For solving systems of grid equations approximating elliptic boundary value problems a method of constructing variable preconditioning procedures is presented. The main purpose is to discuss how an efficient preconditioning iterative procedure can be constructed in the case of elliptic problems with disproportional coefficients, e.g. equations with a large coefficient in the reaction term (or a small diffusion coefficient). The optimality of the suggested technique is based on fictitious space and multilevel decom- position methods. Using an additive form of the preconditioners, we intro- duce factors into the preconditioners to optimize the corresponding conver- gence rate. The optimization with respect to these factors is used at each step of the iterative process. The application of this technique to two-level $p$-hierarchical precondi- tioners and domain decomposition methods is considered too.

A new backward stable, structure preserving method of complexity O(n^3) is presented for computing the stable invariant subspace of a real Hamiltonian matrix and the stabilizing solution of the continuous-time algebraic Riccati equation. The new method is based on the relationship between the invariant subspaces of the Hamiltonian matrix H and the extended matrix /0 H\ and makes use \H 0/ of the symplectic URV-like decomposition that was recently introduced by the authors.

Rank-revealing ULV and URV factorizations are useful tools to determine the rank and to compute bases for null-spaces of a matrix. However, in the practical ULV (resp. URV ) factorization each left (resp. right) null vector is recomputed from its corresponding right (resp. left) null vector via triangular solves. Triangular solves are required at initial factorization, refinement and updating. As a result, algorithms based on these factorizations may be expensive, especially on parallel computers where triangular solves are expensive. In this paper we propose an alternative approach. Our new rank-revealing ULV factorization, which we call ¨top-down¨ ULV factorization ( TDULV -factorization) is based on right null vectors of lower triangular matrices and therefore no triangular solves are required. Right null vectors are easy to estimate accurately using condition estimators such as incremental condition estimator (ICE). The TDULV factorization is shown to be equivalent to the URV factorization with the advantage of circumventing triangular solves.

This paper is concerned with a specific finite element strategy for solving elliptic boundary value problems in domains with corners and edges. First, the anisotropic singular behaviour of the solution is described. Then the finite element method with anisotropic, graded meshes and piecewise linear shape functions is investigated for such problems; the schemes exhibit optimal convergence rates with decreasing mesh size. For the proof, new local interpolation error estimates for functions from anisotropically weighted spaces are derived. Finally, a numerical experiment is described, that shows a good agreement of the calculated approximation orders with the theoretically predicted ones.

This paper deals with parallelization methods for time-dependent problems where the time steps are shared out among the processors. A Full Multigrid technique serves as solution algorithm, hence information of the preceding time step and of the coarser grid is necessary to compute the solution at each new grid level. Applying the usual extrapolation formula to process this information, the parallelization will not be very efficient. We developed another extrapolation technique which causes a much higher parallelization effect. Test examples show that no essential loss of exactness appears, such that the method presented here shall be well-applicable.

The paper gives an overview over local inequalities for anisotropic simplicial Lagrangian finite elements. The main original contributions are the estimates for higher derivatives of the interpolation error, the formulation of the assumptions on admissible anisotropic finite elements in terms of geometrical conditions in the three-dimensional case, and an anisotropic variant of the inverse inequality. An application of anisotropic meshes in the context of a stabilized Galerkin method for a convection-diffusion problem is given.

Nonsteady Navier-Stokes equations represent a differential-algebraic system of strangeness index one after any spatial discretization. Since such systems are hard to treat in their original form, most approaches use some kind of index reduction. Processing this index reduction it is important to take care of the manifolds contained in the differential-algebraic equation (DAE). We investigate for several discretization schemes for the Navier-Stokes equations how the consideration of the manifolds is taken into account and propose a variant of solving these equations along the lines of the theoretically best index reduction. Applying this technique, the error of the time discretisation depends only on the method applied for solving the DAE.

The main goal of the thesis is to give explicit formulas for the computation of the local Picard group of some binoid algebras. In particular the Stanley-Reisner and the general monomial case are covered. In order to do so, we introduce a new topology on the spectrum of the binoid algebra over a field, that we call combinatorial topology, coarser than Zariski topology, that mimics the topology on the spectrum of a pointed monoid. Then we use the tools of cohomology of sheaves on schemes of pointed monoids in order to prove some formulas for computing the cohomology of the sheaf of units on the punctured spectrum of a simplicial pointed monoid. We prove that the Picard group of a Stanley-Reisner algebra is trivial with the Zariski topology and, finally, we use these results and the combinatorial topology to obtain the explicit formulas. Lastly, we extend this result to any quotient of the polynomial ring over a monomial ideal.

Diese Dissertation behandelt ein Problem aus der Deformationsquantisierung: Nachdem man die Quantisierung eines klassischen Systems konstruiert hat, würde man gerne ihre mathematischen Eigenschaften verstehen (sowohl die des klassischen Systems als auch die des Quantensystems). Falls beide Systeme durch *-Algebren über dem Körper der komplexen Zahlen beschrieben werden, bedeutet dies dass man die Eigenschaften bestimmter *-Algebren verstehen muss: Welche Darstellungen gibt es? Was sind deren Eigenschaften? Wie können die Zustände in diesen Darstellungen beschrieben werden? Wie kann das Spektrum der Observablen beschrieben werden? Um eine hinreichend allgemeine Behandlung dieser Fragen zu ermöglichen, wird das Konzept von abstrakten O*-Algebren entwickelt. Dies sind im Wesentlichen *-Algebren zusammen mit einem Kegel positiver linearer Funktionale darauf (z.B. die stetigen positiven linearen Funktionale wenn man mit einer *-Algebra startet, die mit einer gutartigen Topologie versehen ist). Im Anschluss daran wird dieser Ansatz dann auf zwei Beispiele aus der Deformationsquantisierung angewandt, die im Detail untersucht werden. / This thesis discusses and proposes a solution for one problem arising from deformation quantization: Having constructed the quantization of a classical system, one would like to understand its mathematical properties (of both the classical and quantum system). Especially if both systems are described by ∗-algebras over the field of complex numbers, this means to understand the properties of certain ∗-algebras: What are their representations? What are the properties of these representations? How can the states be described in these representations? How can the spectrum of the observables be described? In order to allow for a sufficiently general treatment of these questions, the concept of abstract O ∗-algebras is introduced. Roughly speaking, these are ∗ -algebras together with a cone of positive linear functionals on them (e.g. the continuous ones if one starts with a ∗-algebra that is endowed with a well-behaved topology). This language is then applied to two examples from deformation quantization, which will be studied in great detail.

This thesis deals with a new so-called sequential quadratic Hamiltonian (SQH) iterative scheme to solve optimal control problems with differential models and cost functionals ranging from smooth to discontinuous and non-convex. This scheme is based on the Pontryagin maximum principle (PMP) that provides necessary optimality conditions for an optimal solution. In this framework, a Hamiltonian function is defined that attains its minimum pointwise at the optimal solution of the corresponding optimal control problem. In the SQH scheme, this Hamiltonian function is augmented by a quadratic penalty term consisting of the current control function and the control function from the previous iteration. The heart of the SQH scheme is to minimize this augmented Hamiltonian function pointwise in order to determine a control update. Since the PMP does not require any differ- entiability with respect to the control argument, the SQH scheme can be used to solve optimal control problems with both smooth and non-convex or even discontinuous cost functionals. The main achievement of the thesis is the formulation of a robust and efficient SQH scheme and a framework in which the convergence analysis of the SQH scheme can be carried out. In this framework, convergence of the scheme means that the calculated solution fulfills the PMP condition. The governing differential models of the considered optimal control problems are ordinary differential equations (ODEs) and partial differential equations (PDEs). In the PDE case, elliptic and parabolic equations as well as the Fokker-Planck (FP) equation are considered. For both the ODE and the PDE cases, assumptions are formulated for which it can be proved that a solution to an optimal control problem has to fulfill the PMP. The obtained results are essential for the discussion of the convergence analysis of the SQH scheme. This analysis has two parts. The first one is the well-posedness of the scheme which means that all steps of the scheme can be carried out and provide a result in finite time. The second part part is the PMP consistency of the solution. This means that the solution of the SQH scheme fulfills the PMP conditions. In the ODE case, the following results are obtained that state well-posedness of the SQH scheme and the PMP consistency of the corresponding solution. Lemma 7 states the existence of a pointwise minimum of the augmented Hamiltonian. Lemma 11 proves the existence of a weight of the quadratic penalty term such that the minimization of the corresponding augmented Hamiltonian results in a control updated that reduces the value of the cost functional. Lemma 12 states that the SQH scheme stops if an iterate is PMP optimal. Theorem 13 proves the cost functional reducing properties of the SQH control updates. The main result is given in Theorem 14, which states the pointwise convergence of the SQH scheme towards a PMP consistent solution. In this ODE framework, the SQH method is applied to two optimal control problems. The first one is an optimal quantum control problem where it is shown that the SQH method converges much faster to an optimal solution than a globalized Newton method. The second optimal control problem is an optimal tumor treatment problem with a system of coupled highly non-linear state equations that describe the tumor growth. It is shown that the framework in which the convergence of the SQH scheme is proved is applicable for this highly non-linear case. Next, the case of PDE control problems is considered. First a general framework is discussed in which a solution to the corresponding optimal control problem fulfills the PMP conditions. In this case, many theoretical estimates are presented in Theorem 59 and Theorem 64 to prove in particular the essential boundedness of the state and adjoint variables. The steps for the convergence analysis of the SQH scheme are analogous to that of the ODE case and result in Theorem 27 that states the PMP consistency of the solution obtained with the SQH scheme. This framework is applied to different elliptic and parabolic optimal control problems, including linear and bilinear control mechanisms, as well as non-linear state equations. Moreover, the SQH method is discussed for solving a state-constrained optimal control problem in an augmented formulation. In this case, it is shown in Theorem 30 that for increasing the weight of the augmentation term, which penalizes the violation of the state constraint, the measure of this state constraint violation by the corresponding solution converges to zero. Furthermore, an optimal control problem with a non-smooth L\(^1\)-tracking term and a non-smooth state equation is investigated. For this purpose, an adjoint equation is defined and the SQH method is used to solve the corresponding optimal control problem. The final part of this thesis is devoted to a class of FP models related to specific stochastic processes. The discussion starts with a focus on random walks where also jumps are included. This framework allows a derivation of a discrete FP model corresponding to a continuous FP model with jumps and boundary conditions ranging from absorbing to totally reflecting. This discussion allows the consideration of the drift-control resulting from an anisotropic probability of the steps of the random walk. Thereafter, in the PMP framework, two drift-diffusion processes and the corresponding FP models with two different control strategies for an optimal control problem with an expectation functional are considered. In the first strategy, the controls depend on time and in the second one, the controls depend on space and time. In both cases a solution to the corresponding optimal control problem is characterized with the PMP conditions, stated in Theorem 48 and Theorem 49. The well-posedness of the SQH scheme is shown in both cases and further conditions are discussed that ensure the convergence of the SQH scheme to a PMP consistent solution. The case of a space and time dependent control strategy results in a special structure of the corresponding PMP conditions that is exploited in another solution method, the so-called direct Hamiltonian (DH) method. / Diese Dissertation handelt von einem neuen so genannten sequentiellen quadratischen Hamilton (SQH) iterativen Schema um Optimalsteuerungsprobleme mit Differentialmodellen und Kostenfunktionalen, die von glatt bis zu unstetig und nicht-konvex reichen, zu lösen. Dieses Schema basiert auf dem Pontryagin Maximumprinzip (PMP), welches notwendige Optimalitätsbedingungen für eine optimale Lösung zur Verfügung stellt. In diesem Rahmen wird eine Hamiltonfunktion definiert, die ihr Minimum punktweise an der optimalen Lösung des entsprechenden Optimalsteuerungsproblems annimmt. In diesem SQH Schema wird diese Hamiltonfunktion durch einen quadratischen Strafterm erweitert, der aus der aktuellen Steuerungsfunktion und der Steuerungsfunktion aus der vorherigen Iteration besteht. Das Herzstück des SQH Schemas ist die punktweise Minimierung dieser erweiterten Hamiltonfunktion um eine Aktualisierung der Steuerungsfunktion zu bestimmen. Da das PMP keine Differenzierbarkeit in Bezug auf das Steuerungsfunktionsargument verlangt, kann das SQH Schema dazu benutzt werden, Optimalsteuerungsprobleme mit sowohl glatten als auch nicht-konvexen oder sogar unstetigen Kostenfunktionalen zu lösen. Das Hauptergebnis dieser Dissertation ist die Formulierung eines robusten und effizienten SQH Schemas und eines Rahmens, in dem die Konvergenzanalyse des SQH Schemas ausgeführt werden kann. In diesem Rahmen bedeutet Konvergenz des Schemas, dass die berechnete Lösung die PMP Bedingung erfüllt. Die steuernden Differentialmodelle der betrachteten Optimalsteuerungsprobleme sind gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs) und partielle Differentialgleichungen (PDEs). Im PDE Fall werden elliptische und parabolische Gleichungen, sowie die Fokker-Planck (FP) Gleichung betrachtet. Für sowohl den ODE als auch den PDE Fall werden Annahmen formuliert, für die bewiesen werden kann, dass eine Lösung eines Optimalsteuerungsproblems das PMP erfüllen muss. Die erhaltenen Resultate sind für die Diskussion der Konvergenzanalyse des SQH Schemas essentiell. Diese Analyse hat zwei Teile. Der erste ist die Wohlgestelltheit des Schemas, was bedeutet, dass alle Schritte des Schemas ausgeführt werden können und ein Ergebnis in endlicher Zeit liefern. Der zweite Teil ist die PMP Konsistenz der Lösung. Das bedeutet, dass die Lösung des SQH Schemas die PMP Bedingungen erfüllt. Im ODE Fall werden die folgenden Resultate erhalten, die die Wohlgestelltheit des Schemas und die PMP Konsistenz der entsprechenden Lösung darlegen. Lemma 7 legt die Existenz eines punktweisen Minimums der erweiterten Hamiltonfunktion dar. Lemma 11 beweist die Existenz eines Gewichtes des quadratischen Strafterms, sodass die Minimierung der entsprechenden erweiterten Hamiltonfunktion zu einer Kontrollaktualisierung führt, die den Wert des Kostenfunktionals verringert. Lemma 12 legt dar, dass das SQH Schema stehen bleibt falls eine Iterierte PMP optimal ist. Satz 13 beweist die Kostenfunktional verringernden Eigenschaften der SQH Steuerungsfunktionsaktualisierung. Das Hauptresultat ist in Satz 14 gegeben, welches die punktweise Konvergenz des SQH Schemas gegen eine PMP konsistente Lösung darlegt. Das SQH-Verfahren wird in diesem ODE Rahmen auf zwei Optimalsteuerungsprobleme angewendet. Das erste ist ein optimales Quantensteuerungsproblem, bei dem gezeigt wird, dass das SQH-Verfahren viel schneller zu einer optimalen Lösung konvergiert als ein globalisiertes Newton-Verfahren. Das zweite Optimalsteuerungsproblem ist ein optimales Tumorbehandlungsproblem mit einem System gekoppelter hochgradig nicht-linearer Zustandsgleichungen, die das Tumorwachstum beschreiben. Es wird gezeigt, dass der Rahmen, in dem die Konvergenz des SQH Schemas bewiesen wird, auf diesen hochgradig nicht-linearen Fall anwendbar ist. Als nächstes wird der Fall von PDE Optimalsteuerungsprobleme betrachtet. Zunächst wird ein allgemeiner Rahmen diskutiert, in dem eine Lösung des entsprechenden Optimalsteuerungsproblem die PMP Bedingungen erfüllt. In diesem Fall werden viele theoretische Abschätzungen in Satz 59 und Satz 64 bewiesen, die insbesondere die essentielle Beschränktheit von Zustands- und Adjungiertenvariablen beweisen. Die Schritte für die Konvergenzanalyse des SQH Schemas sind analog zu denen des ODE Falls und führen zu Satz 27, der die PMP Konsistenz der Lösung, erhalten durch das SQH Schemas, darlegt. Dieser Rahmen wird auf verschiedene elliptische und parabolische Optimalsteuerungsprobleme angewendet, die lineare und bilineare Steuerungsmechanismen beinhalten, genauso wie nicht-lineare Zustandsgleichungen. Darüber hinaus wird das SQH-Verfahren zum Lösen eines zustandsbeschränkten Optimalsteuerungsproblems in einer erweiterten Formulieren diskutiert. Es wird in Satz 30 gezeigt, dass wenn man das Gewicht des Erweiterungsterms, der die Verletzung der Zustandsbeschränkung bestraft, erhöht, das Maß dieser Zustandsbeschränkungsverletzung durch die entsprechende Lösung gegen null konvergiert. Weiterhin wird ein Optimalsteuerungsproblem mit einem nicht-glatten L\(^1\)-Zielverfolgungsterm und einer nicht-glatten Zustandsgleichung untersucht. Für diesen Zweck wird eine adjungierte Gleichung definiert und das SQHVerfahren wird benutzt um das entsprechende Optimalsteuerungsproblem zu lösen. Der letzte Teil dieser Dissertation ist einer Klasse von FP Modellen gewidmet, die auf bestimmte stochastische Prozesse bezogen sind. Die Diskussion beginnt mit dem Fokus auf Random Walks bei dem auch Sprünge mit enthalten sind. Dieser Rahmen erlaubt die Herleitung eines diskreten FP Modells, das einem kontinuierlichen FP Modell mit Sprüngen und Randbedingungen entspricht, die sich zwischen absorbierend bis komplett reflektierend bewegen. Diese Diskussion erlaubt die Betrachtung der Driftsteuerung, die aus einer anisotropen Wahrscheinlichkeit für die Schritte des Random Walks resultiert. Danach werden zwei Drift-Diffusionsprozesse und die entsprechenden FP Modelle mit zwei verschiedenen Steuerungsstrategien für ein Optimalsteuerungsproblem mit Erwartungswertfunktional betrachtet. In der ersten Strategie hängen die Steuerungsfunktionen von der Zeit ab und in der zweiten hängen die Steuerungsfunktionen von Ort und Zeit ab. In beiden Fällen wird eine Lösung zum entsprechendem Optimalsteuerungsproblem mit den PMP Bedingungen charakterisiert, dargestellt in Satz 48 und Satz 49. Die Wohlgestelltheit des SQH Schemas ist in beiden Fällen gezeigt und weitere Bedingungen, die die Konvergenz des SQH Schemas zu einer PMP konsistenten Lösung sicherstellen, werden diskutiert. Der Fall einer Ort und Zeit abhängigen Steuerungsstrategie führt auf eine spezielle Struktur der entsprechenden PMP Bedingungen, die in einem weiteren Lösungsverfahren ausgenutzt werden, dem sogenannten direkten Hamiltonfunktionsverfahren (DH).