischen Geraden

Christ, Thomas January 2013 (has links) (PDF)
The Riemann zeta-function forms a central object in multiplicative number theory; its value-distribution encodes deep arithmetic properties of the prime numbers. Here, a crucial role is assigned to the analytic behavior of the zeta-function on the so called critical line. In this thesis we study the value-distribution of the Riemann zeta-function near and on the critical line. Amongst others we focus on the following. PART I: A modified concept of universality, a-points near the critical line and a denseness conjecture attributed to Ramachandra. The critical line is a natural boundary of the Voronin-type universality property of the Riemann zeta-function. We modify Voronin's concept by adding a scaling factor to the vertical shifts that appear in Voronin's universality theorem and investigate whether this modified concept is appropriate to keep up a certain universality property of the Riemann zeta-function near and on the critical line. It turns out that it is mainly the functional equation of the Riemann zeta-function that restricts the set of functions which can be approximated by this modified concept around the critical line. Levinson showed that almost all a-points of the Riemann zeta-function lie in a certain funnel-shaped region around the critical line. We complement Levinson's result: Relying on arguments of the theory of normal families and the notion of filling discs, we detect a-points in this region which are very close to the critical line. According to a folklore conjecture (often attributed to Ramachandra) one expects that the values of the Riemann zeta-function on the critical line lie dense in the complex numbers. We show that there are certain curves which approach the critical line asymptotically and have the property that the values of the zeta-function on these curves are dense in the complex numbers. Many of our results in part I are independent of the Euler product representation of the Riemann zeta-function and apply for meromorphic functions that satisfy a Riemann-type functional equation in general. PART II: Discrete and continuous moments. The Lindelöf hypothesis deals with the growth behavior of the Riemann zeta-function on the critical line. Due to classical works by Hardy and Littlewood, the Lindelöf hypothesis can be reformulated in terms of power moments to the right of the critical line. Tanaka showed recently that the expected asymptotic formulas for these power moments are true in a certain measure-theoretical sense; roughly speaking he omits a set of Banach density zero from the path of integration of these moments. We provide a discrete and integrated version of Tanaka's result and extend it to a large class of Dirichlet series connected to the Riemann zeta-function. / Die Riemannsche Zetafunktion ist ein zentraler Gegenstand der multiplikativen Zahlentheorie; in ihrer Werteverteilung liegen wichtige arithmetische Eigenschaften der Primzahlen kodiert. Besondere Bedeutung kommt hierbei dem analytischen Verhalten der Zetafunktion auf der sog. kritischen Geraden zu. Wir untersuchen in dieser Arbeit die Werteverteilung der Riemannschen Zetafunktion auf und nahe der kritischen Geraden. Wir fokusieren wir uns dabei u.a. auf folgende Punkte. TEIL I: Ein modifiziertes Universalitätskonzept, a-Stellen nahe der kritischen Geraden und eine Dichtheitsvermutung nach Ramachandra. Die kritische Gerade fungiert als natürliche Grenze für die Voroninsche Universalitätseigenschaft der Riemannschen Zetafunktion. Wir modifizieren Voronins Universalitätskonzept dahingehend, dass wir die vertikalen Translationen aus Voronins Universalitätssatz mit einer zusätzlichen Skalierung versehen. Wir untersuchen, ob durch dieses modifizierte Konzept eine abgeschwächte Universalitätseigenschaft der Riemannschen Zetafunktion um die kritschen Gerade aufrecht erhalten werden kann. Es stellt sich heraus, dass die Gestalt der Funktionen, die sich auf diese Weise durch die Zetafunktion approximieren lassen, stark von der Funktionalgleichung und der Wahl des skalierenden Faktors abhängt. Nach einem Resultat von Levinson liegen fast alle a-Stellen der Riemannschen Zetafunktion in einem trichterförmigen Bereich um die kritische Gerade. Gewisse Normalitätsargumenten sowie das Konzept der 'filling discs' erlauben uns Levinsons Resultat zu ergänzen und a-Stellen in diesem trichterförmigen Bereich aufzuspüren, die sehr nahe an der kritischen Geraden liegen. Man vermutet, dass die Werte der Riemannschen Zetafunktion auf der kritischen Geraden dicht in den komplexen Zahlen liegen. Wir nähern uns dieser Vermutung (die man oft Ramachandra zuschreibt), indem wir die Existenz gewisser Kurven nachweisen, die sich asymptotisch an die kritische Gerade anschmiegen und die Eigenschaft besitzen, dass die Werte der Zetafunktion auf diesen Kurven dicht in den komplexen Zahlen liegen. Viele unserer Ergebnisse in Teil I sind unabhängig von der Eulerproduktdarstellung der Zetafunktion und gelten allgemein für beliebige meromorphe Funktionen, die einer Funktionalgleichung vom Riemann-Typ genügen. TEIL II: Diskrete und kontinuierliche Momente. Die Lindelöf Vermutung trifft eine Aussage über das Wachstumsverhalten der Zetafunktion auf der kritischen Geraden. Nach klassischen Arbeiten von Hardy und Littlewood lässt sie sich mittels Potenzmomente der Zetafunktion rechts von der kritischen Geraden umformulieren. Tanaka konnte kürzlich nachweisen, dass die asymptotischen Formeln, die man für diese Potenzmomente erwartet in einem gewissen maßtheoretischem Sinne Gülitgkeit besitzen: grob gesprochen wird heibei eine Menge mit Banachdichte null vom Integrationsweg der Potenzmomente ausgespart. Wir stellen eine diskrete und eine integrierte Version von Tanakas Resultat zur Verfügung. Zudem verallgemeinern wir Tanakas Ergebnis auf eine große Klasse von Dirichletreihen.
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Hurwitz's Complex Continued Fractions - A Historical Approach and Modern Perspectives / Hurwitz' komplexe Kettenbrüche

Oswald, Nicola January 2014 (has links) (PDF)
The thesis ’Hurwitz’s Complex Continued Fractions - A Historical Approach and Modern Perspectives.’ deals with two branches of mathematics: Number Theory and History of Mathematics. On the first glimpse this might be unexpected, however, on the second view this is a very fruitful combination. Doing research in mathematics, it turns out to be very helpful to be aware of the beginnings and development of the corresponding subject. In the case of Complex Continued Fractions the origins can easily be traced back to the end of the 19th century (see [Perron, 1954, vl. 1, Ch. 46]). One of their godfathers had been the famous mathematician Adolf Hurwitz. During the study of his transformation from real to complex continued fraction theory [Hurwitz, 1888], our attention was arrested by the article ’Ueber eine besondere Art der Kettenbruch-Entwicklung complexer Grössen’ [Hurwitz, 1895] from 1895 of an author called J. Hurwitz. We were not only surprised when we found out that he was the elder unknown brother Julius, furthermore, Julius Hurwitz introduced a complex continued fraction that also appeared (unmentioned) in an ergodic theoretical work from 1985 [Tanaka, 1985]. Those observations formed the Basis of our main research questions: What is the historical background of Adolf and Julius Hurwitz and their mathematical studies? and What modern perspectives are provided by their complex continued fraction expansions? In this work we examine complex continued fractions from various viewpoints. After a brief introduction on real continued fractions, we firstly devote ourselves to the lives of the brothers Adolf and Julius Hurwitz. Two excursions on selected historical aspects in respect to their work complete this historical chapter. In the sequel we shed light on Hurwitz’s, Adolf’s as well as Julius’, approaches to complex continued fraction expansions. Correspondingly, in the following chapter we take a more modern perspective. Highlights are an ergodic theoretical result, namely a variation on the Döblin-Lenstra Conjecture [Bosma et al., 1983], as well as a result on transcendental numbers in tradition of Roth’s theorem [Roth, 1955]. In two subsequent chapters we are concernced with arithmetical properties of complex continued fractions. Firstly, an analogue to Marshall Hall’s Theorem from 1947 [Hall, 1947] on sums of continued fractions is derived. Secondly, a general approach on new types of continued fractions is presented building on the structural properties of lattices. Finally, in the last chapter we take up this approach and obtain an upper bound for the approximation quality of diophantine approximations by quotients of lattice points in the complex plane generalizing a method of Hermann Minkowski, improved by Hilde Gintner [Gintner, 1936], based on ideas from geometry of numbers. / Die Arbeit ’Hurwitz’s Complex Continued Fractions - A Historical Approach and Modern Perspectives.’ beschäftigt sich übergreifend mit zwei Teilbereichen der Mathematik: Zahlentheorie und Geschichte der Mathematik. Im ersten Teil wird ein historischer Blick auf das Leben und Wirken der Gebrüder Adolf und Julius Hurwitz gegeben. Insbesondere ihre akademische Laufbahn und ihr Einfluss auf die Entwicklung der komplexen Kettebruchtheorie werden beleuchtet. Im zweiten zahlentheoretischen Teil werden verschiedene Perspektiven auf Ergebnisse zur Approximationsgüte gegben. Hier stehen ein ergodentheoretisches Resultat, ein komplexes Analogon zur Döblin-Lenstra-Vermutung, im Vordergrund, sowie eine Verallgemeinerung auf Gitter. Aufbauend auf Methoden aus der ’Geometrie der Zahlen’ von Hermann Minkowski wird eine obere Approximationsschranke für allgemeine Gitter gegeben.
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Multiscale analysis of non-convex discrete systems via \(\Gamma\)-convergence / Mehrskalenanalyse von nicht-konvexen diskreten Systemen mittels \(\Gamma\)-Konvergenz

Schäffner, Mathias January 2015 (has links) (PDF)
The subject of this thesis is the rigorous passage from discrete systems to continuum models via variational methods. The first part of this work studies a discrete model describing a one-dimensional chain of atoms with finite range interactions of Lennard-Jones type. We derive an expansion of the ground state energy using \(\Gamma\)-convergence. In particular, we show that a variant of the Cauchy-Born rule holds true for the model under consideration. We exploit this observation to derive boundary layer energies due to asymmetries of the lattice at the boundary or at cracks of the specimen. Hereby we extend several results obtained previously for models involving only nearest and next-to-nearest neighbour interactions by Braides and Cicalese and Scardia, Schlömerkemper and Zanini. The second part of this thesis is devoted to the analysis of a quasi-continuum (QC) method. To this end, we consider the discrete model studied in the first part of this thesis as the fully atomistic model problem and construct an approximation based on a QC method. We show that in an elastic setting the expansion by \(\Gamma\)-convergence of the fully atomistic energy and its QC approximation coincide. In the case of fracture, we show that this is not true in general. In the case of only nearest and next-to-nearest neighbour interactions, we give sufficient conditions on the QC approximation such that, also in case of fracture, the minimal energies of the fully atomistic energy and its approximation coincide in the limit. / Der Gegenstand dieser Doktorarbeit ist der mathematisch strenge Übergang von diskreten Systemen zu kontinuierlichen Modellen. Im ersten Teil der Arbeit betrachten wir ein diskretes Modell für eine Kette von Atomen welche durch Lennard-Jones-artige Potentiale mit endlicher Reichweite miteinander wechselwirken. Wir leiten eine Entwicklung der Energie des Grundzustands mittels \(\Gamma\)-Konvergenz her. Dabei zeigen wir zunächst die Gültigkeit einer Variante der sogenannten Cauchy-Born Regel für unser Modell. Diese Beobachtung benutzen wir um Oberflächenenergien herzuleiten. Diese entstehen zum einen am Rand der Kette, aber auch an den Oberflächen die durch Brüche im kontinuierlichem Material gebildet werden. Dabei werden einige Resultate verallgemeinert, welche von Braides und Cicalese bzw. Scardia, Schlömerkemper und Zanini für Modelle bewiesen wurden in denen nur nächste und übernächste Nachbarn wechselwirken. Im zweiten Teil der Arbeit widmen wir uns der Untersuchung einer Quasi-continuum (QC) Methode. Wir betrachten die Energie aus dem ersten Teil als atomistisches Modellproblem und konstruieren eine Annäherung dieser Energie durch eine QC Methode. Im Falle von elastischen Verhalten zeigen wir, dass die Entwicklung mittels \(\Gamma\)-Konvergenz der atomistischen Energie und ihrer QC Approximation übereinstimmen. Falls allerdings Brüche auftreten gilt dies im Allgemeinen nicht mehr. Für Modelle in denen nur nächste und übernächste Nachbarn miteinander wechselwirken leiten wir hinreichende Bedingungen her die, auch im Falle von Brüchen, garantieren, dass das Minimum der atomistischen Energie und das Minimum der QC Approximation den gleichen Grenzwert haben.
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Conformal Mappings onto Simply and Multiply Connected Circular Arc Polygon Domains / Konforme Abbildungen auf einfach und mehrfach zusammenhängende Zirkularpolygongebiete

Bauer, Ulrich Josef January 2015 (has links) (PDF)
The goal of this thesis is to investigate conformal mappings onto circular arc polygon domains, i.e. domains that are bounded by polygons consisting of circular arcs instead of line segments. Conformal mappings onto circular arc polygon domains contain parameters in addition to the classical parameters of the Schwarz-Christoffel transformation. To contribute to the parameter problem of conformal mappings from the unit disk onto circular arc polygon domains, we investigate two special cases of these mappings. In the first case we can describe the additional parameters if the bounding circular arc polygon is a polygon with straight sides. In the second case we provide an approximation for the additional parameters if the circular arc polygon domain satisfies some symmetry conditions. These results allow us to draw conclusions on the connection between these additional parameters and the classical parameters of the mapping. For conformal mappings onto multiply connected circular arc polygon domains, we provide an alternative construction of the mapping formula without using the Schottky-Klein prime function. In the process of constructing our main result, mappings for domains of connectivity three or greater, we also provide a formula for conformal mappings onto doubly connected circular arc polygon domains. The comparison of these mapping formulas with already known mappings allows us to provide values for some of the parameters of the mappings onto doubly connected circular arc polygon domains if the image domain is a polygonal domain. The different components of the mapping formula are constructed by using a slightly modified variant of the Poincaré theta series. This construction includes the design of a function to remove unwanted poles and of different versions of functions that are analytic on the domain of definition of the mapping functions and satisfy some special functional equations. We also provide the necessary concepts to numerically evaluate the conformal mappings onto multiply connected circular arc polygon domains. As the evaluation of such a map requires the solution of a differential equation, we provide a possible configuration of curves inside the preimage domain to solve the equation along them in addition to a description of the procedure for computing either the formula for the doubly connected case or the case of connectivity three or greater. We also describe the procedures for solving the parameter problem for multiply connected circular arc polygon domains. / Das Ziel dieser Arbeit ist die Untersuchung von konformen Abbildungen auf Zirkularpolygongebiete, d.h. Gebiete, die von Polygonen berandet werden, die sich aus Kreisbögen statt Geradenstücken zusammensetzen. Konforme Abbildungen auf Zirkularpolygongebiete enthalten Parameter zusätzlich zu den klassischen Parametern der Schwarz-Christoffel-Transformation. Um zum Parameterproblem der konformen Abbildungen der Einheitskreisscheibe auf Zirkularpolygongebiete beizutragen, werden zwei Spezialfälle dieser Abbildungen untersucht. Im ersten Fall können die zusätzlichen Parameter angeben werden, falls das berandende Zirkularpolygon ein Polygon mit geraden Seiten ist. Im zweiten Fall wird eine Approximation für die zusätzlichen Parameter angegeben, falls das Zirkularpolygongebiet gewisse Symmetriebedingungen erfüllt. Diese Ergebnisse erlauben es Schlüsse zu ziehen in Bezug auf die Verbindung zwischen den zusätzlichen Parametern und den klassischen Parametern der Abbildung. Für Konforme Abbildungen auf mehrfach zusammenhängende Zirkularpolygongebiete wird eine alternative Konstruktion der Abbildungsformel angegeben, welche nicht die "Schottky-Klein prime function" verwendet. Während der Konstruktion des Hauptergebnisses, der Abbildungsformel für Gebiete mit einem Zusammenhang von drei oder mehr, wird auch eine Formel für die konformen Abbildungen auf zweifach zusammenhängende Zirkularpolygongebiete angegeben. Der Vergleich dieser Abbildungsformeln mit bereits bekannten Abbildungen erlaubt es Werte für einige der Parameter der Abbildungen auf zweifach zusammenhängende Zirkularpolygongebiete anzugeben, falls das Bildgebiet ein Polygonalgebiet ist. Die unterschiedlichen Komponenten der Abbildungsformel sind unter Verwendung einer leicht modifizierten Form der Poincaré-Theta-Reihe konstruiert. Diese Konstruktion enthält die Gestaltung einer Funktion um unerwünschte Polstellen zu entfernen und von unterschiedlichen Versionen von Funktionen, die analytisch auf dem Definitionsgebiet der Abbildungsfunktion sind und spezielle Funktionalgleichungen erfüllen. Es werden auch die notwendigen Konzepte angegeben um die konformen Abbildungen auf mehrfach zusammenhängende Zirkularpolygongebiete numerisch auszuwerten. Prozedurbeschreibungen für die Berechnung der Formel für zweifach zusammenhängende Bildgebiete und für den Fall eines Zusammenhangs von drei oder mehr werden angegeben. Da für das Auswerten solcher Abbildungen das Lösen einer Differentialgleichung notwendig ist, werden mögliche Konfigurationen von Kurven im Urbildgebiet angegeben, an denen entlang die Gleichung gelöst werden kann. Es werden weiterhin Prozeduren beschrieben um das Parameterproblem für mehrfach zusammenhängende Zirkularpolygongebiete zu lösen.
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Valuation Algorithms for Structural Models of Financial Networks / Algorithmen zur Bestimmung von Gleichgewichtslösungen in Finanzsystemen mit Kapitalverflechtung

Hain, Johannes January 2015 (has links) (PDF)
The thesis focuses on the valuation of firms in a system context where cross-holdings of the firms in liabilities and equities are allowed and, therefore, systemic risk can be modeled on a structural level. A main property of such models is that for the determination of the firm values a pricing equilibrium has to be found. While there exists a small but growing amount of research on the existence and the uniqueness of such price equilibria, the literature is still somewhat inconsistent. An example for this fact is that different authors define the underlying financial system on differing ways. Moreover, only few articles pay intense attention on procedures to find the pricing equilibria. In the existing publications, the provided algorithms mainly reflect the individual authors' particular approach to the problem. Additionally, all existing methods do have the drawback of potentially infinite runtime. For these reasons, the objects of this thesis are as follows. First, a definition of a financial system is introduced in its most general form in Chapter 2. It is shown that under a fairly mild regularity condition the financial system has a unique existing payment equilibrium. In Chapter 3, some extensions and differing definitions of financial systems that exist in literature are presented and it is shown how these models can be embedded into the general model from the proceeding chapter. Second, an overview of existing valuation algorithms to find the equilibrium is given in Chapter 4, where the existing methods are generalized and their corresponding mathematical properties are highlighted. Third, a complete new class of valuation algorithms is developed in Chapter 4 that includes the additional information whether a firm is in default or solvent under a current payment vector. This results in procedures that are able find the solution of the system in a finite number of iteration steps. In Chapter 5, the developed concepts of Chapter 4 are applied to more general financial systems where more than one seniority level of debt is present. Chapter 6 develops optimal starting vectors for non-finite algorithms and Chapter 7 compares the existing and the new developed algorithms concerning their efficiency in an extensive simulation study covering a wide range of possible settings for financial systems. / Die vorliegende Dissertation hat die Unternehmensbewertung in Finanzsystemen mit Fremd- und Eigenkapitalverflechtung zum Thema. Die zentrale Eigenschaft dieser Modelle ist, dass zur Bestimmung der Firmenwerte eine Gleichgewichtslösung ermittelt werden muss. Die Zahl der Veröffentlichungen mit dem Schwerpunkt des Nachweises von Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen der Gleichgewichte steigt zwar stetig an, allerdings ist die Fachliteratur in diesem Bereich teilweise noch sehr inkonsistent. Beispielsweise existieren je nach Autor unterschiedliche Vorgehensweisen, das zugrunde liegende Finanzsystem zu definieren. Darüber hinaus schenken nur wenige Fachartikel der Frage Beachtung, wie die Lösungsgleichgewichte genau bestimmt werden können. Zuletzt weisen die bereits entwickelten Verfahren den Nachteil auf, dass Sie womöglich unendlich viele Iterationsschritte benötigen bis die gesuchte Lösung exakt erreicht wird. Aus diesen Gründen beinhaltet die vorliegende Dissertation folgende Themen. Im ersten Schritt wird in Kapitel 2 eine möglichst allgemeine Definition eines Finanzsystems eingeführt. Es wird gezeigt dass unter nicht allzu strengen Voraussetzungen die Gleichgewichtslösung dieses Systems eindeutig bestimmt ist. In Kapitel 3 werden in der Fachliteratur zu diesem Thema zu findende Erweiterungen und abweichende Definitionen des Systems vorgestellt und wie diese in das allgemeine Modell aus dem vorherigen Kapitel eingebettet werden können. Danach wird in Kapitel 4 ein Überblick über bereits entwickelte Lösungsverfahren gegeben, wobei die existierenden Prozeduren in ihrem Vorgehen verallgemeinert und deren zugehörige mathematische Eigenschaften aufgezeigt werden. Des weiteren wird im gleichen Kapitel eine komplett neue Klasse von Lösungsverfahren entwickelt, die noch die zusätzliche Information verarbeiten, ob eine Firma für einen gegebenen Zahlungsvektor solvent oder insolvent ist. Als Folge dieses Ansatzes sind diese Algorithmen in der Lage, die exakte Gleichgewichtslösung des Systems in endlich vielen Schritten zu finden. In Kapitel 5 werden die entworfenen Konzepte dann für Finanzsysteme angewendet, in denen mehr als nur eine Schulden-Seniorität berücksichtigt wird. Kapitel 6 leitet optimale Startvektoren der nicht-endlichen Verfahren her und Kapitel 7 vergleicht die bereits existierenden und alle neu entwickelten Lösungsverfahren bezüglich ihrer Laufzeiteffizienz im Rahmen einer ausführlichen Simulationsstudie.
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Wege der Analogiebildung - Eine qualitative Studie über den Prozess der Analogiebildung beim Lösen von Aufgaben / Ways of Analogical Reasoning - A study of thought processes in example-based learning environments

Ruppert, Markus January 2017 (has links) (PDF)
Über die besondere Bedeutung von Analogiebildungsprozessen beim Lernen im Allgemeinen und beim Lernen von Mathematik im Speziellen besteht ein breiter wissenschaftlicher Konsens. Es liegt deshalb nahe, von einem lernförderlichen Mathematikunterricht zu verlangen, dass er im Bewusstsein dieser Bedeutung entwickelt ist – dass er also einerseits Analogien aufzeigt und sich diese beim Lehren von Mathematik zunutze macht, dass er andererseits aber auch dem Lernenden Gelegenheiten bietet, Analogien zu erkennen und zu entwickeln. Kurz: Die Fähigkeit zum Bilden von Analogien soll durch den Unterricht gezielt gefördert werden. Um diesem Anspruch gerecht werden zu können, müssen ausreichende Kenntnisse darüber vorliegen, wie Analogiebildungsprozesse beim Lernen von Mathematik und beim Lösen mathematischer Aufgaben ablaufen, wodurch sich erfolgreiche Analogiebildungsprozesse auszeichnen und an welchen Stellen möglicherweise Schwierigkeiten bestehen. Der Autor zeigt auf, wie Prozesse der Analogiebildung beim Lösen mathematischer Aufgaben initiiert, beobachtet, beschrieben und interpretiert werden können, um auf dieser Grundlage Ansatzpunkte für geeignete Fördermaßnahmen zu identifizieren, bestehende Ideen zur Förderung der Analogiebildungsfähigkeit zu beurteilen und neue Ideen zu entwickeln. Es werden dabei Wege der Analogiebildung nachgezeichnet und untersucht, die auf der Verschränkung zweier Dimensionen der Analogiebildung im Rahmen des zugrundeliegenden theoretischen Modells beruhen. So können verschiedene Vorgehensweisen ebenso kontrastiert werden, wie kritische Punkte im Verlauf eines Analogiebildungsprozesses. Es ergeben sich daraus Unterrichtsvorschläge, die auf den Ideen zum beispielbasierten Lernen aufbauen. / The epistemological relevance of analogical reasoning in learning and education in general is undoubted. Particularly in applying mathematical contents and techniques learning from examples is essential. Therefore mathematics lessons should provide opportunities to gain and improve competences in analogical reasoning. To meet these demands it is necessary to fathom the thought processes throughout analogical reasoning: How can succesful thought processes be characterized? At which point do misleading analogies fail? The author shows how thought processes of analogical reasoning can be initialized, observed, described and interpreted. Based on this theoretical background ways of analogical reasoning are retraced and analyzed in order to identify different approaches to analogies and critical phases of corresponding thought processes. Using these findings important features of appropriate learning environments are stated and existing concepts can be evaluated.
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Minimalflächen und Björlingsches Problem in der Relativgeometrie / Minimal surfaces and Björling's problem in relative geometry

Keilbach, Rupert January 2000 (has links) (PDF)
In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit Themen aus der affinen Hyperflächentheorie. Nachdem wir die euklidische Normale, die Blaschkesche Affinnormale, eine gewisse Einparameterfamilie von Relativnormalen und die zentroaffine Normale besprochen und eine neue Einparameterfamilie von Relativnormalen definiert haben, behandeln wir die folgenden drei Schwerpunkte: Zuerst befassen wir uns mit Minimalflächen bezüglich verschiedener Volumina und der Rolle der jeweiligen Mittleren Krümmung. Wir berechnen die erste und zweite Variation der Volumina, die von den Normalen der erwähnten Familien induziert werden. Hierbei stellen wir fest, daß die Mittlere Krümmung nicht immer das Verschwinden der ersten Variation des Volumens anzeigt. Anschließend übertragen wir die Begriffe Adjungierte und Assoziierte bei euklidischen Minimalflächen auf Affinminimalflächen: Analog zum euklidischen Fall kann man die Konormale einer Affinminimalfläche durch bestimmte ,,harmonische'' Abbildungen darstellen. Wir geben eine Methode an, wie man aus einer gegebenen Affinminimalfläche weitere gewinnt, indem man diese Abbildungen entsprechend modifiziert. Schließlich lösen wir eine Verallgemeinerung des Björlingschen Problems für Normalen der oben erwähnten Familien: Bei Vorgabe einer Kurve mit zwei Vektorfeldern und der Art der Normalisierung existiert - mit Ausnahmen - je genau eine elliptische und eine hyperbolische Fläche in (pseudo-)isothermen Parametern mit folgenden Eigenschaften: Die Kurve ist eine Parameterlinie, die Normale längs der Kurve stimmt mit dem einen Vektorfeld überein, die Konormale mit dem anderen und die Mittlere und Gaußsche Krümmung erfüllen eine vorgegebene Bedingung. / In this paper we deal with topics of the theory of affine hypersurfaces. After having discussed the euclidean normal, the Blaschke affine normal, a certain one-parameter family of relative normals, and the centroaffine normal and having defined a new one-parameter family of relative normals we treat the following three main subjects: First we examine minimal surfaces relative to different volumes and the influence of the respective mean curvature. We compute the first and second variation of the volumes induced by the normals of the mentioned families. With this we state that the mean curvature does not indicate allways the vanishing of the first variation of the volume. Subsequently we extend the terms adjoint and associated surfaces from euclidean minimal surfaces to affine minimal surfaces: In a similar way as in the euclidean case one can represent the conormal of an affine minimal surface by certain ''harmonic'' mappings. We present a method how to obtain from a given affine minimal surface other ones by modifying these mappings accordingly. Finally we solve a generalization of Björling' s problem for normals of the families mentioned above: Given a curve with two vector fields and the kind of the normalisation there exists - with exceptions - both a unique elliptic and a unique hyperbolic surface in (pseudo-)isothermic parameters with the following properties: The curve is a parameter line, the normal along the curve corresponds with one of the vector fields, the conormal with the other one, and the mean and Gaussian curvature satisfy a given condition.
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Geometrische Eigenschaften von Spiraltypflächen / Geometrical Properties of Spiral Type Surfaces

Staab, Patricia January 2002 (has links) (PDF)
Spiraltypflächen sind Minimalflächen des dreidimensionalen euklidischen Raums, die sich durch hohe Symmetrie gegenüber komplexen Ähnlichkeitsabbildungen der Minimalkurve auszeichnen. Ihren Namen verdanken Sie folgender Eigenschaft: Sie und ihre komplex Homothetischen sind die einzigen auf Spiralflächen abwickelbaren Minimalflächen. Bekannte Spiraltypflächen sind die Spiralminimalflächen (zugleich Minimal- und Spiralflächen) und die Bourflächen (auf Rotationsflächen abwickelbare Minimalflächen). Das Katenoid und die Enneperfläche sind spezielle Bourflächen. In dieser Arbeit werden die Spiraltypflächen auf ihre geometrischen Eigenschaften untersucht. Wir stellen ihre Periodizitäten und Symmetrien fest und versuchen, ausgezeichnete Flächenkurven auf ihnen zu finden. Wir verwenden eine globale Weierstraß-Darstellung der Spiraltypflächen. In dieser Darstellung ergeben die Flächen eine Schar mit einem komplexen Scharparameter. Anhand dieser Darstellung leiten wir sämtliche Symmetrien der Spiraltypflächen zu linearen Ähnlichkeitsabbildungen der Minimalkurve her. Als Spezialfälle erhalten wir die Symmetrien unter Assoziationen und Derivationen (Drehung der Minimalkurve um einen imaginären Drehwinkel), sowie die reellen Symmetrien (Dreh-, Spiegel- und Strecksymmetrien). Unter den Spiraltypflächen gibt es nur zwei translationssymmetrische Flächen. Die Umorientierung einer Spiraltypfläche entspricht (bis auf komplexe Homothetie) dem Vorzeichenwechsel des Flächenparameters. Im Übrigen kann durch einfache Spiegelungen an den Koordinatenebenen beziehungsweise Drehungen um die Koordinatenachsen das Vorzeichen von Real- beziehungsweise Imaginärteil des Flächenparameters umgekehrt werden. Schließlich stellen wir noch ausgezeichnete Flächenkurven auf den Spiraltypflächen vor: Krümmungslinien, Asymptotenlinien und Geodätische, sowie als deren Verallgemeinerungen die Pseudokrümmungslinien und Pseudogeodätischen. / Spiral type surfaces are minimal surfaces of the three-dimensional euclidean space, which are highly symmetric under similarity transformations of the corresponding complex minimal curve. They are named "spiral type" because these surfaces and their complex homothetics are the only minimal surfaces applicable to spiral surfaces. Well-known spiral type surfaces are the spiral minimal surfaces (which are both minimal and spiral) and the Bour surfaces (which are applicable to surfaces of revolution). The catenoid and the Enneper surface are Bour surfaces. In this paper we examine the geometrical properties of spiral type surfaces. We state their periodicities and symmetries and present special curves on these surfaces. We introduce a global Enneper-Weierstrass parameterization of the spiral type surfaces. Hence, the surfaces can be classified using a complex parameter. From this representation we can derive all symmetries under similarity transformations of the minimal curve. These symmetries contain the associations and derivations (i. e. rotations by imaginary angles) of minimal curves and the real mappings (especially rotations, reflections and central dilations). There are only two spiral type surfaces which are symmetric under translations. A change of orientation of a spiral type surface is equivalent to a combination of complex homothety and negation of the surface parameter. Anyway the sign of the real and imaginary part of the surface parameter can be changed by a simple reflection in a coordinate plane or a rotation around a coordinate axis. Finally we present special curves on spiral type surfaces: lines of curvature, asymptotic curves, geodesics, and the generalizations: pseudo curvature lines and pseudo geodesics.
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A note on anisotropic interpolation error estimates for isoparametric quadrilateral finite elements

Apel, Th. 30 October 1998 (has links) (PDF)
Anisotropic local interpolation error estimates are derived for quadrilateral and hexahedral Lagrangian finite elements with straight edges. These elements are allowed to have diameters with different asymptotic behaviour in different space directions. The case of affine elements (parallelepipeds) with arbitrarily high degree of the shape functions is considered first. Then, a careful examination of the multi-linear map leads to estimates for certain classes of more general, isoparametric elements. As an application, the Galerkin finite element method for a reaction diffusion problem in a polygonal domain is considered. The boundary layers are resolved using anisotropic trapezoidal elements.

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