For solving systems of grid equations approximating elliptic boundary value problems a method of constructing variable preconditioning procedures is presented. The main purpose is to discuss how an efficient preconditioning iterative procedure can be constructed in the case of elliptic problems with disproportional coefficients, e.g. equations with a large coefficient in the reaction term (or a small diffusion coefficient). The optimality of the suggested technique is based on fictitious space and multilevel decom- position methods. Using an additive form of the preconditioners, we intro- duce factors into the preconditioners to optimize the corresponding conver- gence rate. The optimization with respect to these factors is used at each step of the iterative process. The application of this technique to two-level $p$-hierarchical precondi- tioners and domain decomposition methods is considered too.

A new backward stable, structure preserving method of complexity O(n^3) is presented for computing the stable invariant subspace of a real Hamiltonian matrix and the stabilizing solution of the continuous-time algebraic Riccati equation. The new method is based on the relationship between the invariant subspaces of the Hamiltonian matrix H and the extended matrix /0 H\ and makes use \H 0/ of the symplectic URV-like decomposition that was recently introduced by the authors.

Rank-revealing ULV and URV factorizations are useful tools to determine the rank and to compute bases for null-spaces of a matrix. However, in the practical ULV (resp. URV ) factorization each left (resp. right) null vector is recomputed from its corresponding right (resp. left) null vector via triangular solves. Triangular solves are required at initial factorization, refinement and updating. As a result, algorithms based on these factorizations may be expensive, especially on parallel computers where triangular solves are expensive. In this paper we propose an alternative approach. Our new rank-revealing ULV factorization, which we call ¨top-down¨ ULV factorization ( TDULV -factorization) is based on right null vectors of lower triangular matrices and therefore no triangular solves are required. Right null vectors are easy to estimate accurately using condition estimators such as incremental condition estimator (ICE). The TDULV factorization is shown to be equivalent to the URV factorization with the advantage of circumventing triangular solves.

This paper is concerned with a specific finite element strategy for solving elliptic boundary value problems in domains with corners and edges. First, the anisotropic singular behaviour of the solution is described. Then the finite element method with anisotropic, graded meshes and piecewise linear shape functions is investigated for such problems; the schemes exhibit optimal convergence rates with decreasing mesh size. For the proof, new local interpolation error estimates for functions from anisotropically weighted spaces are derived. Finally, a numerical experiment is described, that shows a good agreement of the calculated approximation orders with the theoretically predicted ones.

Vorlesungsscript zur Lehrveranstaltung ¨Differentialgeometrie¨ fuer Mathematiker, Lehramtsstudenten/Gymnasiallehrer Mathematik, Ingenieure und andere Interessenten. Dieses Vorlesungsscript gibt Einblicke in die Grundlagen der Vektorrechnung, der Kurventheorie und der Flaechentheorie im zwei- bzw. dreidimensionalen Raum. Die entwickelten Theorien werden durch Anwendungsbeispiele untermauert. Weiterhin ist eine Formelsammlung zur Kurven- und Flaechentheorie enthalten.

Die in dieser Arbeit vorgestellte Kompositionsmethode beschäftigt sich damit, bestimmte Aufgabenstellungen aus dem Bereich der Berechnung von Graphenkenngrößen und Grapheninvarianten in endlichen ungerichteten Graphen und Hypergraphen in ein einheitliches Schema einzuordnen und so die Umsetzung in Algorithmen zu erleichtern. Dabei werden zwei Hauptziele verfolgt. Zum einen soll die Menge der mit der Methode lösbaren Aufgaben möglichst groß sein, und zum anderen sollen die entstandenen Algorithmen tatsächliche Berechnungen in einigen Netzen praxisrelevanter Größe ermöglichen. Die Kompositionsmethode belegt mit ihren Zielen somit den Bereich zwischen zwei Extremen der Algorithmenentwicklung: Auf der einen Seite steht die Erzeugung von Spezialalgorithmen, die oft so stark an bestimmte Eigenschaften der zu berechnenden Größen gekoppelt sind, dass eine Anpassung an leicht veränderte Aufgabenstellungen nur schwer möglich ist bzw. unter Umständen der Entwicklung eines völlig neuen Algorithmus gleichkommt; auf der anderen Seite stehen die allgemeingültigen Ansätze, deren Umsetzung häufig zu Algorithmen führt, die bereits für sehr kleine Netze nicht mehr praktisch durchführbar sind. Die gestellten Ziele werden durch eine Formalisierung der Aufgabenstellungen erreicht, deren Ergebnisse direkt in Algorithmen umgesetzt werden können. Dabei müssen jeweils nur wenige aufgabenspezifische Details formuliert werden, die anschließend in einen von der konkreten Aufgabe unabhängigen Rahmenalgorithmus eingebunden werden. Ein solches Verfahren ist aus Sicht eines Anwenders aus der Praxis besonders interessant, da der Rahmenalgorithmus nur ein einziges Mal implementiert werden muss und somit bei wiederholter Verwendung der Methode der Entwicklungsaufwand für die erzeugten Kompositionsalgorithmen erheblich sinkt. Bislang wurden mit Hilfe der Kompositionsmethode zirka dreißig Problemstellungen von der Berechnung chromatischer Invarianten über das Zählen von Hamiltonkreisen bis hin zur Bestimmung von Zuverlässigkeitskenngrößen von stochastischen Netzen bearbeitet. Die von der Methode erzeugten Algorithmen sind dabei in aller Regel nicht optimal in Bezug auf Laufzeit und Speicherbedarf. Dieser Nachteil wird allerdings durch den extrem geringen Entwicklungsaufwand und durch die Anwendbarkeit der Methode auf neue Aufgabenstellungen, für die noch keine Spezialalgorithmen existieren, kompensiert. Besonders bei der Berechnung bestimmter Zuverlässigkeitskenngrößen sowie bei der Lösung von #P-vollständigen Abzählproblemen können die Kompositionsalgorithmen aber auch aktuelle Spezialalgorithmen übertreffen.

Ein zentrales Problem der quantitativen Texturanalyse ist die numerische Inversion der eindimensionalen Radontransformation auf der Lie--Gruppe SO(3) aller Rotationen im dreidimensionalen euklidischen Raum. In der vorliegenden Dissertation wird die Lösbarkeit und Eindeutigkeit dieses inversen Problems untersucht und Fehlerabschätzungen unter Berücksichtigung unvollständiger und fehlerbehafteter Daten hergeleitet. Weiterhin wird ein Algorithmus zur Lösung des inversen Problems vorgeschlagen, welcher auf einer Diskretisierung mittels radialer Basisfunktionen basiert und schnelle Fouriermethoden auf der Kugel und der Lie-Gruppe SO(3) benutzt. In numerischen Tests wird gezeigt, dass der Algorithmus für die Rekonstruktion scharfer Texturen aus Beugungsdaten gemessen auf einem hochauflösenden, ungleichmäßigen Messraster geeignet ist.

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We introduce the notion of nested distance desert automata as a joint generalization and further development of distance automata and desert automata. We show that limitedness of nested distance desert automata is PSPACE-complete. As an application, we show that it is decidable in 22O(n2) space whether the language accepted by an n-state non-deterministic automaton is of a star height less than a given integer h (concerning rational expressions with union, concatenation and iteration). We also show some decidability results for some substitution problems for recognizable languages.

We present a method for determining the reduced Gröbner basis with respect to a given admissible term order of order type ! of the intersection ideal of an infinite sequence of polynomial ideals. As an application we discuss the Lagrange type interpolation on algebraic sets and the 'approximation' of the ideal I of an algebraic set by zero dimensional ideals, whose affine Hilbert functions converge towards the affine Hilbert function of I.