Ce travail étudie les difficultés éprouvées par les étudiants en formation initiale à passer du statut détudiant universitaire à celui de professeur du secondaire. En analysant leurs pratiques et leurs discours à propos de lenseignement de la dérivée et du critère de croissance, nous montrerons comment ils adoptent spontanément des pratiques dostension déguisée pour pallier labsence de discours technologique, cest-à-dire de discours rationnel et justificatif. Sur base dune analyse spécifique du thème mathématique concerné, nous caractériserons deux niveaux de rationalité. Le premier correspond à la modélisation mathématique dun système intra ou extra-mathématique formé dobjets mentaux (ici, la détermination de grandeurs), et le second concerne un travail dorganisation déductive du modèle ainsi créé (ici, lanalyse réelle) et de ses propriétés. A ces deux niveaux de rationalité peuvent alors être associés des niveaux de discours qui leur sont spécifiques et qui nous serviront à analyser les pratiques et discours des élèves-professeurs. En confrontant les élèves-professeurs à des projets denseignement relevant de ces différents niveaux, nous mettrons alors en évidence comment labsence didentification du premier niveau, commea limpossibilité à comprendre le milieu effectivement proposé aux élèves, amène les élèves-professeurs à mettre en place un discours hybride tentant de faire cohabiter des arguments de nature visuelle sur les objets mentaux avec des énoncés directement extraits de la théorie. Nous en dégagerons des perspectives concernant lenseignement du thème mathématique choisi, mais aussi les enjeux de la formation initiale et de la recherche en didactique sur cette formation.

Cette thèse est consacrée à l'étude des équations de réaction diffusion non-locale du type $u_(t)-(\int_(\R)J(x-y)[u(y)-u(x)]dy)=f(u)$. Ces équations non-linéaires apparaissent naturellement en physique et en biologie. On s'intéresse plus particulièrement aux propriétés (existence, unicité, monotonie) des solutions du type front progressif. Trois classes de non-linéarités $f$ (bistable, ignition, monostable) sont étudiées. L'existence dans les cas bistable et ignition est obtenue via une technique d'homotopie. Le cas monostable nécessite une autre approche. L'existence est obtenue via une approximation des équations sur des semi-intervales infinis $(-r,+\infty)$. L'unicité et la monotonie des solutions sont quand elles obtenues par méthode de glissement. Le comportement asymptotique ainsi que des formules pour les vitesses sont aussi établis.

Dans cette thèse, on aborde plusieurs questions ayant trait au calcul des variations et à la théorie des équations aux dérivées partielles elliptiques.<br /><br />Dans le chapitre 1, on étudie la condition de pente minorée pour des fonctions définies sur la frontière d'un ouvert de $\R^n.$ <br />Dans le chapitre 2, on s'intéresse à un problème de calcul des variations où la fonctionnelle est de la forme $$u\mapsto \int\{ F(\nabla u(x))+G(x,u(x))\}\,dx$$ et où la condition de Dirichlet est définie par une fonction vérifiant la condition de pente minorée. <br /> Dans le chapitre 3, on étudie une équation aux dérivées partielles elliptique à forme divergentielle avec une condition de Dirichlet qui vérifie la condition de pente minorée. <br />Dans le chapitre 4, on décrit les composantes connexes de l'ensemble $W^{s,p}(M,N).$ <br />Dans le chapitre 5, nous identifions l'ensemble singulier d'une fonction $u\in W^{s,p}(S^N,S^1).$

Dans la premiere partie de cette these, on a etudie l'impact sur les prix d'options des erreurs d'estimation de volatilite. Dans les modeles de diffusion utilises ennance, un coefficient de diffusion fonctinnelle (:; :) modelise la volatilite d'un actif financier. Ce coefficient est estime a partir d'observations donc entache d'erreurs statistiques. L'objectif est de voir l'impact de ces erreurs sur le calcul de prix d'options, qui sont solutions d'EDP paraboliques dont l'estimateur (:; :) est le coefficient de diffusion. Cela debouche sur un probleme de passage a la limite (homogeneisation) dans des equations paraboliques a coefficients aleatoires. Dans ce travail on a obtenu des estimations de la vitesse de convergence locale sur la solution d'une EDP parabolique a coefficients aleatoire, lorsque le coefficient de diffusion est un champ aleatoire convergeant vers une fonction limite. Ce resultat permet d'etudier l'im- pact sur les prix d'options des erreurs d'estimation de volatilite dans differents cas degures. Cette methode est appliquee pour evaluer l'incertitude sur les options a barrieres dans un modele de diffusion lorsqu'on reconstitue la volatilite par la formule de Dupire a partir des donnees discretes sur les prix d'options. La deuxieme partie de cette these concerne l'etude de problemes inverses pour certaine classe d'equations d'evolution integro-differentielles survenant dans l'etude des modeles d'evaluation bases sur les processus de Levy. On a etudie une approche de ces problemes inverses par regularisation de Tikhonov. Cette approche permet de reconstruire de facon stable les parametres d'un modele markovien avec sauts a partir de l'observation d'un nombre ni d'options. Le chapitre 4 pose les bases theoriques de cette approche et propose une parametrisation des mesures de Levy par la racine carree de la densite, ce qui permet de ramener le probleme dans un cadre hilbertien. La regularisation de Tikhonov proposee consiste a minimiser l'ecart quadratique par rapport aux prix observ es plus une norme hilbertienne des parametres. Des resultats d'existence, de stabilite et de convergence de la solution du probleme regularise sont alors obtenus sous de hypotheses assez generales ; des hypotheses supplementaires (conditions de source) permettent d'obtenir une estimation de la vitesse de convergence. Le choix du parametre de regularisation, sujet delicat, fait l'objet d'une discussion detaillee. Le chapitre 5 propose un algorithme numerique pour le calcul de la solution du probleme regularise et l'etude du performance de cet algorithme dans differents modeles avec sauts. L'algorithme est base sur l'emploi d'un algorithme de gradient pour la minimisation de la fonctionnelle regularisee : le gradient est calcule en resolvant une equation integrodifferentielle avec terme source (equation adjointe). Ce travail generalise ceux de Lagnado&Osher, Crepey et Egger & Engl au cas des equations integrodifferentielles. Les tests numeriques montrent que cet algorithme permet de construire de facon stable un processus de Levy calibre a un ensemble de

Les personnes dirigent souvent leur attention vers les objets avec lesquels ils interagissent. Une premiere etape que doivent franchir les systemes informatiques pour s'adapter aux utilisateurs et ameliorer leurs interactions avec eux est de localiser leur emplacement, et en particulier la position de leur tete dans l'image. L'etape suivante est de suivre leur foyer d'attention. C'est pourquoi nous nous interessons aux techniques permettant d'estimer et de suivre le regard des utilisateurs, et en particulier l'orientation de leur tete.<br /><br />Cette these presente une approche completement automatique et independante de l'identite de la personne pour estimer la pose d'un visage a partir d'images basse resolution sous conditions non contraintes. La methode developpee ici est evaluee et validee avec une base de donnees d'images echantillonnee. Nous<br />proposons une nouvelle approche a 2 niveaux qui utilise les apparences globales et locales pour estimer l'orientation de la tete. Cette methode est simple, facile a implementer et robuste a l'occlusion partielle. Les images de visage sont normalisees en<br />taille dans des images de faible resolution a l'aide d'un<br />algorithme de suivi de visage. Ces imagettes sont ensuite projetees dans des memoires autoassociatives et entraineespar la regle d'apprentissage de Widrow-Hoff. Les memoires autoassociatives ne necessitent que peu de parametres et evitent l'usage de couches cachees, ce qui permet la sauvegarde et le chargement de prototypes de poses du visage humain. Nous obtenons une premiere estimation de l'orientation de la tete sur des sujets connus et inconnus.<br /><br />Nous cherchons ensuite dans l'image les traits faciaux saillants du visage pertinents pour chaque pose. Ces traits sont decrits par des champs receptifs gaussiens normalises a l'echelle intrinseque. Ces descripteurs ont des proprietes interessantes et sont moins couteux que les ondelettes de Gabor. Les traits saillants du visage detectes par les champs receptifs gaussiens motivent la construction d'un modele de graphe pour chaque pose. Chaque noeud du graphe peut etre deplace localement en fonction de la saillance du point facial qu'il represente. Nous recherchons parmi les poses voisines de celle trouvee par les memoires autoassociatives le graphe qui correspond le mieux a l'image de test. La pose correspondante est selectionnee comme la pose du visage de la personne sur l'image. Cette methode n'utilise pas d'heuristique, d'annotation manuelle ou de connaissances prealables sur le visage et peut etre adaptee pour estimer la pose d'autres objets deformables.

Cette thèse est consacrée à certains modèles mathématiques décrivant le mouvement d'une population de cellules, qui interagissent via un signal chimique. L'accent est mis sur le modèle parabolique de Patlak-Keller-Segel, et dans une moindre mesure, sur le modèle cinétique d'Othmer-Dunbar-Alt.<br /><br />Dans une première partie nous étudions plusieurs variantes du modèle PKS classique, incluant notamment une diffusion non-linéaire des cellules, ou bien une loi de diffusion chimique à noyau de Green logarithmique. Puis nous montrons l'existence globale pour une masse sous-critique du modèle PKS classique dans tout l'espace $\mathbb{R}^2$.<br />On complexifie ensuite le modèle de base en ajoutant un intermédiaire chimique réactionnel, ce qui modifie l'homogénéité du système. Enfin les conditions d'existence globale pour le modèle cinétique ODA avec effets délocalisants sont affaiblies par rapport aux travaux précédents.<br /><br />Dans une deuxième partie nous appliquons le modèle phénoménologique de PKS, et son principe de masse critique, à un processus d'auto-organisation remarquable dans le cerveau: la sclérose concentrique de Baló. Un couplage adéquat entre un front de propagation et une instabilité de PKS décrit raisonnablement les motifs en anneaux de la maladie.<br /><br />La troisième partie adopte le point de vue du transport optimal de masse pour analyser le modèle de PKS unidimensionnel modifié auparavant (afin de partager les caractéristiques de PKS 2D). Bien que la fonctionnelle d'énergie ne soit pas convexe par déplacement, nous démontrons la convergence vers un unique état d'équilibre, lorsqu'il existe. Ces nouvelles idées sont mises en oeuvre numériquement~: un flot gradient discret pour la distance de Wasserstein est analysé, puis simulé en dimension un d'espace.<br /><br />Plusieurs annexes viennent compléter ce travail, dont une annexe qui regroupe tous les aspects numériques de la thèse.