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Ce travail de thèse porte sur les équations différentielles stochastiques progressives rétrogrades, en particulier celles dont le coefficient de diffusion progressif dépend de toutes les inconnues. Nous proposons une manière originale d'aborder le problème, nous permettant de retrouver des résultats classiques d'existence et d'unicité de Pardoux-Tang ou Yong. Nous obtenons de surcroît, en adoptant l'approche Pardoux-Tang en solutions de viscosité, des représentations probabilistes de toute une nouvelle classe d'EDP paraboliques dont les coefficients de dérivation d'ordre 2 dépendent du gradient de la solution. Nous proposons également un schéma de discrétisation itératif dont nous prouvons la convergence et évaluons l'erreur sur un exemple bien particulier.

La première partie de cette thèse traite de la manipulation des séries de polynômes orthogonaux classiques par le calcul formel. Grâce à l'approche hypergéométrique, nous obtenons de manière synthétique et constructive des opérateurs aux différences qui définissent les opérations élémentaires sur les séries de polynômes orthogonaux classiques telles que le produit par un polynôme, la dérivation ou l'évaluation des séries partielles. Ces opérations élémentaires sont implémentées en Maple sous forme de primitives à partir desquelles des opérations plus complexes sont construites : application d'un opérateur différentiel, produits de séries et surtout la résolution de problèmes différentiels au moyen de tau-méthodes. Dans le cas des séries de Chebyshev, les résultats de la premiére partie permettent de construire une équation récurrente, dite récurrence de Chebyshev, vérifiée par les coefficients de Chebyshev de toute fonction solution d'une équation différentielle holonome donnée. Divers problèmes relatifs à la construction et à la structure de la récurrence de Chebyshev sont traités. Parallèlement, les solutions de la récurrence de Chebyshev conduisent à la notion de série de Chebyshev formelle solution d'une équation différentielle. Un théorème décrit le comportement asympotique des coefficients d'une telle série qui peut être divergente. Dans certains cas, le lien entre une série de Chebyshev divergente et une fonction toutes deux solutions de la même equation differentielle peut être établi soit par des méthodes de resommation soit par une suite d'intégrales dans le champ complexe.

Le sujet de la thèse se situe dans le cadre de l'étude des équations différentielles ordinaires et des systèmes dynamiques non linéaires. La thèse présente une étude des attracteurs des systèmes dynamiques dissipatifs. En particulier, l'attracteur chaotique de Lorenz et les cycles limites des systèmes de Liénard. La première partie est dédiée au système de Lorenz. Ce système est obtenu par simplication des équations de Boussinesq fourmulées dans la cadre de la convection de Rayleigh-Bénard. Le système de Lorenz est important car il est le premier à avoir exhibé un comportement chaotique. On utilise des sections transverses (courbes ou surfaces qui ne sont traversées par le flot que dans un seul sens sur toute leur étendue) pour acquerir de l'information sur l'attracteur chaotique du système. Pour cela, on utilise les formes algébriques des intégrales du mouvement pour trouver des équations de sections tranverses. L'existance des ces sections transverses pour des plages de valeurs des paramètres nous permet de donner des limites algébriques à l'attracteur chaotique du systeme quand celui ci existe mais aussi de donner des plages de valeur des paramètres pour lesquelles il n'y a pas de comportement chaotique possible. La deuxième partie de la thèse présente un algorithme formel qui donne accès au nombre de cycles limites des systèmes de Liénard. En plus du nombre, on obtient une approximation algébrique de l'equation ainsi que la multiplicité de chacun de ces cycles. Le grand intérêt de cet algorithme est qu'il ne repose pas sur l'existence d'un petit paramètre (l'algorithme n'est pas perturbatif) et qu'il change le problème initial de résoudre une équation differentielle nonlinéaire en un problème algébrique de compter les racines d'un polynôme à une variable. On obtient aussi grâce à cet algorithme des approximations algébriques des courbes de bifurcations (de Hopf, saddle-node, hétérocline) des systèmes de Liénard.

Le but de cette thèse est de fournir des moyens de calcul et de visualisation d'objets mathématiques issus de l'analyse complexe. Dans ce cadre, de nombreux problèmes d'origine mathématique empêchent d'utiliser les nombres complexes aussi naturellement que les nombres réels : indéterminations dans les calculs, nombre élevé de dimensions empêchant les méthodes naïves de visualisation, phénomènes multiformes. Au niveau calcul, quelques méthodes ont été étudiées, menant à la définition d'un modèle de programmation permettant de gérer les indéterminations. Au niveau visualisation, des méthodes adaptées aux objets mathématiques complexes ont été mises au point, en particulier dans le cadre des solutions d'équations différentielles complexes. Toutes ces méthodes (calcul, visualisation) ont été implémentées sous forme de modules dans un environnement commun permettant le prototypage rapide d'expériences, axées notamment sur un couplage entre calcul et visualisation. Les différentes applications présentées dans le document (intégration numérique d'équations différentielles avec des fonctions multiformes, visualisation de solutions d'équations différentielles complexes, visualisation de l'erreur globale estimée pendant une intégration) y ont été intégrées.

Nous présentons dans ce mémoire un résumé des travaux concernant tout d'abord les discrétisations de processus stochastiques: processus de diffusion stoppés, équation différentielles stochastiques rétrogrades, développement d'erreur pour les densités d'EDS dirigées par des processus stables symétriques approchées par leur schéma d'Euler. Nous abordons ensuite les estimées de densité pour une certaine classe de processus dégénérés (processus de Langevin et théorème limite local associé, chaine d'oscillateurs bruités) ainsi que quelques applications (bornes de Monte Carlo non asymptotiques).

Si l'interet et l'efficacite des methodes d'analyse statique par interpretation abstraite pour la verification des programmes critiques embarques ne sont plus a demontrer, il est maintenant necessaire d'obtenir des methodes les plus precises possibles. Si l'utilisation de domaines abstraits relationnels de plus en plus elabores permet de diminuer la surapproximation dont souffre les domaines les plus simples, les analyses actuelles souffrent toujours d'une mauvais prise en compte des entrees du programme. Ces entrees sont fournies par un capteur qui mesure une grandeur physique, et sont generalement surapproximees par un intervalle. Une piste d'etude recente pour mieux gerer ces entrees continues consiste a etudier, outre le programme lui-meme, l'environnement physique dans lequel il est execute. On obtient ainsi un systeme plus complexe comprenant une dynamique discrete (le programme) et une dynamique continue (l'environnement). L'etude de tels systemes hybrides repose actuellement essentiellement sur des extensions des automates a etats finis et des algebres de processus introduisant une dynamique continue. L'analyse de ces systemes par des techniques de model-checking souffre encore d'une explosion combinatoire excluant leur utilisation pour les logiciels embarques critiques les plus gros. La premiere contribution de cette these est une extension des langages de programmation imperatifs permettant de d´ecrire a la fois le programme, l'environnement exterieur et les interactions entre le programme et l'environnement. L'environnement physique est d´ecrit par un ensemble d'equations differentielles representant chacune un mode continu, et les interactions entre le programme et l'exterieur sont modelises par deux mots cles representant les capteurs et actionneurs. Nous donnons a l'ensemble (programme plus environnement physique) une semantique denotationnelle qui reste tres proche de celle definie pour les langages imperatifs classiques. La difficulte majeure dans la construction de cette semantique a ete de definir une semantique pour la partie continue : les solutions des equations diff´erentielles sont exprimees comme le plus petit point fixe d'un operateur monotone dans un CPO, et nous montrons que les iterees de Kleene convergent vers ce point fixe. La seconde contribution est une methode d'analyse statique par interpretation abstraite de ces systemes hybrides. Cette methode fonctionne en deux temps. Tout d'abord, sous certaines restrictions portant sur le programme a analyser, on construit un recouvrement de l'espace des variables d'entree via une analyse par intervalle couplee a une analyse d'atteignabilite en avant. On obtient ainsi une abstraction de l'impact qu'a le programme sur l'evolution continue : l'espace d'entree du programme est d´coupe en zones dans lesquelles on est sur qu'un actionneur sera active. Dans un deuxieme temps, nous utilisons ce recouvrement et une methode d'integration garantie des equations differentielles pour obtenir une surapproximation de l'evolution continue. Un analyseur prototype implementant ces techniques a ete developpe et les tests sur les exemples classiques de systemes hybrides montrent de bons resultats. Enfin, la troisieme contribution de cette these est une nouvelle methode d'integration garantie nommee GRKLib. Contrairement aux methodes existantes, GRKLib se fonde sur un schema d'integration numerique non garantie (nous avons choisi un schema de Runge-Kutta d'ordre 4, mais n'importe quelle autre convient) et nous calculons, en utilisant l'arithmetique d'intervalles, l'erreur globale commise lors de l'integration numerique. Cette erreur s'exprime comme la somme de trois termes : l'erreur sur un pas, la propagation de l'erreur et l'erreur due aux nombres flottants. Chaque terme est calcule separement et des techniques avancees permettent de les reduire et de controler au mieux le pas d'integration pour limiter l'accroissement de l'erreur globale. Une librairie C++ implementant ces concepts a ete developpee, et les resultats presentes dans cette these sont prometteurs.

Le lymphocyte T est une cellule clé de l'immunité spécifique. Dans le but de créer un outil de compréhension et de prédiction de certains mécanismes immunitaires, une modélisation de la réponse immunitaire du lymphocyte T est proposée. L'activation du lymphocyte par la reconnaissance d'un peptide apprêté par une cellule présentatrice d'antigène est une étape essentielle de cette réponse immunitaire. Cette activation a été modélisée par un système d'équations différentielles ordinaires, de type cinétique chimique, représentant l'évolution temporelle des concentrations de différentes protéines lymphocytaires (TCR/CD3, CD28, CD69, CD25, IL-2). Afin de considérer une quantité d'antigène variable dans l'organisme, un modèle de prolifération virale a aussi été écrit, basé sur des exemples de modèles proies/prédateurs, obtenant ainsi un système d'équations différentielles ordinaires mettant en jeu un virus donné, les cellules cibles du virus, saines ou infectées, et l'action des lymphocytes T cytotoxiques. Un couplage de ces deux modèles (activation lymphocytaire T et prolifération virale) permet une approche de simulation de la réponse lymphocytaire T spécifique à une infection virale.

Dans cette thèse, nous étudions la dynamique du flot géodésique de Teichmüller. L'origine de cet intérêt provient de l'étude d'une classe très importante de systèmes dynamiques : celle des échanges d'intervalles. Dans des travaux classiques, Masur et Veech montrent en 1982 que la dynamique de ces échanges d'intervalles est reliée avec la dynamique du flot géodésique de Teichmüller sur l'espace des modules des courbes complexes. L'espace des phases de ce flot peut être vu comme l'espace des modules des différentielles quadratiques sur une surface. Ces espaces sont naturellement stratifiés par le type des singularités des formes. De plus ces strates sont préservées par l'action de ce flot. Des résultats classiques affirment que ces strates sont des orbifolds complexes et sont non-vides et non-connexes en « général ». La motivation du travail expliqué dans cette thèse est donnée par le résultat fondamental, démontré indépendamment par Masur et par Veech (1982), qui affirme que le flot géodésique de Teichmüller agit de façon ergodique sur chaque composante connexe de chaque strate (normalisée), par rapport à une mesure invariante de masse finie. Kontsevich et Zorich ont classifié les composantes connexes des strates de l'espace des modules Hg des différentielles abéliennes. Dans cette thèse, nous donnons une description précise des composantes des strates dans le cas complémentaire de celui de Kontsevich- Zorich, c'est-à-dire de l'espace des modules Qg des différentielles quadratiques qui ne sont pas globalement le carré de différentielles abéliennes. Par ailleurs, nous donnons une formule explicite pour le calcul de la structure spin d'une différentielle quadratique de Qg en termes uniquement des singularités de la strate. Ceci contredit une conjecture de Kontsevich-Zorich sur la classification des composantes connexes non-hyperelliptiques de Qg par cette structure spin. En utilisant cette formule, nous donnons une application dans le contexte des billards dans un polygone rationnel.