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Nées au 17ème siècle, les équations différentielles font partie des concepts qui assurent remarquablement la relation entre les mathématiques et la physique. Cette thèse tend à expliciter les caractéristiques de cette relation dans l'institution scolaire. Le questionnement initial est centré plus particulièrement sur les conditions de l'enseignement et de l'apprentissage de ce concept en première année universitaire.<br />Nous menons tout d'abord une brève étude historique qui vise à déceler le rôle joué par les sciences physiques lors de l'émergence de ce concept et tout au long de son évolution historique. <br />En nous plaçant dans le cadre de la théorie d'anthropologique de la didactique, nous étudions, dans un deuxième temps, le rapport institutionnel aux équations différentielles grâce à une analyse (écologique et praxéologique) des manuels scolaires de la classe de Terminale S et des polycopiés et des notes d'observation de cours de mathématiques et d'électrocinétique, en première année universitaire. Cette analyse nous a permis de décrire les caractéristiques générales de l'enseignement de ce concept dans les deux disciplines. <br />Cette étude est complétée par une analyse des rapports personnels d'étudiants au concept d'équation différentielle en première année de l'université, via l'analyse de leurs productions à des tests que nous avons proposés en mathématiques et en sciences physiques. Les tâches proposées dans ces tests invitent les étudiants à travailler à la fois le statut "objet" et le statut "modèle" des équations différentielles respectivement en mathématiques et en sciences physiques.

L'objet de ce travail est l'étude des points tournants dégénérés. Nous considèrerons des équations différentielles réelles, du premier ordre, singulièrement perturbées à un paramètre réel et admettant une telle singularité. En nous plaçant dans les hypothèses d'apparition de solutions (de type) "vrai canard", nous donnerons alors à cette équation une forme, dite préparée, plus adaptée au travail que nous effectuerons.<br />Nous montrerons ensuite, pour une classe générale d'équations de ce type, l'existence de solutions "canard". À la suite de quoi, nous étudierons asymptotiquement ces solutions à travers la mise en place d'un cadre formel général. La correspondance ainsi mise en place nous permettra d'implémenter le développement asymptotique en puissances du petit paramètre de perturbation de ces solutions.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Dans l'objectif d'améliorer et d'automatiser la chaîne de reproductiond'objet qui va de l'acquisition à l'impression 3D. Nous avons cherché à caractériserde la saillance sur les objets 3D modélisés par la structure d'un maillage 3D.Pour cela, nous avons fait un état de l'art des méthodes d'estimation des proprié-tés différentielles, à savoir la normale et la courbure, sur des surfaces discrètes sousla forme de maillage 3D. Pour comparer le comportement des différentes méthodes,nous avons repris un ensemble de critères de comparaison classique dans le domaine,qui sont : la précision, la convergence et la robustesse par rapport aux variations duvoisinage. Pour cela, nous avons établi un protocole de tests mettant en avant cesqualités. De cette première comparaison, il est ressorti que l'ensemble des méthodesexistantes présentent des défauts selon ces différents critères. Afin d'avoir une estimationdes propriétés différentielles plus fiable et précise nous avons élaboré deuxnouveaux estimateurs. / With the aim to improve and automate the object reproduction chainfrom acquisition to 3D printing .We sought to characterize the salience on 3D objectsmodeled by a 3D mesh structure. For this, we have a state of the art of estimatingdifferential properties methods, namely normal and curvature on discrete surfaces inthe form of 3D mesh. To compare the behavior of different methods, we took a set ofclassic benchmarks in the domain, which are : accuracy, convergence and robustnesswith respect to variations of the neighbourhood. For this, we have established atest protocol emphasizing these qualities. From this first comparision, it was foundthat all the existing methods have shortcomings as these criteria. In order to havean estimation of the differential properties more reliable and accurate we developedtwo new estimators.

Le fonctionnement d'un neurone, cellule fondamentale du système nerveux, intéresse de nombreuses disciplines scientifiques. Il existe ainsi des modèles mathématiques qui décrivent leur comportement par des systèmes d'EDO. Plusieurs de ces modèles peuvent ensuite être couplés afin de pouvoir étudier le comportement de réseaux, systèmes complexes au sein desquels émergent des propriétés. Ce travail présente, dans un premier temps, les principaux mécanismes régissant ce fonctionnement afin d'en comprendre la modélisation. Plusieurs modèles sont alors présentés, jusqu'à celui de Hindmarsh-Rose (1984), qui présente une dynamique lente-rapide. C'est sur l'étude numérique mais également théorique de la dynamique asymptotique et transitoire de ce dernier modèle, que se concentre la seconde partie de cette thèse. Dans une troisième partie, des réseaux d'interactions sont construits en couplant les systèmes dynamiques précédemment étudiés. L'étude du phénomène de synchronisation complète au sein de ces réseaux montre l'existence de propriétés émergentes pouvant être caractérisées par des lois de puissance. Enfin, un algorithme de détection de la synchronisation de bursts est proposé.

On étudie des familles rigides de connexions de selles sur des surfaces de demi-translation. Les configurations correspondantes sont une première étape pour comprendre la géométrie à l'infini des strates de l'espace des modules des différentielles quadratiques. On étend un résultat de Masur et Zorich en classifiant ces configurations pour chaque composante connexe de strate dès que le genre est supérieur à cinq. <br /><br />On regarde ensuite de façon plus fine des dégénérescences particulières et on prouve en particulier qu'une strate n'admet qu'un seul bout topologique lorsque le genre est zéro.<br /><br />Le lien entre surfaces de translation et échanges d'intervalles fournit un outil puissant pour l'étude du flot de Teichmüller. On propose une généralisation de cette représentation au cadre des différentielles quadratiques. On relie les propriétés géométriques et dynamiques de ces applications à des critères combinatoires explicites portant sur les permutations généralisées associées.

Le chapitre 1 rappelle la théorie de Tikhonov pour les systèmes lents-rapides quand la dynamique rapide est stationnaire. Le chapitre 2 examine le théorème de Pontryagin-Rodygin dans lequel la dynamique rapide est périodique. Ce résultat est redémontré en marquant son caractère topologique. Ces résultats concernent les temps finis. Nous indiquons dans le chapitre 3 comment la théorie géométrique des perturbations étudie le cas de la dynamique rapide oscillante. Dans le chapitre 4, des résultats d'approximations pour des temps infinis sont établis quand la dynamique lente converge vers un compact positivement invariant et sont interprétés en termes de stabilité pratique. Le chapitre 5 est consacré au cas où l'équation rapide admet des cycles avec relaxation. Un résultat rigoureux décrit le mouvement lent, la preuve étant basée sur la méthode de stroboscopie. Les résultats sont énoncés dans le cadre des mathématiques classiques mais démontrés à l'aide des outils de l'analyse non standard. Le chapitre 6 est une étude d'un modèle de compétition de dimension 4. Le point de départ se trouve dans des exposés du Pr. C. Lobry qui a construit un modèle où trois espèces x1, x2 et x3 sont en compétition sur une seule proie s, la coexistence de x2 et x3 semblant possible au travers de simulations numériques, pendant que s et x1 oscillent. Nous déterminons le système moyennisé qui décrit l'évolution lente du couple (x2,x3). Nous établissons des conditions suffisantes de persistance et illustrons les résultats par des exemples et des simulations numériques.

Les équations mathématiques constituent un formalisme essentiel pour la science. Le dimensionnement doit pouvoir s'appuyer sur ce formalisme, et disposer d'une méthode performante. En se fondant sur une analyse de la place du dimensionnement au sein des entreprises, des outils existants et des méthodes de développement logiciel, cette thèse présente une méthodologie et une technologie à base de composants d'aide au dimensionnement automatisé en ingénierie. Quelques cas industriels de dimensionnement de dispositifs électromécaniques servent à illustrer la méthode utilisée ainsi que le traitement de modèles à l'aide d'équations différentielles et implicites. Les expériences menées au cours de ce travail conduisent à estimer que le dimensionnement, dans les services de conception, peut se faire à partir de modèles mathématiquement formalisés en utilisant cette méthodologie. La technologie semble mûre pour fournir l'aide adéquate.