Cette thèse se veut d'abord une étude mathématique qui donne des bases théoriques au calcul numérique des dimensions fractales d'un attracteur. Des nombreuses expériences numériques relient la théorie aux exigences qui apparaissent dans les applications. L'algorithme de calcul des dimensions fractales propose par Paladin et Vulpiani, que nous appelons algorithme des points centraux, nous semble être le plus puissant parmi les algorithmes proposés. Nous donnons la description détaillée de cet algorithme, et espérons qu'elle est aussi compréhensible pour un non-spécialiste. Une méthode d'estimation d'erreur pour cet algorithme est proposée et justifiée par des résultats des expériences numériques. Le cout de l'algorithme est calcule. La thèse est complétée par l'étude d'un système dynamique, qui modélise une réaction biochimique chaotique, qui intervient dans le cycle de vie d'un genre d'amibes

Cette thèse se situe dans le cadre de l'analyse théorique et numérique de modèles en séparation de phase qui tiennent compte d'effets d'anisotropie. Ceci est pertinent, par exemple, pour l'évolution de cristaux dans leur matrice liquide pour lesquels ces effets d'anisotropie sont très forts. On étudie l'existence, l'unicité et la régularité de la solution des équations de Cahn-Hilliard et d'Allen-Cahn ainsi que son comportement asymptotique en terme d'existence d'un attracteur global de dimension fractale finie. La première partie de la thèse concerne certains modèles de séparation de phase qui, en particulier, décrivent la formation de motifs dendritiques. D'abord, on étudie les équations de Cahn-Hilliard et d'Allen-Cahn qui prennent en compte les effets d'anisotropie forts en dimension un avec des conditions de type Neumann sur le bord et une non linéarité régulière de type polynomial. En particulier, ces modèles contiennent un terme supplémentaire appelé régularisation de Willmore. Ensuite, on étudie ces modèles avec des conditions de type périodique (respectivement, Dirichlet) sur le bord pour l'équation de Cahn-Hilliard (respectivement, d'Allen-Cahn) mais en dimension spatiales plus élevées. Finalement, on étudie la dynamique des équations de Cahn-Hilliard et d'Allen-Cahn visqueux avec des conditions de type Neumann et Dirichlet respectivement sur le bord et une non linéarité régulière et en plus, la présence de simulations numériques qui montrent les effets du terme de viscosité sur l'anisotropie et l'isotropie dans l'équation de Cahn-Hilliard. Dans le dernier chapitre, on étudie le comportement en temps long en termes d'attracteurs de dimension finie, d'une classe d'équations doublement non linéaires de type Allen-Cahn avec des conditions de type Dirichlet sur le bord et une non linéarité singulière. / This thesis is situated in the context of the theoretical and numerical analysis of models in phase separation which take into account the anisotropic effects. This is relevant, for example, for the development of crystals in their liquid matrix for which the effects of anisotropy are very strong. We study the existence, uniqueness and the regularity of the solution of Cahn-Hilliard and Alen-Cahn equations and the asymptotic behavior in terms of the existence of a global attractor with finite fractal dimension. The first part of the thesis concerns some models in phase separation which, in particular, describe the formation of dendritic patterns. We start by study- ing the anisotropic Cahn-Hilliard and Allen-Cahn equations in one space dimension both associated with Neumann boundary conditions and a regular nonlinearity. In particular, these two models contain an additional term called Willmore regularization. Furthermore, we study these two models with Periodic (respectively, Dirichlet) boundary conditions for the Cahn-Hilliard (respectively, Allen-Cahn) equation but in higher space dimensions. Finally, we study the dynamics of the viscous Cahn-Hilliard and Allen-Cahn equations with Neumann and Dirichlet boundary conditions respectively and a regular nonlinearity in the presence of the Willmore regularization term and we also give some numerical simulations which show the effects of the viscosity term on the anisotropic and isotropic Cahn-Hilliard equations. In the last chapter, we study the long time behavior, in terms of finite dimensional attractors, of a class of doubly nonlinear Allen-Cahn equations with Dirichlet boundary conditions and singular potentials.

Dans cette thèse, on étudie l'existence, l'unicité et la régularité des solutionsd'équation de type Cahn-Hilliard ainsi que son comportement asymptotiqueen termes d'existence de l'attracteur global et d'un attracteur exponentiel. Cetteéquation est considérée dans un domaine borné et régulier pour différents types denonlinéarités et de conditions au bord.D'abord, on étudie l'équation avec des conditions de type Dirichlet sur le bord etune nonlinéarité régulière. Après, on considère une perturbation du problème et ondémontre l'existence d'une famille robuste d'attracteurs exponentiels lorsque ε tendvers 0.Ensuite, on étudie l'équation avec des conditions dynamiques sur le bord. On considèretout d'abord une nonlinéarité régulière et on donne une étude théorique etnumérique. Après, on illustre ces résultats par des simulations numériques en dimensiondeux d'espace qui permettent d'étudier l'influence des différents paramètres.On termine par une étude du modèle considéré avec une nonlinéarité singulière quel'on approche par des fonctions régulières et on introduit une notion de solutionappropriée. / This thesis is devoted to the study of the existence, uniqueness andregularity of solutions for a Cahn-Hilliard type equation, as well as the asymptoticbehavior in terms of existence of the global attractor and of an exponential attractor.This equation is considered in a bounded and smooth domain under variousassumptions on the nonlinear terms and with different boundary conditions.We start by studying the equation with Dirichlet boundary conditions and a regularnonlinearity. Then, we consider a perturbation of the problem and we prove theexistence of a robust family of exponential attractors as ε tends to 0.For the equation endowed with dynamic boundary conditions, we first consider aregular nonlinearity and we treat the theoretical and numerical analysis. Then, weillustrate the results by numerical simulations in two space dimension which allow usto study the influence of different parameters. Finally, we treat the problem consideredwith a singular nonlinearity which is approximated by regular functions andwe give a suitable notion of solutions.

Le sujet de la thèse se situe dans le cadre de l'étude des équations différentielles ordinaires et des systèmes dynamiques non linéaires. La thèse présente une étude des attracteurs des systèmes dynamiques dissipatifs. En particulier, l'attracteur chaotique de Lorenz et les cycles limites des systèmes de Liénard. La première partie est dédiée au système de Lorenz. Ce système est obtenu par simplication des équations de Boussinesq fourmulées dans la cadre de la convection de Rayleigh-Bénard. Le système de Lorenz est important car il est le premier à avoir exhibé un comportement chaotique. On utilise des sections transverses (courbes ou surfaces qui ne sont traversées par le flot que dans un seul sens sur toute leur étendue) pour acquerir de l'information sur l'attracteur chaotique du système. Pour cela, on utilise les formes algébriques des intégrales du mouvement pour trouver des équations de sections tranverses. L'existance des ces sections transverses pour des plages de valeurs des paramètres nous permet de donner des limites algébriques à l'attracteur chaotique du systeme quand celui ci existe mais aussi de donner des plages de valeur des paramètres pour lesquelles il n'y a pas de comportement chaotique possible. La deuxième partie de la thèse présente un algorithme formel qui donne accès au nombre de cycles limites des systèmes de Liénard. En plus du nombre, on obtient une approximation algébrique de l'equation ainsi que la multiplicité de chacun de ces cycles. Le grand intérêt de cet algorithme est qu'il ne repose pas sur l'existence d'un petit paramètre (l'algorithme n'est pas perturbatif) et qu'il change le problème initial de résoudre une équation differentielle nonlinéaire en un problème algébrique de compter les racines d'un polynôme à une variable. On obtient aussi grâce à cet algorithme des approximations algébriques des courbes de bifurcations (de Hopf, saddle-node, hétérocline) des systèmes de Liénard.

Cette thèse, intitulée « Attraction de polarisation et instabilité modulationnelle incohérente dans les fibres optiques », présente l'étude théorique et expérimentale de deux processus novateurs dans le domaine de l'optique non linéaire dans les fibres optiques. Après avoir introduit quelques rappels théoriques utiles dans le premier chapitre, le second chapitre présente une étude sur l'Instabilité Modulationnelle incohérente dans les fibres optiques. Cette étude démontre la possibilité de générer de l'Instabilité Modulationnelle dans une fibre optique à l'aide d'une onde optique partiellement incohérente, et met en avant ses caractéristiques principales. Le troisième chapitre traite du phénomène d'attraction de polarisation dans les fibres optiques isotropes. Nous y démontrons son existence, ainsi que ses principales caractéristiques, et étudions l'usage qui pourrait en être fait pour des applications télécoms.

Les cellules de lieu de l’hippocampe sont des neurones aux propriétés intrigantes, commele fait que leur activité soit corrélée à la position spatiale de l’animal. Il est généralementconsidéré que ces propriétés peuvent être expliquées en grande partie par les comporte-ments collectifs de modèles schématiques de neurones en interaction. La physique statis-tique fournit des outils permettant l’étude analytique et numérique de ces comportementscollectifs.Nous abordons ici le problème de l’utilisation de ces outils dans le cadre du paradigmedu “réseau attracteur”, une hypothèse théorique sur la nature de la mémoire. La questionest de savoir comment ces méthodes et ce cadre théorique peuvent aider à comprendrel’activité des cellules de lieu. Dans un premier temps, nous proposons un modèle de cellulesde lieu dans lequel la localisation spatiale de l’activité neuronale est le résultat d’unedynamique d’attracteur. Plusieurs aspects des propriétés collectives de ce modèle sontétudiés. La simplicité du modèle permet de les comprendre en profondeur. Le diagrammede phase du modèle est calculé et discuté en comparaison avec des travaux précedents.Du point de vue dynamique, l’évolution du système présente des motifs particulièrementriches. La seconde partie de cette thèse est à propos du décodage de l’activité des cellulesde lieu. Nous nous demandons quelle est l’implication de l’hypothèse des attracteurs surce problème. Nous comparons plusieurs méthodes de décodage et leurs résultats sur letraitement de données expérimentales. / Place cells in the hippocampus are neurons with interesting properties such as the corre-lation between their activity and the animal’s position in space. It is believed that theseproperties can be for the most part understood by collective behaviours of models of inter-acting simplified neurons. Statistical mechanics provides tools permitting to study thesecollective behaviours, both analytically and numerically.Here, we address how these tools can be used to understand place-cell activity withinthe attractor neural network paradigm, a theory for memory. We first propose a modelfor place cells in which the formation of a localized bump of activity is accounted for byattractor dynamics. Several aspects of the collective properties of this model are studied.Thanks to the simplicity of the model, they can be understood in great detail. The phasediagram of the model is computed and discussed in relation with previous works on at-tractor neural networks. The dynamical evolution of the system displays particularly richpatterns. The second part of this thesis deals with decoding place-cell activity, and theimplications of the attractor hypothesis on this problem. We compare several decodingmethods and their results on the processing of experimental recordings of place cells in afreely behaving rat.

Cette thèse est une étude théorique d’un système d’équations de Cahn-Hilliard/Allen-Cahn couplées qui représente un mélange binaire en séparation de phase. Le but principal de l’étude est le comportement asymptotique des solutions en termes d’attracteurs exponentiels/globaux. Pour cette raison, l’existence et l’unicité de la solution sont étudiées tout d’abord. Une des principales applications de ce modèle d’équations est la cristallographie.Dans la première partie de la thèse, on examine le modèle proposé avec des conditions de type Dirichlet sur le bord et une non linéarité régulière de type polynomial : on réussit à trouver un attracteur exponentiel et par conséquence un attracteur global de dimension finie. Une non linéarité singulière de type logarithmique est ensuite prise dans la deuxième partie, cette fonction étant approchée par une suite de fonctions régulières et l’existence d’un attracteur global est démontrée sous des conditions au bord de type Dirichlet.Enfin, dans la dernière partie, le système est couplé avec une équation pour la température: suivant la loi de Fourrier premièrement, puis la loi de type III de la thermo-élasticité. Dans les deux cas, la dynamique de l’équation est étudiée et un attracteur exponentiel est trouvé malgré la difficulté créée par l’équation hyperbolique dans le deuxième cas. / This thesis is a theoretical study of a coupled system of equations of Cahn-Hilliard and Allen-Cahn that represents phase separation of binary alloys. The main goal of this study is to investigate the asymptotic behavior of the solution in terms of exponential/global attractors. For this reason, the existence and unicity of the solution are first studied. One of the most important applications of this proposed model of equations is crystallography. In the first part of the thesis, the system is studied with boundary conditions of Dirichlet type and a regular nonlinearity (a polynomial). There, we prove the existence of an exponential attractor that leads to the existence of a global attractor of finite dimension. Then, a singular nonlinearity (a logarithmic potential) is considered in the second part. This function is approximated by a sequence of regular ones and a global attractor is found.At the end, the system of equations is coupled with temperature: with the Fourrier law in the first case, then with the type III law (in the context of thermoelasticity) in the second case. The dynamics of the equations are studied and the existence of an exponential attractor is obtained.

Cette thèse se situe dans le cadre de l'analyse théorique et numérique de quelques généralisations de l'équation de Cahn-Hilliard. On étudie l'existence, l'unicité et la régularité de la solution de ces modèles ainsi que son comportement asymptotique en terme d'existence d'un attracteur global de dimension fractale finie. La première partie de la thèse concerne des modèles appliqués à la retouche d'images. D'abord, on étudie la dynamique de l'équation de Bertozzi-Esedoglu-Gillette-Cahn-Hilliard avec des conditions de type Neumann sur le bord et une nonlinéarité régulière de type polynomial et on propose un schéma numérique avec une méthode de seuil efficace pour le problème de la retouche et très rapide en terme de temps de convergence. Ensuite, on étudie ce modèle avec des conditions de type Neumann sur le bord et une nonlinéarité singulière de type logarithmique et on donne des simulations numériques avec seuil qui confirment que les résultats obtenus avec une nonlinéarité de type logarithmique sont meilleurs que ceux obtenus avec une nonlinéarité de type polynomial. Finalement, on propose un modèle basé sur le système de Cahn-Hilliard pour la retouche d'images colorées. La deuxième partie de la thèse est consacrée à des applications en biologie et en chimie. On étudie la convergence de la solution d'une généralisation de l'équation de Cahn-Hilliard avec un terme de prolifération, associée à des conditions aux limites de type Neumann et une nonlinéarité régulière. Dans ce cas, on démontre que soit la solution explose en temps fini soit elle existe globalement en temps. Par ailleurs, on donne des simulations numériques qui confirment les résultats théoriques obtenus. On termine par l'étude de l'équation de Cahn-Hilliard avec un terme source et une nonlinéarité régulière. Dans cette étude, on considère le modèle à la fois avec des conditions aux limites de type Neumann et de type Dirichlet. / This thesis is situated in the context of the theoretical and numerical analysis of some generalizations of the Cahn-Hilliard equation. We study the well-possedness of these models, as well as the asymptotic behavior in terms of the existence of finite-dimenstional (in the sense of the fractal dimension) attractors. The first part of this thesis is devoted to some models which, in particular, have applications in image inpainting. We start by the study of the dynamics of the Bertozzi-Esedoglu-Gillette-Cahn-Hilliard equation with Neumann boundary conditions and a regular nonlinearity. We give numerical simulations with a fast numerical scheme with threshold which is sufficient to obtain good inpainting results. Furthermore, we study this model with Neumann boundary conditions and a logarithmic nonlinearity and we also give numerical simulations which confirm that the results obtained with a logarithmic nonlinearity are better than the ones obtained with a polynomial nonlinearity. Finally, we propose a model based on the Cahn-Hilliard system which has applications in color image inpainting. The second part of this thesis is devoted to some models which, in particular, have applications in biology and chemistry. We study the convergence of the solution of a Cahn-Hilliard equation with a proliferation term and associated with Neumann boundary conditions and a regular nonlinearity. In that case, we prove that the solutions blow up in finite time or exist globally in time. Furthermore, we give numericial simulations which confirm the theoritical results. We end with the study of the Cahn-Hilliard equation with a mass source and a regular nonlinearity. In this study, we consider both Neumann and Dirichlet boundary conditions.

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Cette thèse s'intéresse aux évènements et aux ordonnancements d'évènements se produisant au sein de réseaux d'éléments conceptuels prédéterminés. Dans ces réseaux, les éléments, appelés plutôt "automates", s'incitent les uns les autres à changer d'état en accord avec des règles prédéfinies qui, précisément, définissent le (fonctionnement du) réseau. Lorsqu'un automate se conforme effectivement aux influences qu'il reçoit de la part des autres, on dit que son état est mis à jour. Les évènements élémentaires considérés sont les changements d'états des automates. Définir un mode de mise à jour pour l'ensemble des automates d'un réseau permet de sélectionner certains évènements parmi l'ensemble de ceux qui sont a priori possibles. Cela permet aussi d'organiser et d'ordonner les évènements les uns par rapport aux autres de façon, par exemple, à imposer que des évènements indépendants se produisent simultanément ou simplement, de manière assez rapprochée pour qu'aucun autre événement ne puisse se produire pendant leur occurrence. Informellement, les modes de mise à jour peuvent donc être interprétés comme l'expression d'influences extérieures au réseau interdisant certains changements, ou alors comme la formalisation d'une version relâchée et relative de l'écoulement de temps. Cette thèse propose d'étudier leur influence sur le comportement des réseaux. Et afin de distinguer cette influence de celle de la structure des réseaux, elle commence par mettre en évidence le rôle de certains motifs structurels. Après ça, elle s'intéresse en particulier à l'information "encodée" dans une séquence de mises à jour et à l'impact du synchronisme dans celles-ci.