Cette thèse est constituée de deux parties : Dans la première partie nous étudions l’existence de solutions périodiques, de periode donnée, et à variations bornées, de l’équation de van der Pol en présence d’impulsions. Nous étudions, en premier, le cas où les impulsions ne dépendent pas de l’état. Ensuite, nous considèrons le cas où les impulsions dépendent de la moyenne de l’état et enfin, nous traitons le cas général où les impulsions dépendent de l’état. La méthode de résolution est basée sur le principe de point fixe de type contraction. Nous nous intéressons ensuite à l’étude d’un problème avec trois points aux limites, associé à certaines équations différentielles impulsives du second ordre. Nous obtenons un premier résultat d’existence de solutions en appliquant le théorème de point fixe de Schaefer. Un deuxième résultat est obtenu en utilisant le théorème de point fixe de Sadovskii. Pour le résultat d’unicité des solutions nous appliquons, enfin, un théorème de point fixe de type contraction. La deuxième partie est consacrée à la justification de la technique de moyennisation dans le cadre des équations différentielles floues. Les conditions sur les données que nous imposons sont moins restrictives que celles de la littérature.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

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Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Titre de l'écran-titre (visionné le 5 septembre 2023) / Dans cette thèse, nous étudions la perturbation d'ordre critique des processus de diffusion et de type diffusion, tels que le mouvement brownien ou le processus α-stable, par un terme de drift. Notre attention se focalisera principalement sur le point de vue analytique, c'est-à-dire l'existence et les propriétés du processus qui proviennent de la théorie de régularité de l'objet analytique qui lui correspond. Ce point de vue est bien adapté pour traiter des perturbations singulières. Dans un premier temps, en nous appuyant sur les points précédents et en tirant parti du point de vue analytique, nous avons pu prouver que les équations différentielles stochastiques avec un drift dans une large classe de champs vectoriels dépendant du temps ont une solution faible et unique. Deuxièmement, nous avons développé la théorie de la régularité de l'opérateur fractionnaire (non local) de Kolmogorov avec un drift ayant des singularités d'ordre critique, en d'autres termes nous avons établi la régularité des solutions à l'équation parabolique correspondante, et nous avons ensuite prouvé l'existence et l'unicité de la solution à l'équation différentielle associée. Enfin, nous avons étudié le noyau de chaleur de l'équation de diffusion fractionnaire supercritique avec un drift ayant une continuité critique de Hölder. Nous montrons qu'un tel drift peut avoir des irrégularités ponctuelles suffisamment fortes pour que le noyau de chaleur disparaisse en un point pour tout t > 0. / In this thesis we study the critical order perturbation of diffusion and diffusion-like processes, such as Brownian motion or α-stable processes, by a drift term. We will mainly focus on the analytic point of view, i.e. the existence and the properties of the process which come from the theory of regularity of the analytical object which corresponds to it. This point of view is well adapted to deal with singular perturbations. First, based on the previous points and taking advantage of the analytical point of view, we were able to prove that the stochastic differential equations with drift in a large class of time-dependent vector fields have a unique weak solution. Secondly, we have developed the regularity theory of the fractional (non-local) Kolmogorov operator with a drift having critical order singularities, in other words we established the regularity of the solutions to the corresponding parabolic equation, and then proved the existence and uniqueness of the solution to the associated differential equation. Finally, we have studied the heat kernel of the supercritical fractional diffusion equation with drift having critical Hölder continuity. We show that such a drift can have point irregularities strong enough for the heat kernel to vanish at a point for any t > 0.

Ce travail propose différents modèles de mathématiques issus à des phénomènes naturels. L'outil indispensable à cette étude sont les inclusions différentielles, les équations (ou les systèmes d'équations) différentielles ou aux dérivées partielles et la théorie des bifurcations. La nature des ces équations dépend du problème traité: il peut s'agir d'équations de transport, de réaction-diffusion, d'équations non-locales, etc. Nous souhaitons apporter ici quelques informations et explications sur les différents modèles que nous allons étudier. Dans la première partie, il s'agit d'étudier l'existence des solutions, critère de compacité pour l'ensemble de solutions ainsi que la continuité de l'opérateur solution pour certaines classes d'inclusions différentielles impulsives de type neutre, un exemple d'application est traité à la fin de cet première partie, c'est une extension des résultats obtenus dans l'étude théorique. La seconde partie s'attache à l'analyse d'un autre modèle mathématique décrivant l'évolution de la maladie du cancer, il s'agit d'un système d'équations différentielles avec impulsions, les équations différentielles représentent l'évolution des cellules normales, cancéreuses sensibles et cancéreuses résistantes. Les impulsions représentent la chimiothérapie. On considère le cas de l'absence des cellules de la tumeur et on utilise un traitement préventif pour éradiquer la maladie, on étudie tout d'abord les conditions de stabilité des solutions triviales qui représentent l'éradication de la maladie, puis on traite le cas des bifurcations de solutions non triviales qui représentent le retour de maladie. On s'intéresse dans la dernière partie à la modélisation de la maladie d'Alzheimer. On construit un modèle qui décrit d'une part la formation de plaque amyloide {in vivo}, et d'autre part les interactions entre les oligomères A$\beta$ et la protéine prion qui induiraient la perte de mémoire. On mène l'analyse mathématique de ce modèle dans un cas particulier puis dans un cas plus général où le taux de polymérisation est une loi de puissance.

La modélisation mathématique est un outil largement employé dans plusieurs disciplines des sciences appliquées. En hydrologie, en biologie, en économie ainsi que d'autres domaines des sciences naturelles, sociales et humaines, le recours à la modélisation mathématique est une démarche de plus en plus fréquente. Par exemple, en hydrologie, plusieurs modèles mathématiques sont conçus pour décrire ou prédire la relation existante entre les hauteurs d'eau et les débits des rivières. Dans le cadre de cette thèse nous nous sommes intéressés au développement de nouveaux modèles permettant de modéliser les phénomènes de croissance qui nécessitent la présence d'une asymptote linéaire croissante ou curviligne. Pour atteindre cet objectif, l'idée de base a été d'utiliser quelques modèles parmi les plus répandus en pratique et de les modifier judicieusement (et simplement) de façon à introduire une asymptote soit linéaire soit curviligne tout en conservant leur unique point d'inflexion. La modification que nous avons introduite conserve aussi le caractère simple et continue de ces modèles ainsi que la forme lisse et croissante de leurs courbes. Nous obtenons ainsi des modèles qui répondent aux besoins de la modélisation lorsque les modèles standards échouent.

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